EXAMEN D'UN CAS DE MOUVEMENT PARTICULIER
léorème de» aires. — Nous avons terminé l'étude lu mouvement d'un point et d'un système de
ipléterons cette étude par l'examen d'un cas particulier qui a en dynamique une importance r toute spéciale : c'est celui d'un mouvement plan dans lequel l'accélération passe par un point ûxe.
Nous démontrerons d'abord le théorème suivant :
Si dans le mouvement plan d'un point la vitesse aréolaire relative à pôle 0 est constante, l'accélération passe constam- '. pôle.
désignant par r et Q les coordonnées polaires du e par rapport au pôle 0 et à un axe quelconque OX, réolaire a pour expression :
0mm' dt '
' idl
ion énoncée s'exprime alors par la relation
di
= constante.
intiant cette équation par rapport au temps ainsi qa'il
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est permis de le faire, ^puisqu'elle est vérifiée d'une manière permanente, on trouve :
^ dr dO , - d*e ^ dt dt dt*
et cette condition exprime précisément (S 46) que la composante de l'accélération perpendiculaire au rayon vecteur est nulle, donc, etc..
La réciproque de ce théorème est ivraie et facile à démontrer.
Supposons en eflfet un point affecté d*une accélération passant constamment par le point 0.
Il est évident d'abord que le mouvement de ce point s'effectuera dans le plan déterminé par le point 0 et par sa vitesse initiale.
De plus en écrivant que la composante de l'accélération perpendiculaire au rayon Om est nulle, on obtient la condition
^drd^ . d*0 ^ ^d^d7 + ^d?=^'
d'où, en séparant les variables,
dr d^
dt df«
et, par une intégration immédiate des deux membres,
dâ
log. nép. r* = — log. nép. — + log. nép. G»
c'est-à-dire
cas du mouvement qui nous occupe, la direction de l'accélération totale étant déterminée, il est facile d'établir uns relation entre la grandeur de cette accélération, la vitesse aréolaire et les éléments géométriques de la trajectoire.
Désignons par v la grandeur de la vitesse, par; celle de l'accélération, par r le rayon Om, par [x l'angle que fait ce rayon avec la normale à la trajectoire et par p le rayon courbure de cette trajectoire. Nous aurons la relation
icos,^ =
0mm' =Cdt = 1 = C ;
substituant à v cette valeur dans l'expression de l'accélération, celle-ci devient
L'accélération se trouve ainsi exprimée en fonction de la
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vitesse arëolaire C, du rayon vecteur, de l'angle [x et du rayon de courbure de la trajectoire.
4IO. Application aiuc mouvements planétaires t lois de Kepler. — L'observation astronomique a fait découvrir les lois suivantes, connues sous le nom de lois de Kepler :
1* Toutes les planètes décrivent autour du soleil des ellipses dont le soleil occupe un des foyers;
2*^ Pour une même planète, les aires décrites par le rayon vecteur issu du foyer occupé par le soleil sont proportionnelles aux temps employés pour les décrire;
3* Pour différentes planètes^ les carrés des temps des révolutions sont proportionrhels aux cubes des grands axes.
Si Ton assimile par la pensée le soleil et les différentes planètes qui gravitent autour de lui à de simples points géométîiqueS) on voit d'après la seconde loi que le théorème des aires est applicable au mouvement de l'un de ces points autour du soleil supposé fixe.
L'accélération d'un point-planète sera donc dirigée vers le soleil F et sa grandeur sera donnée à chaque instant par une expression de la forme
p r*cos'{x
Mais on sait que dans l'ellipse le rayon de courbure satisfait à la relation
PCOS*Pi = -v
donc, d'après la première loi,
^ kC^a
Or G, étant la vitesse aréolaire constante de la planète, est égal au quotient de l'aire
de l'ellipse divisée par le temps total T employé à p.
ant G par cette valeur, il vient:
i montre que l'accélération d'un même point-planète e i?istant inversement proportionnelle au carré de la I ce point-planète au point-soleil.
bme loi exprime enfiQ que si l'on passe d'une planète à
la quantité ™ est constante ; en appelant X cette
on reconnaît ainsi que le facteur 4 m'), par lequel -,
lié dans l'expression précédente, est le même pour planètes : ce qui veut dire en d'autres termes que ts points-planètes prennent la même accélération lorsjuvent dans la même situation relativement au soleil.
