Durée des petites oscillations du pendule ( fig
Lorsque le corps parti de A est arrivé en M, sa vitesse v
est donnée par la foimule
déduite, comme au n° a44 > de l'équation de l’effet du travail, eu appelant x la projection DP de l’arc AM sur la verticale OC. Prenons, à partir de M, un arc infiniment petit MM' ou ds, parcouru dans le temps infiniment petit dt , nous aurons
ds
di'
et, par conséquent.
Telle est l’expression du temps employé à parcourir l’are infiniment petit ds , en fonction de la longueur de cet arc et de l’abscisse x ou BP.
Pour avoir la durée d’une demi-oscillation , c’est-à-dire du parcours de l’arc AC, il faut intégrer cette expression de dty et d’abord remplacer ds par sa valeur en x et dx. Menons l’ordonnée M'P'; PP' est l’accroissement de x pendant le temps r/f, ainsi PP' = La relation cherchée entre ds et dx se reconnaît aisément dans la figure en menant le rayon
PEMÜllLE SIMPLE.
MO et la petite verticale M'N égale à dx. Le triangle infiniment petit MM'JV rectangle et semblable à OMP donne, en appelant y l’ordonnée MP, et l le rayon MO,
MM':M'N::MO:MP ou ds:dx::l:y,
,, . , Idx
d ou ds =.
En substituant dans [y 6 ] cette valeur de ds, on a
dt = — ^
formule dans laquelle il serait facile de remplacer y par sa valeur exacte en x et en quantités connues. Mais la fonction qu’on obtient ainsi n’étant pas de celles qu’on sait intégrer sous forme finie, on commence par la simplifier en remarquant que, lorsque l’arc AG est suffisamment petit, le rapport de l’ordonnée MP ou y à la corde MC diffère très-peu de l’unité, de sorte que si l’on écrit
corde CM
a est un nombre variable, mais de très-peu supérieur à i.
Maintenant la corde CM étant moyenne proportionnelle entre le diamètre il et le segment variable GP que nous désignerons par z, nous aurons
CM = 1/2/z, d’où
et par suite, en substituant cette valeur dans l’expression précédente de dt,
dt =
^ ^ g \yTz
La somme des variables x et z est constante et égale à BC : désignons-la, par ib, et par conséquent z par ib — x; nous aurons
dt
ê |/ ibx X»
Si , au lieu d’avoir égard à la variabilité de a , un remplace cette quantité par l’unité , ou au inuins par une constante
moyenne entre les diverses valeurs qu’elle peut prendre , l’expression de dt devient alors facile à intégrer, soit par les formules connues du calcul intégral (note finale du n° 178), soit par la méthode géométrique indiquée, d’après M. Poncelet, au n® 178. En effet X/' xz est égale à l’ordonnée PL d’une demi-circonférence construite sur BC comme diamètre ; et si l’on désigne par l’arc LL' qu’interceptent sur cette demicirconférence les horizontales MP, M'P', en menant la petite verticale LH égale à dx , et le rayon LI égal |à b, on a deux triangles semblables LHL', LPI, qui donnent
PL : IL : : LH : LL', ou \/^xz : b : dx : d<s.
Tirant de là la valeur de X/' xz et la substituant dans l’expression [77] de dt, on a
dt = ’t\/~i.'^. [78]
'fel est le temps employé à parcourir le petit arc MM' ou ds compris entre les mêmes horizontales que ou LL'.
Si l’on considère a comme égal à i, dont il diffère trèspeu quand l’angle AOB est petit, on aura le temps total de
la demi-oscillation en multipliant le facteur constant y/" ^
par la somme des petits arcs tels que LL', depuis B jusqu’à C , c’est-à-dire par la demi-circonférence BLC égale à %b j et en doublant le produit pour avoir la durée 'f de l’oscillation entière, on aura
T = IC y/ ^
' tr
Remarque, La descente de A en C , suivant l’arc de cercle.
se fait dans le temps ^ icy/^, tandis que suivant la corde elle exigerait (229) le temps 2
Le rapport de ces deux durées est
PEXDOLE SIMPLE.
