A. ÉTUDE DES TENSIONS

< • 2 i 5 . Uéflnition de la tension.— Ainsi que nous l'avons observé, lorsque des forces extérieures sont appliquées à un

solide, il est nécessaire d'admettre qu'il se développe à l'intérieur du solide un système de forces intérieures ayant pour eflfet d'introduire, dans l'état de repos ou de mouvement qui conviendrait à chaque point s'il était isolé, les modifications que l'invariabilité de forme du solide rend obligatoires.

Ces forces prennent évidemment naissance dans les réactions mutuelles des points, réactions qui dépendent des masses de ces points et sont fonctions de leurs distances respectives, et dont l'expression générale est de la forme mmfo (r).

Nous admettrons que la fonction <p (r) tend à s'annuler lorsque la distance r cesse d'être très petite ; en sorte que l'action mutuelle de deux points devra être considérée comme insensible dès que leur distance sera appréciable. Mais, quelle que soit d'ailleurs la forme de cette fonction, il est visible que les réactions intérieures ne sauraient se modifier si les distances r des différents points restaient absolument invariables. On est donc dans la nécessité d'admettre qu'il se produit toujours des déformations. Seulement, dans le cas des solides théoriques, on suppose, comme nous l'avons déjà dit (S 162), que ces déformations sont infiniment petites ou, pour préciser davantage, qu'elles ne modifient que de quantités du deuxième ordre de petitesse les distances infiniment petites du premier ordre des différents points.

Nous étudierons plus loin ces déformations infiniment petites. Pour le moment, nous nous bornerons à étabhr quelques relations très simples qu'itnpose aux réactions intérieures la condition de continuité.

Nous commencerons par définir les tensions en un point, en supposant d'abord le solide au repos.

Imaginons un plan de section P séparant le solide considéré en deux parties A et B : les points de la portion A, infiniment voisins du plan P, agiront sur les points de la portion B, infiniment voisins de ce même plan, et en recevront, d'après le prin^ cipe de l'égalité de l'action et de la réaction, des réactions égales et opposées à leurs actions propres.

Considérons parmi les résultantes affectant les différents points

de la portion B et émanant des points de A celles qui traversent un élément très petit co du plan P, pris autour d'un point m. Ces

différentes forces qui, à cause de- la continuité^ doivent avoir des directions infiniment peu différentes, pourront être remplacées par une résultante unique £ appliquée en un point de u.

Cette résultante est U tension élémentaire relative à Télément ci>. On

admet, par raison de continuité également, que le quotient -

tend, lorsque (i> est infiniment petit, vers une limite finie, indépendante de la forme de la surface co, et c'est cette limite qu'on appelle la tension au point m pour la direction de plan P.

La tension est une traction ou une pression selon qu elle est dirigée vers la portion de surface d'où elle émane ou en sens inverse.

Son signe, quel qu'il soit d'ailleurs, doit être évidemment changé si, au lieu de considérer les actions de la portion A du solide sur la portion B, on considère. inversement les actions de' cette dernière portion sur la première. On tiendra compte de et changement de signe en définissant la tension E au moyen de» cosinus a,^,Y Q^^ ^^^^ ^^^^ ^^^ ^^^s la normale au plan P, dirigée vers la portion du solide qui supporte la tension considérée.

D'après ce qui précède, la tension en un point m, pour un état donné du solide, doit être fonction de six variables : les coordonnées a?, y, 5 du point m et les cosinus a, g, y des angles précéden)ment définis. Nous établirons actuellement les relations qui font voir comment la tension varie autour d'un même point avec a, P, y> c'est-à-dire avec la direction du plan sur lequel elle s*exerce.

* tus. Equilibre du tétraèdre élémentaire s pression de la tension en un point sur une direction de plan donnée. — Considérons au point m un tétraèdre élémentaire m abc formé par trois plans coordonnés rectangulaires et un plan abc parallèle au plan P précédemment considéré, dont la direction se trouve définie par les cosinus a, 0,Y ^^^ angles que fait avec les axes la normale mp au plan P dirigée de l'origine m vers le planafrc.

Soient co la surface du triangle aftc, w,, lù^, w, les surfaces des triangles mbCy mca, mab.

On a :

(1)} = p Cl),

Le plan abc étant parallèle au plan P et infiniment voisin de ce plan, la tension sur la face abc du tétraèdre ne diffère de celle qui s'exerce en m sur le plan P dans le môme sens que par des infiniment petits négligeables. Désignons par X, Y,-Z les composantes de cette tension E, correspondant à. la direction mp. Désignons de même par X,, Y„ Z,, par X^, Y^, Z^, enfin par X,, Y„ Z,les composantes des tensions respectives qui s'exercent sur les plans ZmY, XmZ, YmX et sur la portion du solide située du même côté que les axes perpendiculaires à ces plans.

L'équilibre du tétraèdre existe sous l'action :

1® Des forces qui agissent sur ses faces et qui sont égales aux tensions correspondantes, appliquées vers l'intérieur du tétraèdre, multipliées par les grandeurs des faces : ce sont donc des quantités du deuxième ordre ;

2® Des forces extérieures qui agissent sur les points matériels situés à l'intérieur du tétraèdre. Mais, à cause de la continuité, ces forces sensiblement parallèles entre elles sont réductibles à

une force unique égale à leur somme et applicable en un point du tétraèdre. D'ailleurs, cette résultante est évidemment proportionnelle à la masse du tétraèdre, c'est-à-dire à son volume V multiplié par la densité moyenne p du solide aux environs du point m : c'est donc une quantité du troisième ordre, comme le volume Y lui-même, et on peut la négliger sans inconvénient à côté des forces précédentes.

Gela posé, les équations des composantes, en projection sur les trois axes, donnent :

co X = Ci>j Xx + ti)j Xy + ei)j X,,

w Y = u), Y, + ««>j Yy + (o, Yg,

O) Z = COj Zx + 0)j Zy + <0j Zg,

c'est-à-dire à cause des relations (1) :

X=aX. + pX,+TX..

Y = aY,4 PYv + tY„ Z = a ZjB + P Zy + Y Zg.

Les composantes de la tension, suivant la direction définie par les cosinus a, ^, y, se trouvent déterminées par ces formules eu fonction de a, p, y et de neuf constantes qui dépendent des tensions sur les plans coordonnés.

Nous allons faire voir actuellement que ces neuf constantes sont liées entre elles par des relations qui permettent de réduire à six leur nombre.

• 21*7. Ikfuilibre du paralléllplpèdie élémentaire. ^ Relatioos eotre len tenfilons sur trois plans reetan*

Sulaires* — Équations différentielles auii:«iuelles ees teii Nions doivent satisftdre. jf Considérons actuellement un parallélipipède rectangle de côtés égaux à dœ, dy, dz, ayant ses faces parallèles aux plans coordonnés et Sun centre au point m. Les tensions sur les faces de ce parallélipipède sont faciles

à évaluer en fonction de celles sur les plans coordonnés, dont nous avons désigné précédemment par

les neuf composantes.

Ainsi, sur les deux faces parallèles à YmZ par exemple, les tensions appliquées à la portion du solide située du côté des coordonnées positives auront des composantes respectivement égales à

+[«-(S)f}+['-(^)f]-+[Mt)f}

et les deux faces en question seront soumises à des forces résultantes qu'on pourra supposer appliquées à leurs centres de figure ^Q et œ^ et qui seront égales aux tensions correspondantes, affectées de signes convenables et multipliées par la surface dy.dz de ces faces.

Les tensions s'exercant sur les autres faces du parallélipipède donneront des résultats analogues.

Enfin, les forces extérieures agissant sur les points situés à Tin té rieur du parallélipipède pourront se réduire, comme dans le cas du tétraèdre, à une résultante unique appliquée au point m et dont les composantes suivant les axes seront de la forme :

p dx dy dz \q p dx dy dz Yo p dx dy dz Zq,

^0» Y^,, Zç représentant des quantités finies.

Gela posé, Téquilibre du parallélipipède nécessite d'abord les trois équations :

dXx , dX, dJL'-uoY —h

dYx d\y dx dy

+ pYo = 0,

^, dZy dZ.

exprimant que la somme des composantes des forces extérieures, suivant chacun des trois axes, est nulle.

Ecrivons actuellement les équations des moments relatives aux trois mêmes axes. Les variations différentielles des tensions disparaîtront de ces équations comme négligeables à côté des tensions elles-mêmes dont les moments subsistent, et Ton est conduit — pour Taxe des x par exemple — à la relation

(Y, dx dy) dz — (Z^ dx dz) dy = 0,

c'est-à-dire :

Ij Ly

Les deux relations analogues

Lx — X, X, = Y.

sbiit fournies par les deux autres axes.

Ces trois dernières relations, en réduisant à six le nombre des composantes distinctes, conduisent à adopter une notation nouvelle.

On désigne par N,, N,, N, les trois composantes des tensions normales aux plans coordonnés sur lesquels elles s'exercent, et par T^, T,, T, les trois composantes tangentielles distinctes de ces mêmes tensions.

On a donc :

N,=Xa

T| Y, Zy,

I3 ^ Ay ^ la.

On voit que, d après ces notations, une composante N est parallèle à mX, m Y ou mZ, suivant qu'elle porte Imdice 1, 2

OU 3, et qu'au contraire pour le même indice la composante T est perpendiculaire à Taxe correspondant.

Par l'introduction de ces notations, les équations (3) deviennent :

(Z') dT, , ^N, dT|

et les équations (2) du paragraphe précédent s'écrivent :

X = aNj + pT, + TT,,

<2') Y = «T, + pN,+ TTn

Z = «T, + pT,+TN,.

* 21s. Composante normale de la tension t «nrfaee directrice. — Ces dernières expressions permettent d'évaluer facilement la projection de la tension E (X, Y, Z) relative au plan P (a,P,Y) sur la normale à un plan P' (a',p',Y')« Cette projection est évidemment égale à :