X.=«'"('-.^— ïi^) = Sm[r.(nt,-pï,)-9,(Pî/,-9X

(i7)Y,=2m(p.§-r.^) = am[p,(py,-qi,)-r,(qz.-rB,l]

Z,=2m^q,-^— p, -J^j = 2m [q, («z, — "-y,}— p,(ri,-p/,)j

L'ensemble de ces forces peut être remplacé par leur résultante de translation appliquée au point fixe 0 et s'ajoutant ^ la

réaction qui agît sur ce point, à la condition d'adjoindre à cette résultante un couple ayant pour moments, relativement aux axes. la somme des moments des forces X,,Y,,Z,, c'est-à-dire

Mais, dans cette sommation, les termes qui renferment If produit des coordonnées disparaissent parce que relativement ausaxe3 0(X,,Y.,Z,)

S"> Vi ^1 = S'" ^1 ^1 = S*" ^i î'' = "•

Par cette simplification, les sommes des moments des forces centrifuges composées relatives aux trois axes deviennent :

(«8)9fnY,

2girVmy;

= [(A+B-C)r,ç-(C+A-B)çir] [(B+C-A)pir— (A+B-C)r,pl :[(C+A-B)(ï,p-(B+C-A)p,q]

A, B et C désignant les moments d'inertie relatifs au point 0.

Ces expressions sont évidemment indépendantes du choix des axes qui ont servi à les établir, à la condition de considérer à chaque instant p, q etr\ p^, g, et r^, comme les projections des rotations co et (o^ sur les axes principaux du solide.

Si le solide est de révolution et si les axes coïncident d'après les hypothèses précédemment énoncées avec son axe de figure et avec les droites OA et OB, définies comme on l'a fait dans les calculs précédents, les deux constantes A et B deviennent égales et les expressions précédentes se réduisent à :

[(2A-C)r,q-C9tr]

:[cp4r-(2A-C)r;p] = C(giP — P|Ç).

Telles sont les valeurs des moments qu'il convient d'ajouter à ceux des forces connues dans les équations du mouvement du solide.

Si l'on se reporte actuellement aux raisonnements et à la figure du § 193, et si Ton suppose que, le point 0 étant centre de gravité du solide, Taxe fixe OZ ait été choisi parallèle à la ligne des pôles PP' (*), la rotation co^ étant dirigée suivant OZ, mais vers les z négatifs, on aura :

p, = 0 (7j = — u>| sin 0 Tj = — (Oj ces 0.

(*) Cette hypothèse est en contradiction avec celle énoncée plus haut d'après laquelle Taxe OZ serait mené parallèlement à la verticale apparente ; mais dans le cas où le point 0 coïncide avec le centre de gravité du solide,

Wi COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

Les valeurs de p, j, r sont d'ailleurs fournies, comme au paragraphe i92, par les' équations (3) :

9 = sin

fliii.

d( ^ dt

et les expressions précédentes, où l'on introduit ces valeors, deviennent :

9ïl4=C<u,8infliï + S(C— A)<-.sineco88|i,

(19) 9îlB = (2A-c)«,cose|S,

Si l'on suppose actuellement la valeur de ^ très grande relativement & (>)„ les termes qui ne renferment pas -j- pourront être négligés, et il restera comme valeurs approximatives :

9n;.i = C«,sin«ij = Cnu,BiDe, 9TIb=0,

par suite , en se reportant & ce qui a été dit au paragraphe 194, on reconnaît que l'effet de la rotation de la Terre est assimilable à celui de la pesiinteur, en posant

Cn u, = Pi.

Le point 0 coïncidant avec le centre de gravité du solide, celui-

là résultante de la pesanteur apparente, appliquée à ce dernier point, n'iaUr- Went pas dans le mouvement et la direction de l'axe OZ peut être qnelconqo» par rappport à cette force.

ci n'obéira dans son mouvement qu'à cette force fictive unique.

Son axe de figure semblera donc décrire un cône de révolution (vatour de la parallèle à la ligne des pôles.

L'angle 0 qu'il fait avec cette direction oscillera en réalité entre les limites peu écartées

Oo et 9. + J-.

di(

La procession -jj- sera donnée par l'équation

dt

.'il '*■»

• 'lu

La valeur moyenne de cette expression étant égale à (o^, la

vitesse moyenne de la précession sera égale à celle de la rotation

d^ de la Terre. Enfin, -77 étant positif, la précession sera dirigée de

at

l'est à Vouest, c'est-à-dire en sens inverse de la rotation terrestre.

• lOT. vérification expérimentale* — GyrcMMsope de Foncault. — Le gyroscope de Foucault fournit la vérification expérimentale des résultats remarquables que nous venons d'établir.

Cet appareil se compose, comme le gyroscope ordinaire, d'un tore massif porté par un anneau circulaire EFE'F et mobile autour du diamètre EE' de cet anneau; mais cet anneau est mobile lui-même autour du diamètre horizontal FF d'un second anneau circulaire AFA'F; les diamètres EE' et FF du premier anneau sont rectangulaires. Enfin, l'anneau AFA'F' est maintenu par un support fixe S et peut tourner autour de son diamètre vertical A A'. Dans ces conditions, on voit que le diamètre horizontal FF' peut prendre, dans le plan horizontal, toutes les positions possibles, et que l'axe EE' du tore, qui lui est perpendiculaire et qui tourne librement autour de lui, peut s'orienter d'une façon absolument quelconque dans l'espace. Ainsi, en faisant abstraction des frottements des tourillons, l'appareil réalise

TIONNELLE

1, mobile en tous sens

Si l'on abandonne le gyroscope & lui-même, après avoir iraprirné au tore un mouvement de rotation rapide, on voit son axe décrire sensiblement un cûne de révolution autour de la direction de l'axe terrestre, et le mouvement de précessioD est sensiblement égal à la vitesse de rotation de la Terre.

Si l'on oblige l'aie 'izontal ou dans le plan 1er dans le premier cas I le second autour de la s particuliers peuvent se graphe précédent.

JLÉS ENTRE EUX tIQTIES

ions. — Pour se rapproétudier dans la pratique, ea liés entre eux par des amun certains points qui

droite, ne peuvent être

en nombre supérieur à deux, sans quoi la coïncidence aurait Heu d'une façon permanente pour tous les points des deux solides (S lO).

Si deux solides S et S' n'ont qu'un point a en coïncidence obligée, le mouvement du solide S' par rapport au solide S sera une rotation quelconque autour du point a et il en sera de mémo réciproquement du mouvement du solide S par rapport au solide S'O-

Si les deux solides ont deux points a et 6 en coïncidence obligée, tous les points situés en ligne droite avec a et 6 resteront forcément en coïncidence, et le solide S' ne pourra prendre, par rapport au solide S, qu'un mouvement de rotation autour de la droite ah ou X, qui reçoit alors le nom de charnière.

(*) Dans cette conception théorique, on doit nécessairemsDt admettre que les solides peuvent se pénétrer, ou, en d'autres termes, que les points de l'un peuvent venir en colucidence avec les points de l'autre; daos la réalité, les choses ne se passent évidemment pas ainsi, de sorte qu'il y a généralement certaines restrictions à apporter aux mouvements relatifs des deux solides naturels l'un par rapport à l'autre : généralement aussi le point a appartient à l'un des deux solides et est un point fictif de l'autre. Si l'on im^ne une sphère creuse reuferroant une sphère pleine dans son intérieur, le centre c des deux sphères est un point qui leur est constamment corn, mon, mais il appartient matériellement à la sphère

pleine et est un point fictif de l'autre. G'est de celle manière que les artimlatioos des solides peuvent se réaliser dans la pratique.

Chaque solide faisant partie d'un système articulé se trouve soumis, en dehors des forces connues qui agissent sur lui, à des forces de liaison ou réactions qu'on suppose généralement appliquées aux points d'articulation (*), et ces forces, qui émanent de l'un des solides, doivent donner lieu dans l'autre solide à des réactions égales, et opposées.

S'il n'y a qu'un point d'articulation, il ne peut exister qu'une réaction unique R. Mais s'il y a deux points d'articulation, comme tous les points de la charnière peuvent être indifféremment considérés comme points d'articulation, il est clair qu'il pourra se développer une réaction spéciale en chacun de ces points.

lOO. Polygone des forces dans une série de solides articulés en équilibre. — Imaginons une série de solides S, S', S". . . articulés deux à deux aux points a, fr, c, rf...

de manière à constituer une sorte de chaîne, et supposons qu*un pareil système soit au repos sous l'action de forces extérieures connues et des réactions qui se développent entre les solides en chaque point d'articulation. Cherchons à nous rendre compte des

(*) Comme nous l^avoDs fait observer plus haut, un point dWlicuIation ne peut que théoriquement appartenir à la fois aux deux solides : en réalité, ce point doit être un point fictif, au moins pour l'un des deux solides, et par suite la réaction ne peut y être réellement appliquée. Par exemple dans le cas de deux sphères emboîtées Tune dans Tautre, les réactions se produiront en des points des surfaces sphériques en contact et ce n'est que par une composition de ces réactions entre elles qu'on pourra leur substituer une force fictive appliquée au centre qui est le point d'articulation des deux sphères.

conditions imposées par l'équilibre individuel de chaque solide.

Pour cela, désignons par F, F, F'. . . les résultantes de translation des forces extérieures appliquées aux différents solides et par + R„ et — Raj + R» et — R;, etc., les réactions développées aux points d'articulation.

On aura évidemment, par les équations des résultantes, les relations géométriques :

F 4-Ra = 0 F — a. + Rft = 0 (1) F* — Rfr + R^ = 0

F*^ — a,4-Rd = 0 F'"— Rd = 0.

En général, si Ton convient d'appeler réactions consécutives les réactions que nous avons désignées par + R», + R*... et qui sont appliquées chacune au solide précédant le point d'articulation auquel elles se rapportent, les équations que nous venons d'écrire expriment que la force F appliquée à un solide est égale à la différence géométrique changée de signe des deux réactions consécutives qui correspondent aux articulations de ce solide.

Ces équations se traduisent graphiquement par les figures suivantes :

Mais les triangles (2), (3), (4), dans lesquels le premier côté est toujours égal au troisième côté du triangle précédent, peuvent être juxtaposés comme l'indique la figure (6), et constituer ainsi un polygone, gauche en général, dont le contour fermé (oÎY?aa> s'obtient par l'addition géométrique des résultantes portées à la suite les unes des autres dans l'ordre suivant : p//// ^ p« ^ p/ + F' + F.

Ce premier résultat était facile à prévoir : car si Ton avait appliqué au système dans sou ensemble la condition d'équilibre du centre de gravité, on aurait reconnu immédiatement que la somme géométrique des forces F, F... devait être nulle; mais nous apprenons de plus par les considérations précédentes que les réactions développées aux points d'articulation sont précisément représentées par les côtés extrêmes a>a, coS et par les diagonales ci)P, (i)Y du polygone des forces.

En dehors de ces premières conditions imposées aux réactions R, il y en aurait d*autres à établir, fournies par les équations des moments appliquées à chacun des solides. Mais ces dernières conditions, qui dépendent de la forme et de la situation respective des solides et qui permettraient de reconnaître si les positions qu'on leur a attribuées sont compatibles avec l'équilibre, ne sont pas susceptibles en général d'une expression simple, et nous nous bornerons à examiner ce qu'elles deviennent dans un cas spécial dont nous allons nous occuper particulièrement.

200. Systèmes articulés InanltésimaanL ; fll théorique; courbe funtculatre. — Si le système articulé, tel que nous venons de le définir, est infinitésimal, c'est-à-dire composé d'une série de solides infiniment petits, il prend le nom de fil et la courbe formée par la succession de ses éléments s'appelle courbe funiculaire.

Dans ce cas, des simplifications se produisent.

En effet la résultante de translation des forces appliquées à lun des solides élémentaires, force que nous avons désignée précédemment par F, est généralement infiniment petite, et par conséquent il doit en être de môme de la différence entre deux réactions consécutives.

La réaction peut être considérée dès lors comme une force variant d'une manière continue le long du fil, et elle prend le nom de tension.

Cette tension d'ailleurs, comme la réaction dont elle est la limite, doit recevoir des valeurs égales et opposées selon qu'on la considère comme appliquée à l'élément du fil qui précède son

point d'application on à celui qui le suit. Si l'on adopte le premier point de vue, on pourra dire que la différentielle géométrique de la tension correspondant à un élément du fil est égale à la résultante de translation changée de signe des forces appliquées à cet élément.

Mais, à cause de la continuité, cette résultante doit être proportionnelle à la longueur de l'élément, c'est-à-dire à la différentielle ds de l'arc ^ du fil : elle aura donc une expression de la forme ¥ds, F représentant une grandeur géométrique finie, fonction en général de la position de l'élément sur le fil, c'est-à-dire de s et de la situation de cet élément dans l'espace, c'est-à-dire des coordonnées rr, i/, s de l'un de ses points.

De plus, la tension est tangente à la courbe funiculaire en son point d'application.

En effet considérons l'élément de fil ab articulé en a et en 2» et soient — Ç et Ç -f- dÇ les

tensions appliquées en ces ^ ^^..^^'''3^

points. Prenons les moments , f L-^^n^*

— ^ ( 0 jrf y

par rapport au point h de tou- ^© ^^Z^''^^^^^^ tes les forces appliquées à cet

élément ; la condition d'équilibre donnera en désignant par f l'une des forces extérieures :

or comme les forces f (qu'on doit supposer infiniment petites ainsi que nous l'avons fait observer) sont appliquées à des points de Télément afr, c'est-à-dire à des points infiniment voisins de 6, leurs moments sont des infiniment petits du deuxième ordre. Par suite le moment de % par rapport à h doit être aussi du deuxième ordre, ce qui exige (Ç étant une force finie) que la distance hk de 6 à la direction de ^ soit du deuxième ordre, ou en d'autres termes que la direction de Ç se confonde avec la direction a& qui est celle de la tangente au fil.

Si cette condition se trouve satisfaite, Téquation des moments sera vérifiée quelles que soient les forces appliquées à l'élément

de fil (pourvu bien entendu qu'elles restent infiniment petites). Ces forces infinitésimales ne figureront plus que dans l'équation de la résultante de translation, et Ton pourra sans inconvénient leur substituer leur somme géométrique ¥ds que Ton supposera appliquée en un point quelconque de l'élément.

20 1 . Courbe des forces. — Si l'on porte à la suite l'une de l'autre, en changeant leur signe, les forces infiniment petites Fds appliquées aux éléments successifs du fil, on obtient un polygone infinitésimal, c'est-à-dire une courbe. C'est la courbe des forces que l'on nomme aussi quelquefois (Gollignon) indicatrice des tensions et des forces.

Soit apLg cette courbe, qui peut d'ailleurs être gauche ou plane.

Le fil étant supposé fixé à ses extrémités aetb^ deux réactions Rfl et Rft doivent être appliquées en ces points, la première égale et opposée à la tension extrême en a, la seconde égale à la tension extrême en b. Ces réactions dirigées conséquemment suivant les tangentes extrêmes à la courbe funiculaire, doivent, conformément à la théorie précédente, achever de fermer le polygone des forces qui est infinitésimal dans sa partie p^xa. Ce contour co^pLacii est d'ailleurs tel qu'étant choisi un élément de fil m, si l'on prend en [x sur le contour afx? la force iufinitésimale correspondante, (ù\k représente en direction la tangente à la courbe funiculaire en m et en grandeur la tension du fil en ce même point.

S02. Détermiiiatioii directe de la courbe fuiilculAlre danjB €|uelc[aes cas i^artleullers. — Les simples considérations qui précèdent permettent souvent de déterminer la forme de la courbe funiculaire.

Cas des forces parallèles. — Supposons que les forces agissant sur le fil soient toutes parallèles entre elles, verticales par exemple. La courbe des forces apip se réduit à une droite verticale 00 et la figure a>3[jux(i> à un triangle situé dans un plan ver-

tical. Les tangentes au fil étant représentées en directions par les droites joignant le point o) aux points de a^, ces tangentes sont toutes parallèles à un même plan vertical, ce qui prouve que la courbe funiculaire appartient tout entière au plan vertical conduit par ses extrémités a et & : ce plan doit renfermer les réactions R^ et R» appliquées en ces points.

Si Ton passe d'un point m à un point infiniment voisin m! de la courbe funiculaire, le point correspondant (jl de la droite des forces se transporte en [/ : [aV représente la résultante F^ des forces extérieures appliquées à l'élément m/rnl et l'angle ^^' est l'angle de contingence de cet élément : (ojji, et tù^' figurant les tensions aux extrémités de mm', on reconnaît immédiatement que la projection horizontale a>Y de la tension est constante sur toute la longueur du fil.

Si Ton désigne par c cette projection constante et par a Tangle jjKOY que fait (ù\k avec l'horizontale, on a :

utt' = d. Yu = a. c/aa = — r- »

* *^ **^ ^ cos*«

et comme a est aussi Tangle que fait au point m la tangente à la courbe funiculaire avec Thorizontale, en égalant Texpression précédente de [k\t! à — FdSj on obtient la relation

(1) c-^ = — Fds

^ ' cos*a

qui détermine la courbe funiculaire et qui est son équation différentielle de courbure dans le cas où la valeur de F est une constante ou une fonction de ^ et de a seulement.

203. AppUcatlons. — 1® Chaînette. — Supposons, par une première hypothèse, un fil homogène pesant et soumis aux seules actions de la pesanteur. Les considérations précédentes seront applicables, et l'équation (1), où F, dirigé de haut en bas, devra être égalé à une constante négative — X, deviendra :

COS'a

d'où en intégrant :

«cota = constante.

On reconnaît l'équation de courbure de la chaînette {Analyse^ S i80).

2® Parabole. — Supposons en second lieu que la résultante Fds appliquée à Télément ds soit proportionnelle à la projection horizontale dw de l'élément. L'équation (I) devient dans ce

cas :

cda COS*a

= Xdx

OU à cause de dx = ds cos a

cos*« *" c '

équation différentielle de courbure d'une parabole {Analyse^ SSlT^Bet 176).

204I. Parabole des ponto siispendiis t détermina'-

tloii de la courbe par des consldératloiis différentes.

— On peut rapprocher du cas théorique que nous venons d'étudier celui du câble ab supportant le tablier AB d'un pont

suspendu. En effet, si Ton néglige à côté du poids du tablier celui du câble lui-même et des tiges verticales par lesquelles le tablier lui est rattaché, on voit qu*un élément mm/ de ce câble supporte le poids d'un élément pp' du tablier, et conmie pp' est la projection horizontale de mm', en supposant le poids du tablier proportionnel à sa longueur, les conditions de la relation théorique précédente se trouvent bien réalisées.

Dans ce cas l'équation de la courbe funiculaire peut s'obtenir plus directement par les considérations suivantes.

En général, toutes les fois que les forces parallèles et verticales agissant sur les éléments du fil ont une expression de la forme ç (Ç) dÇ, Ç désignant Tabscisse de l'élément sur lequel agit

la force, il est facile d'arriver di-

/ rectement et très simplement à

2 y l'équation de la courbe funiculaire.

■/pï- Soit en effet a (a?^, i/J un point de

^ \ la courbe où la tangente est hori-

\p zontale, et considérons la portion

de fil om limitée à un point quel-

Q ' 'x conque m de coordonnées a?, y.

L'équilibre de cette portion de fil exige que la somme des moments des forces extérieures qui lui sont appliquées soit nulle par rapport à un point quelconqne du plan et en particulier par rapport au point m. Or ces forces sont d'une part les tensions extrêmes — 6^ et 6 appliquées en a et en m, d'autre part les forces élémentaires appliquées aux différents éléments tels que jjl (Ç, tj) de cette portion du fil. Le moment de la tension 6 étant nul, l'équation des moments se réduit à

-6«(y-yo)+ r ?(Ç)(x~f)dÇ = o,

et cette équation par une simple quadrature fournit l'équation de la courbe funiculaire.

Prenons par exemple le cas où ^ (Ç) = constante = X (qui est celui des ponts suspendus), et comme le déplacement des coordonnées n'influe pas dans ce cas sur la valeur de ç (Ç), transportons pour simplifier l'origine au point a. L'équation (2) devient alors :

— 6oy + ^ I (x — Ç)dÇ = 0,

et son intégration conduit à la parabole

conformément au résultat que nous avions obtenu au précédent paragraphe (*).

20S. Formales générales en coordonnées reetansnlaires dans le cas d'un fil libre. — Si la courbe funiculaire ne résulte pas de Tapplication au fil de forces parallèles, on devra recourir à des formules plus générales qui conduisent à la détermination de son équation en coordonnées rectangulaires.

Nous allons établir ces formules dans le cas d'un fil libre j c'està-dire en supposant connues toutes les forces autres que les ten* sions qui agissent sur ce fil.

Considérons un élément i^V de la courbe des forces. Cet élément, qui représente comme on Ta vu la grandeur géométrique de la force Fd$ appliquée à l'élément correspondant mm' du fil, est la différence géométrique changée de signe des tensions Ç + ^G ©^ Ç appliquées aux extrémités de cet élément, ou, si l'on veut, la différentielle géométrique de Ç

changée de signe. Projetant sur les trois axes le triangle (ù[L\»f et désignant par X, Y, Z les projections de F, et par 6 la grandeur de la tension, on a les trois égalités :

Xds

0) d(6^y=-.Yd.

Ces équations ne renferment que quatre variables a:, y, z et 6, si Ton suppose X, Y et Z exprimés en fonction de a?, y, z et de s qui est lui-môme une fonction des coordonnées. Elles fournissent

(*) Celle solution a été donnée par M. Collignon (Traité de Mécanique^ i. n, § 328).

par conséquent la solution complète du problème, car elles permettent, théoriquement du moins, d'obtenir par l'élimination de 6 les deux équations de la courbe funiculaire.

En réalité ce calcul présente dans la plupart des cas dïnsurmontables difficultés : car si le fil n'est pas homogène, les forces F et par conséquent leurs composantes X, Y, Z sont généralement fonctions à la fois de la position de l'élément mm sur le fil, c'est-à-dire de s et de sa position dans l'espace, c'est-à* dire de a?, y, js, et l'élimination de s supposerait Tintégration de la relation

qui ne peut s'effectuer que si la courbe qu'on cherche à déterminer est déjà connue.

Quant à la valeur de la tension G, elle peut s'obtenir directement en projetant [l[i! ou — Fds en \Lt sur la tangente et remarquant que cette projection, égale à de en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur et que nous désignerons par /i d5, représente précisément le travail fictif d'une force — F pour un déplacement ds de son point d'application. Or ce travail a pour expression — ÇK.dx + Ydy + Zdj?) ; on a donc :

de = — (Xdx + Ydy + Zdz), d'où

(SI) e = — Axdx + Ydy + Zdz),

l'intégrale indéfinie comprenant une constante arbitraire.

La formule (2) peut se déduire d'ailleurs très simplement des

équations (1). En les ajoutant après les avoir multipliées respecti-

dx dy ds , , , , vement par —, -j-» ^ et en développant les prenuers membres,

on trouve :

,-. /dx* , dy« , dz*\ , ^fdxd^x , dyd*y , dzd*z\ ^,, ^,^ . «. .

et en remarquant que

d«« "^ d«« "^ ils* "■ ' dx d*x ,dy d'y dz d^z ds ds^'^ds ds*"^di d?

on retrouve bien la formule (2).

Une autre expression de la tension peut s^obtenir en intégrant les équations (1) par rapport à ^ et en les ajoutant après les avoir élevées au carré. Il vient, à cause de

&^( TxdsV + ( f^àsV + ( CzdsY'

Les formules (2) et (2") ont été données pour la première fois par Fuss.

20G. Relations entre la tension et les composantes tansentielle et normale de la force. — Considérons dans la courbe des forces les deux tensions consécutives ^ou co|x et ^ + ^^ ou u)|jl' relatives aux extrémités d'un élément mm' ou ds du

fil : jaV représente, «s^d^ ^— ;^ f ^^/^

comme on Ta vu, la force ¥ds appliquée à Télément mm!, et située dans le plan os-

culateur de la courbe funiculaire dont (jud(a' est Tangle de contingence e. Soient /i et f^ les grandeurs des composantes de F suivant la tangente et la normale principale à cette courbe, ces grandeurs étant comptées positivement dans le sens des s positifs sur le fil et dans la direction du centre de courbure. Si Ton abaisse \i.t perpendiculaire sur wjji', on aura d'après la figure, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur :

|j.W = Ad8 = — dCt .

(ji =/;ds = — Ci,

d*où les relations

que nous nous proposions d'établir.

En les divisant membre à membre et désignant par 6 langle que fait la direction de F avec la tangente à la courbe funiculaire, on obtient encore la relation remarquable

de

très analogue à celle établie au paragraphe 61 pour le mouvement d'un point et que nous aurons occasion d'appliquer dans le cas du frottement où, comme nous le verrons plus loin, s'il n y a pas d'autres forces que les réactions, l'angle 6 a unj5 valeur constante.

20*7. Analogie des formules prétsédentes avee eelle« qui se rapportent au mouvement d'un point t surfkces de niveau. — Il est impossible de n'être pas frappé par l'analogie existant entre l'équation (2) et celle des forces vives telle qu'elle a été établie dans la dynamique du point matériel.

On voit en effet que si un point de masse m décrivait la courbe funiculaire sous l'action d'une force égale à — F et d'une réaction normale inconnue, sa force vive

i mu" = — Ç(Xdx + Ydy + Zdz),

serait constamment égale, à une constante près, à la tension correspondante du fil prenant sous l'action des forces + F(fo la forme de cette même courbe. < Cette assimilation nous permet d'étendre immédiatement aui

courbes funiculaires la théorie des surfaces de niveau. Ces surfaces existeront toutes les fois que la quantité

Xdx + Ydy + Zdr,

sera la différentielle exacte d'une fonction de x, y, z et dans ce cas la vitesse v du mobile fictif que nous venons de considérer reprenant la même valeur toutes les fois que ce mobile traverse une même surface de niveau, il en sera de même de la tension pour les points où la courbe funiculaire rencontre une même surface, puisque cette tension sera égale à une constante près

mv'

Ces surfaces de niveau, normales aux forces F, seront des plans horizontaux, toutes les fois que les forces F seront verticales, conmie dans Texemple étudié plus haut de la chaînette ; dans ce cas, les tensions seront égales pour les points situés à une même hauteur au-dessus d*un plan horizontal de comparaison, et comme les projections horizontales de ces tensions sept aussi égales (S 202), il en résulte que la courbe funiculaire doit toujours couper un même plan de niveau sous un même angle.

Il existe d'ailleurs une relation remarquable entre la force Fds qui détermine une courbe funiculaire et la réaction R normale à cotte courbe qu*il faut adjoindre à la force F changée de signe pour faire décrire à un point mobile cette même courbe.

Reprenons en effet les formules :

établies au paragraphe précédent et comparons -les avec les équations

du

applicables au mouvement du point qui décrirait la courbe funiculaire sous l'action combinée de la force — F et d'une réaction normale R.

Cette comparaison nous fournit d'abord l'égalité

d G = invdvj

d'où, conformément à un résultat précédemment énoncé.

*• mu' . . .

© = -s- + constante.

La constante sera nulle si la vitesse initiale du point mobile a été déterminée par la condition

mv*

Supposons qu'il en soit ainsi et mettons — ^ à la place de 6 dans l'équation (4), il viendra :

mv*

et cette valeur de substituée à son tour dans l'équation (6)

P donnera la relation :

(7) R = -ri

que nous nous proposions d'^établir.

Ainsi la réaction qu'il faut ajouter à la force — F pour faire décrire la courbe funiculaire à un point animé d'une vitesse initiale i/ — 2 est égale à la composante de cette force — F suivant la normale principale. (Gonf. S Oîï.)

SOS. Cas d*un fll qui n'est pas libre s calcul de la réaction. — Il peut se faire qu'un fil ne soit pas libre, c'està-dire qu'en dehors des forces connues qui lui sont appliquées, il se trouve soumis à l'action d'autres forces inconnues, mais telles qu'elles obligent le fil à s'appliquer sur une courbe ou sur une surface donnée. La résultante éids de ces forces inconnues qui se trouve appliquée à un élément de fil est dite réaction de la courbe ou de la surface. En introduisant la réaction par ses composantes ^„ds^ ^yds, ^^ds dans les équations générales précédemment établies, on obtient un système de trois équations à six inconnues qu'on complète en lui adjoignant d'abord les équations de la courbe funiculaire ou celle de la surface sur laquelle cette courbe doit se trouver, et en second lieu la condition ou les conditions pour que la réaction soit normale à cette courbe ou à cette surface. On obtient ainsi le système des six équations nécessaires pour la détermination du problème. Cette solution est d'ailleurs absolument analogue à celle indiquée pour le mouvement d'un point.

On remarquera que, d'après la propriété de la courbe des forces établie au paragraphe 201, la force totale^c^^ (résultant de la composition de Fd$ avec Sids) est toujours située dans le plan osculateur à la courbe funiculaire. Si donc le fil appliqué sur une surface n'est soumis sur une partie de sa longueur qu'à la réaction supposée normale à cette surface, le plan osculateur de la courbe funiculaire, devant contenir ^ds qui se réduit dans ce cas à sa seule composante Sids^ est normal à la surface dont la courbe funiculaire est par conséquent une ligne géodésique. Dans ce cas d'ailleurs la formule

de = — (Xdx + Ydy -h Zdz)

donnant

on voit que la tension est constante tout le long de la portion du fil considéré.

• T » .» '■— fmj

toi

Ce résultat se déduit aussi de Téquatioii (3)

qui donne d^ = 0, puisque /*, est nul. D'autre part Téquation (4)

rn=-

où 6 a une valeur constante, fait voir que la réaction de la surface rapportée à V unité de longueur du fil varie en raison inverse du rayon de courbure de la courbe funiculaire.

La détermination de la réaction inconnue Sids peut se faire par une méthode analogue à celle employée dans le mouvement d'un point.

Soit par exemple AB la courbe sur laquelle doit s'appliquer le

fil : le calcul de la tension 6 résultera de l'intégration de Téquation

G = — j{Xdx + Ydy + Zdz),

où ne figurent que les forces connues F, par leurs composantes.

La tension étant ainsi '% déterminée, on sait que

^ Çk la force * (rapportée

à l'unité de longueur q d'arc), résultant de la composition de F et de ^, doit être située dans le plan osculateur de la courbe funiculaire et doit avoir une compo-

santé normale 4>^ ou mn égale à - (§ 200) en désignant tou-

P jours par p le rayon de courbure de cette courbe.

La réaction Si supposée normale à la courbe AB sera donc la

perpendiculaire abaissée de Textrémité de F sur la- parallèle ti^ à la tangente mt, ou bien encore la différence géométrique entre

la composante normale F^ de F et la grandeur mn égale à

portée sur la normale principale.

Cette réaction ^ est d'ailleurs liée à celle R qu'il faudrait adjoindre à la force — F pour faire décrire à un point mobile la courbe considérée, par la relation

dont l'équation (7) ^u paragraphe précédent n'est qu'un cas particulier et qui s'établit très simplement par un calcul semblable. Dans le cas où le fil est maintenu sur une surface, la détermination de Si s'obtient par des considérations analogues et qui peuvent être calquées pour ainsi dire sur celles qui nous ont fourni la solution dans le cas d'un point mobile.

* 209. Propriété de mlnimuiii des courbes lùnteulatres. — Supposons que la force Fds qui détermine la forme d'un fil libre soit fonction uniquement des coordonnées x,y, zde l'élément de fil auquel elle est appliquée et que de plus l'expression (Xcte + Ydy + Zds) soit la différentielle exacte d'une fonction $ (or, y, s) de ces coordonnées. Si, par l'effet d'une réaction quelconque normale à la courbe d'équilibre du fil, on transforme la portion de courbe funiculaire AmB en une autre courbe Am'B aboutissant aux mêmes extrémités, l'intégrale

prise le long du fil depuis A jusqu'en B, sera plus petite pour la courbe AmB correspondant au fil libre que pom* toute autre courbe, en admettant toutefois que les points A et B aient été choisis assez voisins pour que dans l'intervalle qui les sépare, la courbe du fil ne traverse qu'une seule fois les différentes surfaces de niveau S, S', S""... qui passent entre ces points.

Nous donnerons de ce théorème une démonstration très simple

empruntée au Traité de Mécanique de M. CoUignon. Nous prouverons que si le fil se déplace légèrement à partir de la position AmB par Tadjonction de réactions normales, pour un déplacement infiniment petit quelconque ladififérentielle del jsera nulle ou du moins d'ordre supérieur au premier.

Soit mn l'élément de fil compris entre deux surfaces de niveau consécutives S et S' et mV l'élément compris entre ces mêmes surfaces après le déplacement du fil. Ces deux éléments donneront dans l'intégrale I des termes qui ne différeront que parla variation de la longueur mn, puisque, en raison de la propriété des surfaces de niveau, la tension 6 applicable aux deux éléments aura la même valeur. La variation de I correspondant à l'élément mn se réduira donc à :

^t pour l'ensemble du fil, on aura :

BI

Mais &ds représente la somme des travaux élémentaires de ■deux forces égales à 6 et à — 6 appliquées fictivement aux points n et m et dirigées suivant mn, pour des déplacements nn' et «un' ■de leurs points d'application. Pour obtenir îl on aura donc à faire la somme de tous les travaux analogues le long de la courbe funiculaire AB. Cherchons à évaluer cette somme d'une autre manière. Pour cela remarquons que chaque point tel que n se trouve le point d'application fictif de deux forces Ç et — (Ç+dÇ), la première fournie par l'élément mnj la seconde relative à Télé-

ment suivant np. La somme- des travaux de ces deux forces se réduira au travail de leur résultante — dÇ. Or — dÇ, égal en général à ^d$^ se réduit à Fds lorsque la réaction s\. est nulle : son travail pour un déplacement dx, dy, dz de son point d'application sera donc :

(Xdx -f- Ydj/ + Zdz) ds,

«t si (comme cela a lieu précisément dans l'évaluation qui nous occupe)le point d'application se déplace sur une surface de niveau, la quantité X da? + Yrfy 4- Zdjï étant égale à zéro, ce travail sera nul : il en sera de môme alors de l'intégrale, ce qui démontre le théorème.

21 0. Cas d'an fll soninls à, des forces fliiies et diseonÉipiiies. -^ Supposons qu'en dehors des forces infinitésimales continuels que nous avons représentées par Fds^ le fil soit soumis à des forces finies <l>p^„^,. .. appliquées en des points W|,^„ m,. . . Considérons en particulier l'élément m^m[ auquel est appliquée la force ^, , et soient Ç et tî -|- AÇ les deux tensions appliquées aux extrémités de cet élément.

La première condition d'équilibre{SF=0) fait voir d'abord que AÇ doit avoir dans le cas actuel une valeur

finie. De plits, il est évident que le raisonnement du paragraphe 200 ne s'applique plus, et que si l'on prend les moments par rapport au point m\ par exemple, celui de Ç + AÇ étant nul et ceux des forces infinitésimales négligeables, le moment de 4, et celui de — Ç doivent doïmer une somme nulle, ce qui 4âxige que — Ç soit à une distance de m'i du premier' ordre, ou en

d'autres termes que la direction de {^ fasse un angle fini ekyecm^m\.

La courbe funiculaire présentera donc au point m^ un pomt

anguleux. D'ailleurs, l'équation de la résultante (^F = 0), où l'on

peut négliger les forces infinitésimales, impose aux forces — Ç, Ç + AÇ et ^j, la condition de former un triangle fermé, ce qui permet, connaissant Ç et ^^, de construire Ç+AÇ au moyen du parallélogramme des forces, comme l'indique la figure ci-contre. On déterminera ainsi la variation géométrique que subit la tension f^ quand on franchit le point m, sur le fil, et par suite on connaîtra l'angle dont tourne brusquement la tangente à la courbe en ce point et la variation brusque que l'intensité de la tension y éprouve. Si l'on se reporte aux constructions du paragraphe 20i relatives

à la courbe des forces, on voit que cette courbe présentera des parties droites |x',ji.^, [xi[i.„ ixiix,... respectivement égales à

4>^, $,, *, et répondant aux points d'application m^^m^^m^... Les angles (a^(i>(Ai, [x^tofi^, v-^^ih' • • sont d'ailleurs ceux que forlaent entre elles les tangentes aux points anguleux corres* pondants.

211. Ca0 où les forces finies subsistent seules. — Polygone funiculaire» polygone de Varignon. — Supposons actuellement que les forces infinitésimales disparaissent et que les forces finies $,, $„ $,. . . subsistent seules. La courbe des forces (par suite de l'évanouissement des parties curvilignes apLp (j^[A„ \Lf\L^^ [Li^) se réduira à un polygone formé par les

OC^/*l

forces ^,,^,, 4>,etpar les tensions extrêmes Ç,, Ç^. Ce polygone auxiliaire a reçu le nom de polygone de Varignon.

La courbe funiculaire, d'autre part, se réduit elle aussi à un polygone ayant les points d'application m,, m,, m,. . . des forces ^,, <t>,, $,• . ..pour sommets, car entre deux de ces points d'application, d'après le polygone de Varignon, la tension et par suite la tangente à la courbe funiculaire a une direction constante.

Ainsi, le polygone de Varignon et le polygone funiculaire sont liés entre eux de telle manière que les diagonales du premier sont

parallèles aux côtés du second et égales à leurs tensions, tandis que les forces appliquées aux sommets du second sont égales en grandeur et en direction aux côtés du premier.

SÎ12. Problèmeei se rapportant à, la déterminatton des polysones funiculaires. — La détermination des polygones funiculaires peut donner lieu à différents problèmes.

Par exemple, connaissant les longueurs des cordons am„ w,7n„ Wj,m,, mj) ainsi que la position des points d'attache a et è du fil, on peut demander la position d'équilibre du fil sous Taction de forces connues en grandeur et en direction $j, *,, *,.

Le contour du polygone de Varignon se trouve alors immédiatement déterminé, à l'exception des côtés extrêmes cofi,,, «iii qu'il faut déterminer, ce qui revient à trouver la position du point o par rapport au contour |Xj [x, [jl, {j4* La condition qui doit fournir cette détermination s'obtiendra en écrivant que la somme géométrique des cordons doit être égale à la grandeur géométrique ab.

Désignons par l la longueur d'un des cordons, para, p, yles coordonnées du sommet correspondant |ji. du polygone de Varignon. Le cordon étant parallèle à (0[a, si x^y^z sont les coordonnées du point cherché co, les projections de cj^x sur les axes seront

Les projections du cordon / seront donc :

Si, d'antre part, on désigne par X, Y et Z les projections de ah

sur ces mêmes axes, les conditions seront :

Telles sont les équations qui donnent x, y et z.

Le point w étant ainsi déterminé, on peut achever la construction du polygone de Varignon, et celle du polygone funiculaire en résulte, puisque ses côtés qui ont une longueur connue (celle des^ cordons) ont une direction déterminée (celle des côtés extrêmes iùXj wp et des diagonales du polygone de Varignon).

Le problème se trouve ainsi complètement résolu.

Mais la question peut être posée d'une autre manière. On peut, par exemple, étant données dans un plan un certain nombre de forces pouvant glisser sur leurs propres directions, chercher à déterminer un polygone funiculaire capable de tenir ces forces en équilibre.

Dans ce cas encore, le polygone de Varignon wjjljjl, [XjJjl, peut être immédiatement construit, à l'exception de ses côtés extrêmes iû\jLj (oiJLjdont la détermination dépend y h ' de celle du point w qui reste arbitraire.

A chaque position du point (I) correspondent une infinité de solutions et des polygones qu*on peut aisément construire.

, Par exemple, on prendra sur la direction de la force F parallèle à ja;*, un point arbitraire m, par lequel on mènera- uik

■emier cordoc ma parallèle à u

, puis le cordoa suivant mm, parallèle h ll>]t^ & partir de m,, on aura le cordon m, m, parallèle à (i>{i, et ainsi de suite.

Si l'oD déplace le point » et qu'on le transporte en «' par exemple et si l'on choisit un autre point de départ m', oa obtiendra un autre polygone a'm'm\m^b' satisfaisant & la question comme le précédent, et comme les tensions des corms qui étaient figurées dans le polygone précédent par les oites uiiL, u[ji,, (D[jij. .. sont actuellement représentées par \).„ (•)'(<■)■ • • OD ^oit que ces nouvelles tensions s'obtiennent en outant aux précédentes une même grandeur géométrique lam'.

* 2 1 3 . Propriété remarquable des polygones tamiiilalres. — On peut démontrer que si deux polygones funicuiaires

ennent en équilibre dans un plan un même système de fonts-, urs côtés correspondants se coupent sur «ne même ligne droite.

T^ ttft; r: -^/...wj^J* .? *:- ^ ,Hr*iv.>;'-

Il suffit évidemment de faire la démonstration pour trois côtés consécutifs des deux polygones que Ton considère.

Reprenons donc la figure ci-dessus et considérons en particulier les trois côtés amm^m^ du premier polygone et a'm'm^m'g du second. Prolongeons ma et mV, m^m^ etrrïfin'i jusqu'en leurs points de rencontre respectifs a et y.

Soient Ç^ Ç, et Ç, les tensions des trois premiers cordons du premier polygone, Ç^ Ci» Ci celles des cordons correspondants du second.

Les tensions t^i et Ç, faisant équilibre à la force F en m, on a en prenant les moments relatifs à a

. 6jXÏS = Fxâ7, et de même pour le second polygone

G',ïûfr = Fxa/,

d'où

En exprimant de même, par les moments relatifs au point y, l'équilibre de la force F' et des tensions Ç„ Ç„ d'une part, Ci, Ç„ d'autre part, on arrive à la relation

on en conclut

ce qui prouve que les deux droites A A; et h'k' rencontrent en un même point ^ la droite ay. Les trois points d'intersection ft,P,Y des côtés correspondants des deux polygones sont donc bien en ligne droite, ce que nous voulions démontrer.

2141. — Il est encore à remarquer que cette droite apy... a même direction que la grandeur géométrique ww' qu'il faut ajouter aux tensions du premier polygone pour obtenir celles du second.

En effet, les relations précédentes font voir que les tensions G, et si sont inversement proportionnelles aux longueurs ah et ih!. Si donc, en reprenant la figure précédente, nous portons sur oA, ah' des longueurs a^„ ai', égales ou seulement proportionnelles à 6, et à ci, les points t, et t't seront les transformés des points h et A' par rayons vecteurs réciproques relativement au point a, et comme d'ailleurs ces points h et h' appartiennent au cercle décrit sur «3 comme diamètre, les points t^^ t'^ seront sur une droite perpendiculaire à a g.

Mais, d'autre part, le triangle a^, ^i et le triangle jjljWw du

polygone de Varignon sont égaux ou semblables, car les angles en 2 et eu \t.^ de ces triangles sont égaux comme rectangulaires, et les côtés adjacents à ces angles sont égaux ou proportionnels par construction. Donc, leurs troisièmes côtés sont aussi rectangulaires, ce qui prouve bien que la droite ag^ est parallèle à ww'.