APPLICATION A QUELQUES EXEMPLES SIMPLES

* 232. l"" Compression normale uniforme t eoeflletent de eompresstblllté. — Si Ton suppose un solide homogène simplement soumis à une compression normale uniforme appliquée à toute sa surface, en désignant par P la valeur de cette compression rapportée à Tunité de surface, les équations (2) deviennent :

et les équations indéfinies se simplifient par la suppression des termes p\, pY^, pZ^.

On obtient alors un système de valeurs de u, v, w satisfaisant à la question en posant :

ax,

ay.

ar,

'■^"^w^vf-y

car les dérivées secondes de ces fonctions qui entrent seuleS" dans les équatiohs indéfinies sont toutes égales à zéro.

Quant aux équations à la surface,* elles se réduisent à la condition unique

qui détermine la constante a

En adoptant cette valeur de a, le système de déformation défini par les équations (3) satisfait aux conditions imposées et est par conséquent admissible.

On remarquera qu'il conduit à des valeurs nulles pour les &, et par suite aussi pour les T, en chaque point du solide : donc en chaque point du solide déformé les parallèles aux axes sont des axes de déformation.

Les coeflBcients des dilatations principales suivant ces trois axes étant d'ailleurs égaux entre eux et égaux à a, on en conclut que les N sont égaux et que l'ellipsoïde des tensions est une sphère.

La dilatation cubique 6, égale à 3 a, a pour valeur ^ 5-:

elle est la même en tout point du solide, puisque X et jji y ont en tout point la même valeur. Ce résultat concorde bien d'ailleurs avec la remarque du paragraphe 23 i., u,v et w pouvant être considérés comme les dérivées partielles en x, y et z de la môme fonction

On appelle coefficient de compressibilité le rapport de la dilatation cubique à la pression P par unité de surface : ce coefKcient qui est caractéristique du solide considéré, a pour valeur :

ri", -'v r

• 233. Z^ Extension longitudinale d'un pi^sme s «oefflelent d'élastlelté. — Considérons en second lieu un solide prismatique droit ayant ses arêtes parallèles à OZ et supposons-le soumis à une traction uniformément appliquée à ses deux bases, et dont nous désignerons par F la valeur rapportée à Tunité de surface.

Dans ce cas, on peut obtenir une solution de la question, en posant :

ro)

u = — ax, w = cz.

En effet les équations indéfinies, qui se simplifient comme dans le cas précédent par la suppression de leurs derniers termes, ne renferment que les dérivées secondes de w, v, iv et sont identiquement satisfaites par les valeurs (5) qui rendent ces dérivées nulles. Quant aux équations à la surface, sur les faces latérales (à cause de Y = 0 et de 6 = o — 2 a) elles donnent la condition unique

X(c — 2a) — 2[ia = 0,

et sur les bases (à cause de a = g = 0 et de v =z= 1) elles se réduisent à :

X(c — 2a)-h2{jLC = F.

Ces deux conditions peuvent être satisfaites si Ton détermine à cet effet les constantes a et c. On trouve ainsi :

23X + 2ii

3X + 21JL

On désigne sous le nom de coefficient d'élasticité Tinverse de

rallongement produit sur Tunité de longueur du prisme par une

traction égale à Tunité s'exerçant sur l'unité de surface : ce coef-

F ficient est donc égal à -, c'est-à-dire d'après la valeur de c à :

3X + 2[iL