V . '-^^VT

chaque point à l'intérieur du solide les trois égalités :

'iî!l4.'*T, dT.

dx+iHi + nr+^^o-**'

dT, dT. dN.

dj- + dir+ dF + P^-^- Si l'on substitue, dans ces relations, aux N et aux T leurs valeurs établies au précédent chapitre en fonction de la déformation produite, ces équations deviennent :

OU plus simplement, en désignant généralement, avec Lamé, par A' F le paramètre différentiel du second ordre

dx* "^ dy* "*" ds* d'une fonction F de x, y, 2,

Ces équations, où

a — ^4- — 4. l2ï dx dî/ dz'

ne renferment d'autres inconnues que u, v et w;, si Ton suppose

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE 46i

connu l'état initial du solide, ses constantes carAotéristiques X et |i. (qui ont évidemment les menées valeurs dans toute l'étendue du solide), enfin les forces agissant sur chacun de ses points.

Elles doivent être vérifiées, en tout point m pris à l'intérieur du solide, par les fonctions u, 'i;, w qui définissent la déformation. On lep désigne sous le nom d'équations indéfinies.

• 230. Équations a la surface. — Nous avons remarqué précédenunent que les forces extérieures pouvaient subir une variation discontinue lorsqu'on passait d'un point m pris à Tintérieur du solide à un point p pris sur sa surface.

Mais sur cette surface elle-même les actions extérieures doivent varier avec continuité, et si l'on considère autour du point p un élément superficiel infiniment petit, nous admettrons que les forces extérieures appliquées à cet élément, étant sensiblement parallèles entre elles, peuvent être remplacées par leur résultante de translation, et que le rapport de cette résultante à la surface de l'élément tend vers une limite déterminée en grandeur et en direction et dépendant uniquement de la position du point choisi. Soit F cette grandeur limite, et désignons par Ij m, n les cosinus des angles que sa direction fait avec les axes.

Considérons autour du point p un élément superficiel triangulaire abc, déterminé par trois plans parallèles aux axes et menés par un point m infiniment voisin pris à l'intérieur du solide.

L'équilibre du tétraèdre élémentaire mabc s'exprimera par des relations analogues à celles que nous avons établies au paragraphe 21 G, mais où les composantes de la tension s'exerçant sur la face abc devront être simplement remplacées par les composantes de F, on aura donc :

Fl =Nia + T3P + Tar, Fm=T3a + N,P + T, T, Fn = Tj a + Tj p + N, t,

c'est-à-dire, en substituant, comme nous Tavons fait pour les équations intérieures, aux N et aux T leurs valeurs respectives ■en fonction de w, v, xo :

Ces équations, dites équations à la surface, devront être vérifiées par les fonctions w, v, w en chaque point de la surface du solide. Elles ne renferment, comme les précédentes, d'autres inconnues que u, v, iv puisque F et les cosinus Z, m, n, qui fixent la direction de F, sont supposés connus en fonction de? •coordonnées du point p, et qu'il en est de même des cosinus a, g, Y qui déterminent au point p la direction de la normale à la surface.

Le problème que nous nous sommes proposé et qui consiste à •définir l'état d'équilibre que doit prendre le solide déformé sous l'action de forces connues, se trouve donc ramené à la détermination analytique des trois fonctions u, v^ w de œ^ y et z satisfaisant aux équations différentielles (1) et (2).

• 231. Remarque sur un cas particulier. — Dans le •cas particulier où les seules forces agissant sur le solide sont •celles qui s'exercent sur sa surface, si les fonctions ti, r, w sont les dérivées partielles par rapport k x, y et z d'une même fonction ç, on a :

^t par suite

" di« "^ dy* "^ dz^ "" dx\dx* "^ dy^ "^ dz* } " "dT ~

de di'

de même

dy

Al ^®

Les équations indéfinies se réduisent alors à :

de ^ dO ^ dû A

dx dy dz

Ce qui montre que la condition admise ne peut se présenter que si la dilatation cubique 0 est constante à Tintérieur du solide.