THEORIE DBS PETITS MOUVEMENTS
• 235. Bquations des petits mouvements. — Imaginons un système de points soumis à un système de forces F. intérieures et extérieures, mais admettant un potentiel, etsuppo-
sons une situation particulière du système pour laquelle ce potentiel soit minimum. L'équilibre correspondant à cette situation sera stable (S iSV), c'est-à-dire que si, par l'effet d'une perturbation quelconque, le système se trouve légèrement écarté de sa position d'équilibre, puis abandonné à l'action des seules forces F, avec des vitesses très petites, communiquées à ses différents points, le mouvement qui se produira sera tel que les déplacements des points par rapport à leurs positions d'équilibre resteront toujours très petits.
Proposons-nous d'établir les équations générales des mouvements ainsi définis.
Soient ar,-, y^, Zi les coordonnées d'un point quelconque m^ du système dans sa position d'équilibre, w,-, v,-, Wi les projections sur les axes de son déplacement à une certaine époque. Les coordonnées variables de ce point seront à l'époque considérée :
Xi + Ui yi + Vi zt + Wi,
Ui, Vi, Wi restant toujours très petits par hypothèse.
Le potentiel, fonction des coordonnées de tous les points, aura une expression de la forme :
H) V= F [(x, + w,), (î/, + 1?,), (zi + w,) ; (X, + u J, (y, + Vj), (z, + w,); ]
et d'après sa définition même, les projections de la résultante agissant sur le point mt seront :
dui dvi ' dw,'
puisque Xf^ y<, Zt sont des constantes. On aura donc pour les équations du mouvement du point m^ :
d^Ui , dV ^ '^* "^-dF+d^i^^
^d«w,, dV
•r# îi
- Si Ton développe actuellement la fonction V par la série de Taylor relativement aux UyV,w considérés comme accroissements des (F, y, Zj on a, en s arrêtant aux termes du second ordre :
(3) V = F(Xi, Vi, Zi;x„ i/a, z,; ) + ^ ^— u + — i? 4- ^w j
. iC^/d'F , . d«F , . d«F , . ^ d»F . ^ d*F , ^ d«F \
les signes § s'étendant à tous les points du système et dans le àemier terme à toutes les combinaisons deux à deux de ces points et de leurs déplacements w, v, w.,.
Mais à cause de la condition de minimum précédemment
admise pour le potentiel, toutes les dérivées premières telles que
dF dF dF
dx, dy^ dz^
doivent être nulles, et par suite les termes du premier ordre disparaissent dans Téquation (3).
Si Ton suppose en outre que :
ce que Ton peut toujours faire, puisque V, qui n*est déterminé que par ses dérivées, renferme dans son expression une constante arbitraire, Téquation (3) se réduit à :
(*j 2^=^vôb^^+d7" "^-d?^^ ^^d^^^^'+^didî?^^
d*F dxdy
Toutes les dérivées qui figurent dans cette expression restant d'ailleurs constantes dans le mouvement qui nous occupe, représentons ces constantes par la lettre a affectée de doubles indices, avec la condition que ces constantes prennent des valeurs égales quand leurs indices se trouvent permutés. La valeur de V pourra
s'écrire :
(5) + (ajitij + a„r, + 0,3 w, + a^^u^ + a,,!?, + 021^» + ) ^i»
et Ton reconnaît aisément que les dérivées - — , -7—, -7 — , -7— ,..•
du^ dv^ dw^ du^
formées avec cette expression de V sont précisément égales aux
parenthèses du second membre, et qu'on a par exemple (') :
dX
-7--= a„ «1 + a,,ri + a^^w^ + a^^u^ + a„r, + «16^2 + ..., ^ = a^^u^ + a„t?4 + a,3Wi + a,^iij + a^r, + a^w^ + ..., etc.
Les équations du mouvement où Ton porte ces valeurs s'écrivent par suite :
m -TTf + ttji u^ + ajjUj + a„ Wi + a,4Uj + a^^v^ -h OjeWj + ... = 0, m -^ + a,|Uj + antJ| + a^w^ + aj^u, + a^Vj + a,gWj + ... = 0, etc.
et constituent ainsi un système d'équations différentielles simultanées linéaires et à coefficients constants. De cette forme particulière des équations (7) résulte immédiatement une conséquence très importante.
* S3G. Superposition de« petite mouvements. —
Si l'on part d'un état initial connu S', caractérisé par les écarts initiaux :
(u;)o («;)• K)o K), Mo {w;)o ,
(*) Gela résulte d'ailleurs de rhomogénéité de V par rapport à t<|, v^j w^,.... : on doit avoir, en effet, d'après la propriété caractéristique des fonctions homogènes :
dV , dV dV ^ ^-^
du^ ^ di?i ' dwj '
et les vitesses initiales :
/dy\\ (dv;\ rdW\ (dr^X (MA (dv^\ \dtj, \dt), \dtj, \dt), \dt), \dtj.
les équations différentielles (7) permettent de déterminer la série des situations occupées par les points du système aux différentes époques consécutives. En effet la connaissance des écarts initiaux détermine ces situations à Tépoque t^^ celle des vitesses initiales les fait connaître à Tépoque t^ -f* dt ; les accélérations initiales qui se trouvent déterminées par les équations (!) donnent alors les positions des points au temps t^ + 2d(, et si l'on opère de même en prenant pour nouveau point de départ la situation au temps t^ + dt^ on arrivera par l'application des équations (7) à connaître la situation au temps t^ + Zdt et ainsi de suite.
Cela posé, il est visible d'après la forme linéaire des équations (7) que si l'on imagine trois états initiaux S', S'', S'", liés entre eux par les conditions
(ur)o = (u'.)o + (u';)o, (8) «)o = W)o+W')o,
et
/dur\ fdv\\ /<K\
\,di Jo^\dtJ,'^\dt)
(9) fdv
\dt
tjo \dt).^\dt)^
on aura également pour les accélérations initiales :
(10) /dXA fd^\ , /dX\
et d'après la manière dont se déterminent les situations sacces-
«ives des points, les conditions (8) vérifiées par hypothèse au début du mouvement ne cesseront pas d'être satisfaites aux époques suivantes.
En d'autres termes, le déplacement d*un point à une époque quelconque dans la troisième hypothèse sera la somme géométrique de ses déplacements à la même époque dans les deux premières h3rpothèses.
C'est dans ce résultat que consiste le principe de la superposition des petits mouvements ^ principe qui, étendu à un nombre de mouvements quelconques, s'énonce généralement de la manière suivante :
La superposition de plusieu/rs états initiaux particuliers déter- ^mine un mouvement tel, que le déplacement des points à une époque quelconque résulte de la superposition de ceux qui s'obseï^veraient à la même époque dans les divers mouvements corres^^ pondant aux états initiaux particuliers.
* 23T. Intégration des équatlonei. — Les équations (7) — qui déterminent les u^v^wen fonction du temps et qui sont au nombre de 3n si les points sont au nombre de n — admettent un système d'intégrales générales qui doit renfermer 6n constantes arbitraires. D'ailleurs, d'après la forme linéaire de ces équations, si
sont deux solutions, on obtiendra une solution plus générale en posant :
les constantes c^ et c, étant arbitraires.
On connaîtrait donc la solution générale si l'on parvenait à découvrir 6n solutions particulières distinctes.
Or on a vu (S TS) que «rintégrale générale de Téquation
était
dt
X = Cj cos {st + cj,
où 5
On est donc naturellement conduit, par l'analogie de l'équation (11) avec les équations (7), à essayer des solutions de la forme
Uj = Aj ces (at + fe), t?i = Bj cos (st -f fe),
(12) ^*'i = Ci cos (8t + k),
w, = A, cos (8(4- k)y
qui, portées dans les équations (7), conduisent aux conditions :
(a,, — m««) Al -f a^j B, -f a,, Cj + a^^ A, + = 0,
(13) a„ A, + (a„ — ms») B^ + a„Ci + a,^ A» + = 0,]
«Si Al + agj Bi 4- (oas — ma*) Cj + Cj^ A, 4- = 0.
Ces équations au nombre de 3n sont homogènes par rapport aux3n coefficients ApB^,Gi,A,, B,... Elles permettent donc leur élimination et le résultat de cette élimination, qui s'obtient en égalant à zéro leur déterminant, est une équation du degré 3w en 5* telle que
Si Ton suppose s* déterminé par cette équation, à chaque racine particulière s^ correspondra un système de 3n équations (13) déterminant les rapports des coefficients A,, B,, C,,
C'est-à-dire que les valeurs de ces constantes pourront être encore multipliées par un facteur arbitraire X^. La solution ainsi
obtenue sera donc de la fonne :
/|4N (wi),- = h (A,),- cos (Sit + ki)y
Xf et ki restant arbitraires.
L'équation en s étant de degré &n fournit en général 6n valeurs pour cette lettre. Toutefois ces valeurs étant deux à deux égales et de signes contraires et les équations qui déterminent les rapports des coefficients A^, B,, C,,... ne renfermant que le carré de s, on n'obtient pour ces rapports que 3» systèmes de valeurs distinctes. Gomme d'autre part le changement de signe de s dans cos {st + A;) équivaut au changement de la constante arbitraire k en — A, la méthode ne fournit en réalité que 3n solutions distinctes de forme (14).
Mais ces 3n solutions renfermant chacune deux constantes arbitraires, leur connaissance équivaut à celle de l'intégrale générale, et cette intégrale générale s*obtient en faisant simplement la somme des intégrales particulières, puisque chacune de ces intégrales particulières renferme déjà une constante arbitraire en facteur.
* 23S. Mouvements simples et mouvement séné«
rai. — Les 3n mouvements correspondant aux intégrales particulières sont dits mouvements simples.
Dans ces mouvements les trajectoires sont rectilignes : en effet pour le point d'indice r par exemple, on a :
^ ' (A.), - (B,)< ■" (Cr)/
Ce point se déplace donc sur une droite passant par sa position d'équilibre et dont les cosinus directeurs sont proportionnels à (AJ,, (B,)„ (G,),.
En outre ces mouvements sont périodiques et la période commune à tous les déplacements d'un même système, d'indice i, est :
(16) T = iî.
474 COURS DE MÉCANIQUE lUTIONNELLE
Enfin le mouvement le plus général peut toujours s'obtenir par la superposition de mouvements simples, comme on Ta expliqué plus haut. Ainsi :
Tout mouvement d'un système de points qui ont été écartés très peu d'une position d^équilibre peut être considéré comme résultant de la superposition des divers mouvements simples dont le système e^ susceptible.
Les équations du mouvement général seront donc de la forme :
Ces équations au nombre de 3n renferment 6n constantes arbitraires X et A : ces constantes sont déterminées par les conditions initiales, au nombre de6n également et résultant de la connaissance des déplacements initiaux et des vitesses initiales.
• 239. Observation sur la réalité des raeines de l'équation en s. — On a supposé dans ce qui précède, que les valeurs de s fournies par l'équation (13) étaient toutes réelles. Il est nécessaire d'ailleurs qu'il en soit ainsi, pour que le raisonnement soit applicable : car si certaines valeurs de s étaient imaginaires, on trouverait, pour les équations des déplacements simples correspondants, des exponentielles réelles, au lieu de cosinus réels et, par suite, ces déplacements ne conserveraient plus une valeur toujours très petite. Mais il est facile de justifier cette hypothèse et de montrer qu'elle est une conséquence forcée de la stabilité de l'équilibre.
En effet, en désignant par s une racine quelconque de l'équation (14), le mouvement simple correspondant d'un point w, est défini par les équations :
Ur = X Ar COS {st + ^),
r, = X Br COS (st + ft),
Wr='kCr COS {st + h),
d'où l'on déduit :
= — J' Ur,
d*Wr ,
et les équations (2) peuvent s'écrire pour le point m,
ms*Ur = -; — »
dV
dUr
m«'tv = -7 — »
dV
dWr'
m«*Wr =
Si l'on ajoute ces dernières équations après les avoir respectivement multipliées par u^^ v^, w^ et si l'on fait la somme analogue pour tous les points du système, dans le mouvement simple considéré, on trouve :
Mais la fonction V étant homogène et du second degré, on a, comme on l'a déjà fait observer,
Ç\ /dV . dV , dV \ ..
donc
8«j§m(Ur«+rr«+Wr») = 2V,
d'où
j§m (U,.« + Ur* + Wr*)
Or cette expression est nécessairement positive, car son dénominateur représente un moment d'inertie polaire^ essentielle-
tr^^'^\
ment positif, et son numérateur 2 V est positif également, puisque le potentiel V est minimum pour V = 0 d'après les hypothèses admises. Donc toutes les valeurs de s^ étant positives, celles de s sont toutes réelles comme nous l'avions supposé.
* <iS4lO. Equations générales des mouvements vibratoires dans un solide isotrope t mouvements vibratoires simples. — Revenons actuellement à la question que nous nous sommes d'abord proposée et cherchons à déterminer les mouvements que doivent prendre les points d*un solide légèrement déformé autour de leurs positions d'équilibre.
Nous supposerons toujours le solide primitivement isotrope, et pour simplifier nous admettrons même que les forces extérieures auxquelles la déformation doit être attribuée disparaissent une fois cette déformation produite, en sorte que le solide déformé se trouve abandonné à ses seules réactions intérieures et que son nouvel état d'équilibre n'est autre que son état initial.
Dans ces conditions, les équations d'équilibre, établies au paragraphe 329, se simplifient par la suppression des forces extérieures (X^, Y^,, Z^) et deviennent :
Ces équations où
dy
. __ du du dw ^ dx dy dz
seraient évidemment satisfaites par
puisque le solide en revenant à son état initial se trouverait en équilibre.
Mais, ainsi que nous Tavons expliqué, cet équilibre ne se réalise pas, et les équations du mouvement vibratoire qui se produit doivent s'obtenir, d'après le principe de d*Alembert, en ajoutant les forces d'inertie à celles qui figurent déjà dans les équations d'équilibre.
Les composantes de ces forces d'inertie, pour un élément infinitésimal dxdydz sont d'ailleurs, en désignant par p la densité du solide :
d' XI d' î5 d' w
— p dxdydz— ^1 — pda:dî/d2^» — p dx dy dz -^-^.
Si l'on introduit dans les équations (20) ces trois composantes après les avoir divisées par dx dy dz^ comme on l'a fait précédemment pour les autres termes de ces équations, on trouve pour les équations du mouvement :
rr.-t *> . V dO .. d*tJ
(21) (X4-{x)j- + {iA«i; =p-5^'
9^ + iO TZ + V- ^"^^ = 9 -TT'
X, ;i. et p étant initialement constants par rapport aux coordonnées dans toute l'étendue du solide, et pouvant être regardés comme constants également pendant la durée du mouvement, parce que les variations que ces coefficients subissent par l'effet de la déformation sont généralement négligeables.
Telles sont les équations indéfinies auxquelles les déplacements w, v, w fonctions de œ, y, z et de t doivent satisfaire; leur intégration, complétée par la considération des équations à la sur^ face^ fournirait la solution générale du problème qui nous occupe.
Mais sans effectuer directement cette intégration, on peut remarquer que les déplacements étant dus à l'action de forces intérieures^ c'est-à-dire de forces qui admettent un potentiel (§ té64L), et la situation d'équilibre autour de laquelle ces déplacements se produisent, étant évidemment stable, .leur amplitude
restera forcément très petite et que par conséqaent les résultats précédemment énoncés dans l'étude des petits mouvements seront toujours applicables.
Or nous avons établi dans cette étude que le déplacement le plus général d*un point pouvait s'obtenir par la superposition de déplacements simples, rectilignes et définis par des relations de la forme :
Ur=XAr ces {st + k), (14) Vr = XBrCOslst + fc),
Wr = XCr ces {st + fc),
où les lettres X, &, Â^, B^, C^ et s représentent six constantes par rapport au temps, les deux premières arbitraires, les trois suivantes déterminées pour chaque point, lorsque le potentiel est connu, par la résolution des équations (13), la sixième enfin déterminée également par les équations (13), mais recevant la même valeur pour tous les points du système.
Dans le cas actuel la forme de la fonction qui représente le potentiel n'étant pas connue, on ne peut se servir des équations (13) ; mais pour y suppléer on a les équations généralesf2i) auxquelles les fonctions u, i;, w doivent satisfaire d*une manière continue.
On devra donc considérer les constantes qui figurent dans les expressions (14) comme étant toutes indéterminées et chercher ensuite quelles liaisons il convient d'établir entre elles et les coordonnées pour que les équations (21) soient satisfaites.
On est conduit ainsi à essayer dans les équations (21) des expressions de la forme :
u = p cos {st + ft),
(22) v=zq cos (st + k\
w = r cos (st 4- k)y
où Pj q, r et A;, constants par rapport au temps, peuvent être des fonctions de x^ y, z, mais où la lettre s représente une constante indépendante du temps et des coordonnées. On reconnaît facilement d'ailleurs qu'on peut satisfaire aux
équations (21) en prenant pour p^ q et r des valeurs indépendantes de X, y y s et pour k une expression de la forme :
k=z^(ax'{-hy'^cz + 9).
En effet les valeurs de u,v,w s'écrivent alors :
u:=p CCS (st — ax — by — cz — 9), (82') v = q ces {8t — ax — by^cz — 9),
%v =: r ces (8t — ax — by — cz — <p),
ou plus simplement en désignant par ^ la parenthèse :
u = p ces ^, v = q cos 4», w = r cos 4»,
et SI 1 on forme avec ces expressions les quantités -7-, j-, ^^ A'w, A'y, A*w;, -r-j, -7-7, -73- qui figurent dans les équations (2 1)^
(tt dt db
on trouve par un© première dérivation :
d'où
du . , du . . , dw . ,
jj = apsin4» — =6qsm4» — =crsiD4',
. du , du , dw , ... V . I
■1- = — a (ap + 6q + cr) cos 4»,
dO
(a) — = — 6 (ap + 6g + cr) cos ^j»,
— = — c {ap + 6g 4" cr) cos «j»,
et par une dérivation nouvelle
= -a«p COS+ = -6«pcos4. ^ = -.c«pcos4».
d'où
et par analogie
A'u =—q (a* + ù* + c') cos^J', A*w = — r (a'^ + b^ -^ c') ces J*,
OU en posant pour simplifier :
A"u = — p/i' cos^î', (p) A' V = — qh* cos 4»,
A*w= — rh* cos^»;
enfin les expressions |de w, v, t^ dérivées par rapport au temps donnent :
du. , , do . , dw . ,
-rr = — pS SI n 0/ -rr = — 08 SIU ^ -77 = — rs sin O
a/ tt/ tu
-TT = — P« ces 4» -r-s- = — gs* COS ^ "rr = — r«* cos tl
En portant les valeurs (a) (g) et (y) dans les équations (21) et supprimant le facteur commun cos ^, on obtient les trois relations :
(X 4- fx) a (ap + 57 + cr) + (jt/i* — ps«) p = 0, (24') (>^ + |a) b {ap + 6g -f- cr) + (n/i* — p«*) g — 0,
(X+ |Jt) c (ap + 5g + cr) + (;xh' — ps*) r — 0,
c'est-à-dire trois conditions d*où les coordonnées variables ;r, 1/, : et le temps t ont disparu, et où ne figurent plus, tant comme coefficients que comme inconnues, que des quantités constantes par hypothèse.
On pourra donc déterminer les valeurs de celles 'de ces constantes dont on dispose de manière à satisfaire à ces conditions, et il restera même une grande indétermination dans la solution, puisque les conditions sont en nombre bien moindre que celui des constantes à déterminer.
Le nombre de ces conditions se réduit même encore, car si l'on
ajoute les équations (21') après les avoir respectivement multipliées par a, 6, c, on obtient Téquation : '
[(>^ + 2^.) /i*— p8*)] (ap + bq + cr) = 0,
à laquelle on peut satisfaire, soit en posant :
(23) ap + bq + cr = 0,
soit en faisant :
(24) (X + 2îjl) /i* = p8*.
Dans le premier cas d'ailleurs, les équations (21') se réduisent à Téquation unique
qui, jointe à
ap + 6g + cr =r 0,
fournit les deux seules conditions auxquelles les constantes doivent satisfaire.
Dans le second cas, les équations (21') où Ton remplace p5* par sa valeur, deviennent :
a {ap + bq + cr) — ph* = 0, 6 {ap -{• bq + cr) — qh* = 0, c {ap + bq-\' cr) — r/i" = 0,
et peuvent s'écrire :
abc /i*
p q r ap ■{■ bq i- cr
Mais h cause de A* = a*+6* + c*, la dernière de ces relations peut se déduire des deux premières, en sorte qu'on n'a en définitive que les trois conditions
Cette discussion montre qu'il existe une infinité de valeurs des constantes a, 6, c, p, 9, r^ s et ^ pour lesquelles les expressions
u=p ces (st — ax — by — cz — ç), (22') r = g ces (st — ax — by — cz — 9),
w = r ces {st — ax — by — cz — o),
satisfont aux équations indéfinies.
Par exemple on trouvera dans la première hypothèse une infinité de mouvements simples possibles en prenant arbitrairement a, 6, c et ç, en imposant ensuite à p, 5^, r la condition (23)
ap + 6q + cr = 0,
et en déterminant s par Téquation (25).
Dans la seconde hypothèse, on pourra prendre arbitrairement a, 6, c et y; jD, g et r devront satisfaire alors aux conditions (26)
et s sera déterminé par Téquation (24).
D'après la théorie des petits mouvements, on obtiendra des mouvements également admissibles et d'une nature plus complexe par la superposition de ces mouvements simples. Quel est, parmi ces différents mouvements possibles, celui qui se produira effectivement? On conçoit que pour résoudre cette question il faudrait faire intervenir d'abord les équations à la surface^ et constater si elles peuvent être vérifiées par un système de valeurs achevant de déterminer les constantes qui restent encore indéterminées dans la question.
Ensuite, on devrait tenir compte également des conditions initiales pour chaque point, c'est-à-dire des déplacements initiaux
(^*i)o) (^i)o> (^^i)oî--- ®^ aussi des vitesses initiales (-jp) , (-^*) '
( —j-M ...., si les points étaient supposés animés au temps t^ de certaines vitesses.
*24ll. IVature des mouvements vibratoires simples précédemmeiit défluls | ondes planes | vitesse de propagation | vibrations longitudinales et transversales. — Cherchons actuellement à nous rendre compte de la nature des mouvements vibratoires simples définis par les équations (22').
Remarquons d^abord que dans tous les cas, les valeurs de Pj q^r étant les mêmes pour tous les points du système dans un môme mouvement simple, le mouvement d'un point quelconque est rectiligne et parallèle à une direction fixe, puisque
Considérons le plan
ax -{- by '\- cz = Oy
mené par Torigine : sa direction est invariable pour un même
mouvement simple, et la distance mp ou 8 d'un point m [œ, y, z) à ce plan, a pour expression :
ax-\-by '\- cz gjc + h\j -f cz V^a* + i>* 4- c* ~ ^
Les équations s'écrivent :
(220 ^^ l'oi^ introduit cette distance 8,
u = p (ces Bt — h5 — <p), 13 = q cos («i — /i8 — 9), w = r cos (sf — hZ — <?),
et sous cette forme elles montrent qu'à un instant donné le déplacement est le même pour tou^ les points situés à la mime distance \ du plan F ou à une distance déterminée par l'expression générale
2Kr.
5=— r~ + ^Qf
c'est-à-dire pour tous les points appartenant à une série de plam
Ooî Qi) Qv" parallèles au plan P et équidistants entre eux.
De là la dénomination de mouvement par ondes planes donnée
aux mouvements vibratoires simples dont nous avons reconnu la
possibilité.
2x L*espacement ^ des ondes planes parallèles s appelle la
longueur d'ondulation.
On remarquera encore que le mouvement de chaque point est périodique^ c'est-à-dire que le déplacement d'un point est le
même lorsque le temps s'accroît de —
Cette période commune à tous les déplacements dans un même mouvement simple s'appelle durée de la vibration.
Enfin le déplacement que prennent tous les points d'un plan 0 (S) à une époque t est le même que celui des points d'un plan Q' (o'j à une époque t\ si
jf'— ./i8' = s/ — /i8,
c'est-à-dire si la variation df — 5 ou AJ est liée à la variation t' — * ou Ai par la relation
àt "T
Ainsi, si un plan Q se déplace, en restant parallèle à lui-même
et au plan P, avec une vitesse de translation égale à y, les
déplacements des points du solide appartenant à ce plan à un
instant quelconque sont constamment les mêmes. C'est ce qu'on exprime en disant que Tonde plane se déplace avec une
vitesse -> ou que la vitesse de propagation de Vonde est ^•
Si les constantes ont été choisies de manière à satisfaire à la condition
la vitesse de propagation est donnée par la formule :
Dans ce cas d'ailleurs les vibrations, qui ont une direction normale au plan de Tonde, puisque
s'exécutent dans la direction même de leur vitesse de propagation.
Elles sont dites longitudinales : les vibrations longitudinales étant toutes parallèles entre elles sont dites polarisées.
Si les constantes au contraire sont assujetties à annuler la quantité ap + bq-^- cr^ la condition
ap + 64 + cr = 0
exprime (d*après la proportionnalité de Uy v, w kp, 9, r) que la direction du mouvement vibratoire est parallèle au plan de Tonde.
Ces vibrations sont dites transversales. Leurs directions peuvent être quelconques d'ailleurs, pourvu qu'elles soient parallèles au plan P.
Dans ce cas, la relation
|tM— p«* = 0
donne pour la vitesse de propagation, l'expression :
co
h Vp
On peut remarquer encore que dans ce dernier cas la dilatation
cubique
^ du , dv , dw , ... \ • I ^ = dï + d^+dI = <^P + *^ + '^)""*
est constamment nulle : ainsi la densité du milieu ne se trouve pas modifiée par Teflfet des vibrations transversales.
D'ailleurs, pour les deux espèces de vibrations que nous venons de définir, les vitesses de propagation ne renferment que les coeflBcients X, [a, p dans leurs expressions et sont indépendantes
par conséquent de la durée — et de Tamplitude \/p* + ?* + '^ des vibrations.
