ABC S

= îj|C08*B + jjCOs'p +rjCOa'T — 2 „ coaacogp

Smyz fimzx

2~— COSpCOSTÎ— î—j- C0S7G0Sa,

te que l'équation (2") établit entre les coordonnées lu point P la relation

2— 5— tiVi— 2— o-y;

'équation d'une surface du second degré rapportée* 'e et qui est nécessairement UB ellipsoïde, puisqu'en 1 rayon de giration d'un système par rapport à ud axe ais nul et que par suite le rayou l qui en est l'inverse t jamais inSni.

t ellipsoïde a un système de trois axes ; désignons par les gruideurs de ces trois axes et prenons-les pour

ÉTUDE DES FORCES -- STATIQUE ET D\ axes cfrardonnés ; l'équatioa de l'ellipsoTde se i

Les plans de ces Douvelles coordoDDées prt pUms principaiix d'inertie du système relatifs a] s'appellent axes frincipa/ux d'inertie relatifs

Ces axes sont caractérisés par la propriété ans si l'on prend l'un d'eux pour l'un des axes < des z par exemple, l'ellipsoïde d'inertie ayant axes de 6gure en coïncidence avec l'axe des z, être privée des termes eu x^z^ et y^ s■^, ce qui e sommes ^mxz et ^mi/s soient nulles.

On voit que pour chaque point de ^espace il principaux d'inertie et un ellipsoïde d'inertie, ellipsoïde montre comment varient les momi système pour les différents axes passant par c ellipsoïde se réduit à une sphère, les morne: tous égaux entre eux.

L'ellipsoïde d'mertie relatif au centre de grai ^ellipsoïde central. Les axes de cet ellipsoïde jouissent de la propriété remarquable d'être axes principaux pour chacun de leurs points.

Soient en effet G (X,Y,Z} les axes de l'ellipsoïde central.

Transportons l'origine des coordonnées en un point 0 de l'axe GZ par exemple, en laissant les axes coordonnés parallèles à leur direct!

(*) Il est important de remarquer qu'un ellipsoïde d ellipsoïde quelconque : d'après une remarque du § i 1 d'inertie, les demi-axes a,h,c d'un pareil ellipsoïde • grandeur décroisBanle doivent satisfaire à l'inégalité

i DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

oordonnées s'opère ea changeant simplement ■\-h, et les sommes

S l'ellipsoïde central, ont pour expressions 18 nouvelles :

' + hSn«c' Smy'i' + ftSmy'.

t, le centre de gravité étant sitné sur l'axe

ni' = 0 ^my' = 0.

Ti^V sont bien égaux à zéro, ce qui démontre

sième quantité ^mxy qui est nulle en G étant on voit que les nouveaux aies coordomiés rincipaux du point 0.

lES MATÉRIELS EN GÉNÉRAL

ntérieares et ext^rleareii. — Les forces 1 point d'un système doivent se distinguer en

Heures, qui proviennent d'autres points du

ieures, qui émanent de points n'appartenant j

iprès le principe de l'égalité de l'action et de ijours binaires et mutuelles pour l'ensemble i-dire qu'à chacune d'elles correspond une ement opposée appliquée à un autre point du

eures, bien entendu, donnent lieu pareille-

ment & des réactions égales et opposées, mais ces réaction: extérieures au système considéré.

il?. Repos, équilibre et mouvement d'un ay ai Diatérlel. — Un système matériel est dit en repos lo chacnn de ses points est en repos, c'est-à-dire immobile.

Il est dit en équilibre lorsque chacun de ses points est i duellement en équilibre, c'est-à-dire en repos ou animé vitesse constante en grandeur et en direction (*).

En général, il faut, pour définir complètement l'état système, écrire pour chacun de ses points l'équation géoméi ou les équations algébriques qui expriment son repos o' mouvement individuel.

Si le système renferme n points, le nombre des équations briques [à) que l'on a à écrire est égal à 3n. Ces équations du second ordre, une première intégration fournira 3» lions (p) du premier ordre renfermant les coordonnées des \ mobiles, les dérivées premières de ces coordonnées par ra au temps, c'est-à-dire les projections des vitesses sur les enfin 3n constantes arbitraires.

Une secoDde intégration, introduisant 3» constantes traires nouvelles, conduirait à 3n équations (7), exprimai coordonnées des points du système en fonction du temps.

Ainsi, en définitive, pour un système de n points, on est duit à une solution renfermant 6n constantes arbitraire devront être déterminées par les conditions initiales aoppi connues (situations initiales des points, grandeurs initialei vitesses). Ces constantes devront être distinctes, c'est-È

(') Eq général l'état d'équilibre n'eiiste que lorsqu'il y a repos, au: deux expressions sont-elles employées souvent comme synonymes ; on c d'ailletirs que si les points d'un système étaient animés de vitesses coq? en grandeur et en direction, à part le cas d'une tranBlation où ces vi seraient égales et parallèles entre elles, le déplacement des points amè uécessairemenl des changements dans leurs distances respectives i EUjte des modifications dans leurs réactions mutuelles entraînant un< tore dans l'équilibre supposé.

svront permettre par leur iadétermination d'attiibuer onnéea initiales et aax vitesses initiales des points lurs qu'on voudra. Par conséquent, le système des (P) et (t) devra pouvoir se résoudre par rapport à ces i et se mettre sous ta forme :

<Iz, dy, dz, dXf dy, dz, ' dl' d(' di' di' d('

^" ^lil/t'^H*" Al' Ht' Ht^ ^i* lit' Al "

(dx, du, dz, dx, du, dz, A

<|x„!/„z„Za,!/„7„'

dx, di/, dz. dXj dy, dz.

■ d(''d7' dC'di'~3t' d( "

ible des équations (S) équivaut aux équations (^] et (y), ne en fonction du temps les vitesses et les coordonuëes i points du système.

îtiona ç,, ç,,.. . ç,„, composées avec les vitesses et les es des points, et qui, d'après les équations (B), restent I pendant le mouvement, sont dites les intégrales des simultanées (ce).

vident que toute fonction * (ip,, ç„... fO composée m arbitraire avec les fonctions f> est elle-même nue puisqu'elle reste constante pendant toute la durée du it, et il est facile de reconnaître que toute intégrale, e toute fonction jouissant de la propriété précédente, ::omme 4>, une fonction des intégrales f . lème du mouvement d'un système donné serarésola Q complète toutes les fois qu'on parviendra à découvrir lière quelconque 6n intégrales distinctes de ce mou-

ns parvenir à cette solution complète, on arrive souombinaot entre elles les équations individuelles du tt des différents points, à certaines intégrales particufont connfdtre des propriétés remarquables du monve-

des résultats de ce genre que nous allons obtenir par

nivva uca rutiucS— STATIQUE ET DYNAMIQUE

la combiaaisoD des équations du mouvement et l'app des théorèmes généraux.

lis. MouTement da centre de gravité. -

d'ftbord pour chaque point individuellement la relation trique :

les signes X s'appliquant à toutes les forces extérieure toutes les forces intérieures 4 qui agissent par le point coi Faisant la somme de toutes les équations géométriqu lègues et remarquant que la somme générale des forc( rieures doit nécessairement s'annuler, on trouve :

c'est-ï-dire (& cause de l'équation Mu = ^mu qui, étant nente, peut être différentiée) :

Cette équation géométrique, ou, si l'on préfère, le systj trois équations algébriques :

dans lesquelles elle se décompose suivant les axes, t que :

Théorème I. Le centre de gravité du système se meut cm