PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ÉTUDE DES FORCES

5i. Les principes fondamentaux sur lesquels repose Tétude des forces sont les suivants :

1*"" PRINCIPE. — Les modifications apportées à Vétat de repos ou de mouvement des points matériels ou des systèmes matériels par V effet de leurs actions mutuelles se reproduisent identiques à ellesmêmes à une époque quelconque si les circonstances ^ cest-à-dire la position relative de tou^ les points, sont identiques.

Ce principe, souvent sous-entendu, sert également de base à toutes les sciences physiques.

2* PRINCIPE. — Un point matériel ne peut modifier par luimême son état de repos ou de mouvement.

Ce principe est connu sous le nom de principe d'inertie : on appelle inertie la propriété des points matériels qui^se trouve définie de cette façon.

En vertu du principe d'inertie, un point matériel qui n'est soumis à aucune action extérieure ne peut avoir qu un mouvement rectiligne et uniforme, puisque sa vitesse doit rester constamment la même en grandeur et en direction (le cas du repos rentre évidemment comme cas particulier dans celui du mouvement rectiligne et uniforme).

Les modifications de mouvement qu'on étudiera en Mécanique rationnelle seront toujours produites par Taction de points matériels, et les causes qui les produiront et qu'on désignera sous le nom de forces seront supposées émaner de ces points matériels, soit qu'on spécifie, soit qu'on sous-entende leur existence.

3* PRINCIPE. — Si un point matériel est soumis à V action de ' diverses forces émanant de pçints voisins et produisant une cer* taine modification dans son mouvement, cette modification sera .la même^ quel que soit le mouvement primitif dont le point est animéy si les circonstances restent d'ailleurs identiques.

Ce principe est connu sous le nom de principe de Vindépendance de Veffet des forces et du mouvement antérieurement acquis (*).

D'après ce principe, un point animé d'une vitesse V étant soumis à Faction d'un système de forces qui produisent une modification de cette vitesse représentée par une certaine accélération F, cette accélération sera la même si la vitesse V prend une autre valeur quelconque Y^ cette valeur pouvant être nulle, auquel cas le point part du repos.

4* PRINCIPE. — Si un point matériel [que^ d'après le principe précédent j nous pouvons swpposer indifféremment au repos ou animé d'une vitesse quelconque) reçoit /une accélération T sous faction d'wi système de forces S, si soumis de même à un autre système de forces S' il éprouve une accélération F', lorsqu'on le soumettra simultanément à V action des deux systèmes S et S', il recevra une accélération qui sera la somme géométrique des accélérations F et F'.

Ce principe est connu sous le nom de principe de Vindépendance d^s effets des forces.

5* PRINCIPE. — Si deux points matériels m et m sont en présence^ leurs actions mutuelles se manifestent par deux accélérations dirigées suix>ant la ligne droite mm' qui les joint.

Nous complé-

^ m m' ^ terons Ténoncé

de ce principe lorsque nous aurons donné la définition de la masse et la mesure des forces.

52. Définition de la niasse. —On suppose que les points matériels ne sont pas identiques les uns aux autres et que cba-

n En réalité, ce principe revient à admettre que l'état de mouvement ne change rien à la nature et aux propriétés mécaniques du point matériel.

d'eux se trouve caractérisé par un coefficient numérique

île masse et tet que si l'on fait agir successivement sur un

même point maté-

, , ^ n riel a des points

a. a,' a.' '-ffi. < » .

m; mm m ... demas- *^ , ff

ses [*, [A, i* ... en

plaçant dans la même position p (quelconque d'ailleurs)

tivement au point a, les accélérations produites sur ce

it a seront représentées par des longueurs telles que

aa, a<t"... proportionnelles respectivement à [j;, ■/, n".

n admet implicitement ainsi que les rapports des accéléra-

s produites sur le point a ne seraient pas changés si l'on

lifiait la position p où l'on place successivement les points

ériels m, m', m".

n admet également que si l'on substituait au point a un autre

it matériel b, ce nouveau point devrait subir des accélérations

fcp', ôg".. . proportionnelles à celles que subissait le point a.

i'après la définition qu'on vient de donner, les masses sont

nombres proportionnels à certaines quantités, maïs il reste

facteur arbitraire dans leur expression. On achèvera de les

;rminer en adoptant pour unité de masse la masse d'un point

né, le point m par exemple. La valeur des masses des

res points résultera de ce choix : ainsi celle du point m'

[primera par le quotient

le même pour tout autre point.

lomme conséquence de la définition de la masse et des icipes antérieurement établis sur l'indépendance des effets des jes, on remarquera qu'un point de masse ^ji, si ^ est entier, ,t toujours être remplacé au point de vue de l'effet qu'il duit par ^ points de masse 1 supposés en coïncidence. On it étendre sans difficulté cette remarque au cas général où ^ quelconque en admettant des fractions de points, ou, ce qui

revient au même, en choisissant pour unité de masse une masse suffisamment petite : nous ne nous arrêterons pas au détail de ce raisonnement, qui peut être calqué sur les nombreux raisonnements de même nature employés soit en arithmétique, soit en algèbre.

53. lUefiiure des forces. — D'après ces définitions, il est naturel de prendre pour comparer entre elles les causes qui modifient le mouvement et que nous avons appelées forces, les effets mêmes de ces forces, c'est-à-dire les accélérations par lesquelles elles se manifestent.

Soient mis en présence deux points matériels m et m' de masses m et m' et désignons par F et T' les accélérations que chacun de ces points éprouve.

D'après la remarque du paragraphe précédent, on peut considérer le premier

de ces points f ' ^ " '^' *5^

comme résultant

de la superposition de m points de masse 1. L'effet produit par la force inconnue F agissant sur m peut donc s'évaluer par m accélérations F communiquées aux m points de masse 1 réunis en ^in ; cet effet est donc

mV

et l'on prendra cette quantité géométrique pour mesure de la force F en attribuant à cette force la grandeur et la direction de cette quantité.

L'équation géométrique

mr = F

servira donc à la définition précise de la force et à sa mesure, et nous énoncerons cette définition en disant que :

La force est égale au produit de la masse du point sur lequel elle agit par V accélération qu'elle lui communique.

Actuellement nous pouvons compléter l'énoncé du 5' principe

en ajoutant que dans l'action mutuelle de deux points mat&iels .m et m les deux forces {que noua savons déjà dirigées suivant m m' puisqu'elles ont même direction que les accélérations) sont égales et de sens contraires.

Ainsi complété le 5° principe prend le nom de principe de l'égalité de l'action et de la réaction.

En appelant F. et P' les accélérations communiquées aux deux points, on aura la relation

mr = — mT.

Les deux forces égales et opposées peuvent d'ailleurs être dirigées l'une vers l'autre ou en sens contraire : dans le premier cas elles sont dites attractives; on les dit répulsives dans le second.

Comme conséquence des deux derniers principes, on remarquera que si un point m agit simultanément sur différents points m', m", m'", les actions que reçoivent ces différents points seront les mêmes que s'ils étaîept mis isolément en présence du point m, car ces actions sont égales et contraires au£ réactions subies par le point m, et ces dernières, d'après le principe de l'indépendance des effets des forces, sont les mêmes que si les points m', m", m'" agissaient isolément.

S4l. Expression de la force développée par Tae* tlon mutuelle de deux pointa de masses m et m'. — Loi de Neivton) sravitatiou universelle. — Considérons deux points a et a' de masse 1 agissant l'un sur l'autre à une distance r.

L'accélération qu'éprouvera chacun d'eux devra être d'après ce qui précède une fonction de r seulement, puisque la connaissance de r doit à a'

suffire à la déterminer.

Cette accélération que nous désignerons par ^ (r) est aussi dans ce cas l'expression de la force agissant sur chacun des deux points.

Substituons actuellement au point a, par exemple, m points de masse 1 ; ou, ce qui revient au même, un point de masse m : d'après le principe de l'indépendance des effets des forces, le point a' devra subir m accélérations égales à ç (r), c'est-à-dire une accélération totale égale à

Remplaçons à son tour le point a' par m' points de masse 1 ; chacun de ces points (d'après la remarque du paragraphe précédent) éprouvera une accélération m<^ {r).

L'accélération du point de masse m' sera donc m(({r) et la force correspondante aura pour valeur

mm'9(r).

Telle est l'expression des deux forces égales et contraires qui représentent les actions mutuelles de deux points de masse m et m' mis en présence.

Nous ne nous arrêterons pas à étendre ce résultat au cas où m et m' seraient fractionnaires ou incommensurables : il suffira d'appliquer les raisonnements d'usage pour les généralisations de ce genre.

Hypothèses sur la fonction © (r) : loi de Newton. — Gravitation universelle. — Diverses hypothèses peuvent être faites sur la nature de la fonction 9 (r) que nous venons de définir : l'une d'elles mérite de fixer plus spécialement Tattention à cause du rôle qu'elle joue dans les applications astronomiques, nous voulons parler de la loi d'attraction en raison inverse du carré de

; DE HËCÂNIQUE EÂTIONNELLE

pour la première fois par Newton et d'après

loastante.

loin (S S3 Dotamment] quelques cousidéraà la discussion de cette hypothèse qui. Spler énoncées plus haut et d'après les obseri accumulées depuis lors par les astronomes, .e d'une façon générale de tous les phénols. C'est cette hypothèse qui, sous le nom de elle, est acceptée comme une loi fondamensert de base à la Mécanique céleste.

ons sp^ïcIaleB sur chaeun de« piin*

ment établis. — D'après les définitions les forces que nous aurons à considérer en e émaneront de points matériels et devroni :t de la position relative des points qui \i^ loints qui les subissent. Ainsi ces force;< s des positions des points et indépendante!^

lant fréquemment que dans un problème es forces dont l'expression sera fonction ait devra toujours s'expliquer en supposant «tte expression certaines quantités dépen- 3 de points mobiles en remplaçant ces quans en fonction du temps : c'est de cette façoD mps pourra s'introduire dans l'expression

s relatifs à l'indépendance des effets des ent antérieurement acquis peuvent être raplérale de différentiation des fonctions comji one fonction (géométrique ou algébrique) nuriables indépendantes, sa différentielle

totale est la somme (géométrique ou algébrique) de ses différentielles partielles par rapport à chacune des variables supposée variant isolément.

Ainsi si

w = F(i?,i?',t/'...), , du , , du , , , du ,,, .

Ce principe n'exige d'ailleurs pour pouvoir être appliqué qu'une seule condition {*), c'est que la façon dont la fonction F est composée avec l'une des variables v par exemple, ne dépende pas de la variation ou de la non-variation des autres variables.

Dans le principe de Tégalité de l'action et de la réaction, on peut considérer comme une évidence la première partie du principe d'après laquelle l'accélération éprouvée par chacun des points m et m' est dirigée suivant la droite qui les joint. Il n'y aurait en effet aucune raison pour attribuer à l'accélération une direction autre que cette direction-là, autour de laquelle tout est symétrique.

SO. Observation générale sur les principes fondamentaïuL et sur les applications physiques et astronomiques de la ]IIécaniq[ue rationnelle. — La

Mécanique rationnelle^ il ne faut pas l'oublier, est une science spéculative, qui ne traite que d'objets idéaux. Ces objets étant définis avec la même rigueur que les objets géométriques, les principes fondamentaux que nous venons d exposer étant admis au même titre que les postulatum de la Géométrie ou de l'Arithmétique, les conséquences logiques que nous en déduirons par le raisonnement auront le même degré de certitude que les théorèmes de la Géométrie ou de l'Algèbre.

Seulement, il faut remarquer que ces principes fondamentaux ne s'imposent pas à notre esprit comme les axiomes de la Géométrie.

Ainsi, tandis que nous ne pourrions concevoir deux lignes

(*) En dehors de la condition de continuité, bien entendu.

ïérentes allant d'un point à un f par exemple que l'action mutuelli le leur état de repos ou de mou\ Ite de cette observation que Ion le la Géométrie dans le monde rée , on peut affirmer que ces résulta itériei est raisoTmable, c'est-à-dir lois de la raison, ainsi que toutes iblent l'indiquer : il serait absurdf les trois hauteurs d'un triangle m même point.

est plus de même des théorèm Qmme nous venons de le faire obse ette science repose ne sont pas aaine.

3, rien ne prouve a priori que le sique et astronomique soient corn] le les systèmes matériels idéaux s lois de la constitution de la mat lilées, et l'assimilation que l'on pe aux systèmes de points matériel p le caractère d'une vérité abso ontraire comme une approximatic ider & l'expérience et & l'observa

reste encore une remarque impo profonde qui existe entre la force < ox quantités, d'après la définition le par un coefficient numérique, I •ation est un déplacement, ou plu.

;e de deux déplacements ('); la fo

«leur numârîqae près -ttj (§ •).

ductrice de cette différence de déplacements. Et si Ton prend pour la mesurer l'effet qu'elle produit, c'est-à-dire l'accélération correspondante, elle n'en diffère pas moins profondément de cette accélération. Ce sont en réalité deux choses aussi différentes que l'effet et la cause, mais dont kt première sert seulement de mesure à la seconde.

Dans les applications l'accélération s'observe, tandis que l'expression de la force résulte généralement de considérations théoriques dont l'observation du mouvement, c'est-à-dire de l'accélération, sert à vérifier l'exactitude.