R> PA

Combinant cette condition avec la précédente, on voit que R

Pi doit être compris entre P/* et -j— Il faut donc que Ton ait

pour que le glissement soit possible. Si h était supérieur à cette limite, tout effort de traction assez grand pour provoquer ce glissement déterminerait le basculement du solide autour de Tarête 6,

251 . Quatrième problème. — Aro-boutement d'une tige rigide. — Une barre rigide AB s* appuie par son extrémité A [que nous réduirons fietivement à u/n point) sur un plan PF: elle est soumise à V action d'u/ne force F dirigée suivant BA. Qn demande quelles sont les conditions nécessaires pour que le glissement de la tige sur le plan PP' puisse se produire.

Transportons la force F au point A et décomposons-la en deux forces, lune N normale au plan PF, l'autre T tangente à ce plan. On aura, en (fésignant par a Tangle de la ligne AB avec la normale AL au plan PP,

T = F sin a.

Si le glissement se produit, c'est que le frottement aura atteint sa limite /"N, et comme alors la composante T devra lui être

supérieure, puisque le mouvement du centre de gravité résulte de Taction de ces deux forces, on aura

c'est-à-dire

T>rN,

tg 0L> fy

Ainsi, toutes les fois que Fangle a est inférieur à Tangle ç du frottement, le glissement de la tige est impossible, quelque grande que soit la force qu'on lui applique. On dit alors que la tige est arc-boutée.

Le phénomène de Tarc-boutement a donné lieu à de nombreuses et très ingénieuses applications pratiques dont la description trouvera sa place dans Tétude de la Mécanique appliquée.

352. Cinquième problème. — Sfonvenieiit d'un corps rond sur un plan ln<?liné. — Un corps rond, cylindrique ou sphérique étant posé sur un plan incliné AB, comme r indique la figure ci-contrCj c'est-à-dire de manière à ce que sa section circulaire soit dans le plan vertical de la ligne déplus grande pente du plan, on demande quel mou/vem^nt il prendra sous Vaction de la pesanteur.

Le corps rond est soumis d'une part aux actions de la pesanteur qui peuvent être réduites à une force unique P, appliquée au centre de gravité 0 (que nous supposons situé dans le plan du tableau), d'autre part aux réactions du plan qui se manifestent soit par une résultante unique dans le cas de la sphère, soit, dans le cas du cylindre, par une série de forces appliquées aux points de contact et qu'on peut décomposer en forces normales et forces tangentielles ou de frottement. Hais si nous sup-

posons le corps symétrique par rapport au plan du tableau, toutes les forces normales et toutes les forces tangentielles, étant respectivement parallèles entre elles et symétriques, peuvent se composer en deux résultantes uniques N et F, qui seront situées dans le plan du tableau et appliquées au point de contact C.

Le centre de gravité ne pouvant se mouvoir que suivant la droite 0 X parallèle à Â 6, les équations de son mouvement seront, en désignant par R et Q les composantes de P suivant A B et la perpendiculaire à ÂB :

g al

La première de ces équations détermine la réaction normale N.

Écrivons maintenant les équations du mouvement du solide autour de son centre de gravité en le rapportant à des axes de directions constantes menés par ce centre.

Il est évident que ce mouvement, s*il existe, ne pourra être (par nécessité géométrique dans le cas d'un cylindre et par raison de symétrie dans le cas d*une sphère) qu'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au tableau et projeté en 0.

Soit (I) la vitesse angulaire de cette rotation ; les moments des forces apparentes étant nuls dans le mouvement relatif en question, si Ton désigne par r le rayon de la section circulaire du corps rond et par k son rayon de giration autour de Taxe 0 et si l'on néglige la résistance au roulement, Téquation de la rotation du solide sera :

dw Fr (3)

Actuellement, diverses hypothèses peuvent être faites : " 1® S'il y a roulement sans glissement, c'est-à-dire si la force tangentielle F n'atteint pas la limite fQ (où/* désigne le coeflS-

cient de frottement), on a entre v et a> la relation

cette relation exprime en effet que dans le mouvement absolu le point G, qui appartient à l'axe instantané de rotation, reste immobile.

Les relations (2), (3) et (4) permettent alors d'éliminer t; et co et conduisent à la condition

qui détermine la réaction tangentielle F.

Mais cette valeur de F, pour être admissible, doit être inférieure à /*Q, d'où la condition

(6) Q^^~fcï~'

R D'autre part, le rapport -jr des composantes de la pesanteur

est égal à la tangente de l'angle a que fait le plan incliné avec le plan horizontal ; la condition (6) peut donc s'écrire :

(7) , ^ ft* + r*

2^ Si tgcn dépasse la valeur limite qui lui est assignée par cette inégalité, le glissement doit se produire; dès lors, la relation (4) entre v et <i> cesse d'exister; mais comme, d'autre part, la force F atteint sa valeur limite /Q, les équations (2) et (3) deviennent

— Rr

TiiO COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

et, ne renfermant plus que deux inconnues t? et (o, elles suffisent à les déterminer.

Il est facile de vérifier d'ailleurs que ce cas ne peut se produire que si la limite précédemment trouvée est dépassée par Tinclinaison.

En effet, pour que le frottement se développe, il est nécessaire que le point de contact G se déplace par rapport au plan dans le sens CB du mouvement. Or son déplacement élémentaire absolu résulte de la composition du déplacement produit par la rotation îodt autour du centre 0 avec la translation vdt du centre de gravité. Ces deux déplacements sont dirigés, le premier suivant GA, le second suivant GB. Il faut donc que Ton ait

riûdt < vdtf

d'où

dfi> dv

et en portant dans cette inégalité les valeurs de ^ et -r fournies

dt ai

par les équations (2') et (3*), on trouve :

c'est-à-dire

R fe*+r«

fe« + r«

3® Un dernier cas enfin pourrait se présenter, ce serait celui du glissement sans roulement ; mais, pour qu'il se produise, il faut, d'après l'équation (3') que la composante Q s'annule, ce qui ne peut avoir lieu que si le plan AB est vertical.

253. Remarques diverses au sujet du problème précédent. — Dans le cas où le corps rond serait remplacé par un parallélipipède, on a vu (§ 248) que rinclinaison à partir de laquelle le glissement commencerait à se produire correspondrait à la valeur

tg(i = f.

Pour le corps rond, la formule (7) montre qu'on peut atteindre

A;* + r* une inclinaison plus forte f — ^ — sans que le glissement ait lieu.

Si le corps est une sphère homogène, on a :

et Tangle limite est donné alors par la tangente ^ f.

Si le corps est cylindrique,

et la tangente de l'angle limite est 3 f.

On peut observer encore que, dans le cas du roulement simple, le mouvement absolu du corps rond étant une rotation autour de la perpendiculaire au tableau menée par le point C, les travaux de la réaction normale et de la force de frottement tangentielle sont constamment nuls, puisque le point d'application de ces forces est immobile. Le travail total se réduit donc à celui de la pesanteur et par conséquent, pour une hauteur de chute A, il est égal à PA.

D'autre part, la force vive peut être évaluée (S 141) en fai-

sant la somme de la force vive - v* de la masse entière concen-

trée en son centre de gravité et de la force vive - A;* —, due à la

rotation du solide autour de son axe. On aura donc, si Ton sup-

pose le solide, parti du repos :

d'oîi (8)

et Toi} arrive ainsi directement à un résultat que fournirait rélimination de F et l'intégration des équations (2) (3) et (4).

L*équ^tion des forces vives peut être encore appliquée au cas où le corps serait lancé de bas en haut suivant la ligne de plus grande pente du plan incliné avec une vitesse initiale v^ Lorsque le corps se serait élevé d'une hauteur A', sa vitesse serait donnée par l'équation :

' En faisant t;=0 dans cette équation, on détermine la hauteur H à laquelle s'élèvera le corps roulant : on trouve

On remarquera que cette hauteur est supérieure à la hauteur

^ à laquelle s'élèverait un simple point matériel lancé sur le

plan incliné avec la même vitesse initiale.

Pour expliquer ce résultat, qui peut surprendre au premier abord, il faut remarquer que la force vive initiale étant la somme des forces vives dues à la vitesse de translation v^ et à

la vitesse de rotation—, est supérieure à celle d'un point matériel

de même masse animé de la vitesse v^.

254. Sladièiiie problôme. Mouvement d'âne bille 0ur le tapis d^n billard. Prender eas t Monvemeiit reetilisne. — Supposons une bille sphérique homogène de

^ -■» If m 1*1 m j H^-^ jT •""

TÇT-T-

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE 5i3

rayon R primitivement au repos sur la surface horizontale d*un billard et recevant une percussion horizontale S appliquée en un point i ^tué sur le diamètre vertical 0 a et à une distance 0 i au-dessous du centre que nous représenterons par XR.

Tout étant symétrique par rapport au plan vertical qui renferme la percussion, il est évident d*abord que la bille ne peut sortir de ce plan et que son mouvement par conséquent doit être rectiligne.

La bille au repos était soumise à l'action de deux forces qui se faisaient équilibre, la résultante P de la pesanteur appliquée au centre 0 et une réaction N égale et opposée à cette résultante, et appliquée au point de contact a. Par Feffet de la percussion S, si d'autres forces nouvelles n'intervenaient pas, la bille tendrait à prendre (§ 184) :

1^ Une translation parallèle à i S dont la vitesse i;^ serait donnée par la relation

2® Une rotation relative s'effectuant autour du diamètre conjugué du plan de OiS, c'est-à-dire autour de Taxe projeté en 0 sur la figure, et dont la grandeur serait

Par leffet de ce double mouvement, le point a se trouverait animé simultanément d'une vitesse d'entraînement v^ et d'une vitesse relative Ra)^, et sa vitesse absolue, égale à la somme de ces vitesses composantes dirigées toutes deux dans le sens aE^ serait :

quantité qui ne peut pas être nulle, si l'on suppose le point i situé au-dessous du centre 0, c'est-à-dire X positif. Le roulement simple est donc impossible et dès lors d'autres réactions interviennent qui modifient les effets de la percussion S.

Ces réactions, si Ton ne tient pas compte de la résistance au roulement qui est relativement faible, se réduisent à une force unique fP appliquée au point a et dirigée en sens inverse du déplacement que ce point tend à prendre, c'est-à-dire dans le sens opposé à la percussion S.

A partir de l'instant initial, la bille n'étant soumise qu'aux actions de la pesanteur, de la réaction verticale et du frottement, l'équation du mouvement de son centre de gravité sera :

Quant au mouvement relatif autour du centre de gravité, il ne peut être, par raison de symétrie, qu'une rotation autour de l'axe 0 perpendiculaire au tableau. D'ailleurs, les forces apparentes disparaissent de l'-équation des moments relative à cet axe (car les forces centrifuges composées sont nulles, le mouvement d'entraînement étant une translation, et les forces d'inertie d'entraînement fournissent (§ 142) une résultante unique appliquée au centre de gravité), et, comme il en est de même de la résultante de la pesanteur ainsi que de la réaction verticale N, cette équation se réduit à

df^ I "■ 2 R '

d'où

Ces équations d'ailleurs ne sont applicables que si le frottement continue à se produire, et, pour qu'il en soit ainsi, il faut que la vitesse absolue du point a ne s'annule pas. Or, cette vitesse u est la somme de la vitesse d'entraînement v et de la

vitesse relative Ro qui est de même sens que u au début du mouvement. Posons M; = R(i)y nous aurons

w = Rw<> — -fgt,

et pour simplifier la discussion représentons graphiquement les valeurs de w et de u; en fonction de t par les deux droites v^ti et w^t^. D'après les formules (i) et (3) on tij, voit que v et w; vont tous deux en diminuant et s'annulent respectivement aux époques ti et ^,, telles que :

f l^Wo * — 5 — '

^f9 (flg. 1)

correspondant aux points où les droites figuratives coupent Taxe OT.

Il existera donc entre f, et t^ une époque t pour laquelle v et w auront des valeurs égales et de signes contraires.

A cette époque, la vitesse du point a devenant nulle, le frottement disparaîtra des équations (1) et (2), et comme on néglige la résistance au roulement, à partir de ce moment la vitesse du centre de la bille sera constante et son mouvement consistera dans un roulement uniforme.

Deux cas sont à distinguer selon que t^ est supérieur ou inférieur à t^.

Dans le premier cas (fig. 1), à Tinstant où le frottement cesse de se produire, la vitesse v n'a pas encore changé de signe : le mouvement de la bille se continue doue dans le sens direct-

Dans le second cas au contraire (fîg. 2), la vitesse v devenant .négative avant l'époque t, à partir de l'instant t^ où s'effectue

son changement désigne, le mouvement de la bille devient rétrograde, et au moment où le roulement uniforme se produit c'est dans le sens rétrograde que la bille continue

à se mouvoir.

(flR-2) Enfin un der-

nier cas pourrait se présenter : celui où ti étant égal à *^, les vitesses v et w s'annuleraient simultanément. Dans cette dernière hypothèse, la bille devrait s'arrêter à l'époque où ces vitesses s'annulent et rester en repos à partir de cet instant.

S XS

Remarquons que si v^ et (é^ ont les valeurs --^p— et -^^

ff 5j

indiquées au commencement de ce paragraphe, la discussion que nous venons de faire se ramenant à la comparaison des quantités

is XS

et la première de ces quantités étant toujours supérieure à ia seconde, puisque X est inférieur à l'unité, t, serait toujours plus grand que t^. Il faudrait donc que X devint égal à l'unité, c'està-dire que la percussion fût appliquée au point a lui-même, pour que le troisième cas signalé plus haut pût se produire, et quant au second cas, il ne pourrait jamais se présenter. Pour qu'un mouvement rétrograde de la bille puisse avoir lieu, il faut donc supposer que les circonstances initiales sont différentes de celles que nous avons admises.

it 855. Second cas t Mouvement curviligne. — La

question se complique lorsque le mouvement de la bille est produit par. une percussion qui, tout en restant horizontale, n'est plus appliquée en un point du diamètre vertical Ca,

Dans ce cas, le mouvement initial se détermine encore en fonction de la percussion donnée comme au précédent para-

graphe : la vitesse initiale V^, que doit prendre le centre de gravité par l'effet de la percussion, étant toujours horizontale, aucune percussion-réaction n*est à prévoir, et la réaction verticale du tapis sur lequel la bille peut se mouvoir reste toujours égale au poids P de la bille.

Quant à la rotation initiale autour du centre de gravité G, elle doit se produire autour d*un axe perpendiculaire au plan diamétral passant par la percussion S, c'est-à-dire autour d*un axe qui peut avoir une direction quelconque. Hais nous pouvons la décomposer en trois rotations p^, q^^r^ autour de trois axes GX', G Y', GZ' rectangulaires et de directions constantes, menés parle centre, les deux premiers horizontaux mais quelconques, le troisième vertical.

Dans le mouvement relatif rapporté à ces axes, la rotation r^ autour de Taxe vertical GZ' doit rester indéfiniment constante : car, dans Téquation des moments relative & cet axe, le second membre est égal à zéro, toutes les forces apparentes et réelles qui y figurent ayant un moment nul (si Ton ne tient pas compte des effets dus à la rosion^ c'est-à-dire au frottement des points

voisins de a sur le tapis du billard, dans la rotation autour de la verticale).

Nous pouvons donc faire abstraction de cette rotation dans la suite et ne nous occuper que des composantes horizontales. Soient p et q les valeurs de ces composantes à une époque t] désignons à la même époque par X et Y les composantes suivant OX et OY de la force de frottement (qui est horizontale et dont la grandeur connue est égale à /*P s*il y a glissement du point a], et par u et i; les composantes de la vitesse du centre de gravité C. On aura, pour le mouvement du point G, les deux équations

et pour la rotation relative autour de ce point, en désignant par R le rayon de la bille,

|mR«$ = -RY,

|mR«§3[= + RX.

5 at

La combinaison de ces équations ' conduit aux relations suivantes :

^ ' X du Kdq " d(u + Kq)'

Mais on sait d'autre part que la force de frottement /P, dont ^ et Y sont les composantes, doit être dirigée en sens inverse du déplacement du point de contact a. Or, la vitesse absolue de ce point, étant la somme de ses vitesses d'entratnement et relative, est donnée par les deux équations

on doit donc avoir

(4) Ï = !izi5£,

et de la comparaison des relations (3) et (4) il résulte que le rap-

V — Rp Y

port ^^ est constant, ainsi que le rapport ^ qui lui est égal.

On en conclut que la direction du frottement est constante comme sa grandeur.

Par suite, le. centre de gravité qui se meut sous Faction d'une force unique de grandeur et de direction constantes doit décrire (S 'VO) une trajectoire parabolique dans le plan horizontal où il est assujetti à se mouvoir.

Ce mouvement du centre de la bille se continuera tant que le glissement se produira, comme nous Tavons supposé dans les raisonnements précédents.

D*ailleurs, puisque nous savons actuellement que le frottement a une direction constante, rien n'empêche de déterminer les axes OX, OY qui ont été menés arbitrairement dans le plan horizontal de manière à ce que le frottement ait précisément la direction de Tun de ces axes, l'axe OX par exemple. On aura alors :

vo — Rpo = 0,

et si l'on suppose l'axe OX dirigé dans le sens même de la vitesse u^ + Rq^ du point de contact a, les composantes du frottement seront :

Les équations (1) et (2) se simplifient par l'introduction de ces valeurs et deviennent :

(I) rn^=—^f d'où mu=: — P/( + muo,

m -n = 0 d où mv = mv^.

2 Dl dp

5*^^ di

= 0 d'où p=Pof

= — PrR d'où ?mR^

^ri + \mMr

Ces équations jointes à

déterminent complètement le mouvement de la bille.

La vitesse du point de contact dont la direction constante est celle de Taxe OX, a pour valeur :

«=u + Rq = u, + R<ï.-g^.

Cette vitesse ira donc en décroissant & partir de sa valeur initiale tio+^9o ^^ ^^^^ avons supposée positive : elle s'annulera à Tépoque

et à partir de cet instant, le frottement disparaissant, les équations précédentes cesseront d'être applicables. Le centre de gravité ne sera plus ^ soumis à Faction

d'aucune force

(puisque la réaction normale du tapis est égale et opposée à la résultante de la pesanteur); il se déplacera donc en ligne droite suivant la tangente G^ G, à l'arc de parabole GG^ qu'il vient de décrire.

et sa vitesse constante aura pour composanted^

La rotation de la bille autour de son centre de gravité sera constante également à partir de Fépoque t et sa grandeur sera déterminée par ses trois composantes, qui sont

Pi = Po =5»

5tio , 2 ^* = -7R+7^*'

La bille ne pourrait rester au repos que si Ton avait simultanément

»o = 0, et

Dans le cas où les données initiales satisferaient à ces conditions, la bille au repos resterait animée d'une rotation définie par les trois composantes

Pl=PQ=g = 0, ^1 = ^0.

On peut encore observer que si Ton considère à chaque instant du mouvement le point a (Ç, T]) qui se trouve à ce moment sur le diamètre vertical de la bille à une

hauteur Ca = ^ R au-dessus du centre f ),

la vitesse absolue dont ce point est

(*) Il est important d'observer que c'est en général un point différent du solide qui vient à chaque époque du mouvement occuper cette position ««

. animé ayant pour composantes :

cette vitesse est constante en grandeur et en direction à toutes les époques du mouvement.

En particulier, la vitesse de ce point sera constamment nulle si les données initiales satisfont aux conditions nécessaires pour que la bille reste finalement en repos.

256. Septième problème s Équilibre d'une ip^Êsdaiis iBonéerou t i"" équilibre sans frottement.— Une vis

est un cylindre plein de révolution formant noyau et portant sur sa surface une saillie continue hélicoïdale qui est dite le filet de la vis. La vis est à filet carré si la saillie est engendrée par le mouvement hélicoïdal d'un rectangle (généralement uu

(flg.1)

carré) tel que abcd (fig. 1). Elle est k filet triangulaire si la saillie est produite par le déplacement hélicoïdal d'un triangle (généralement équilatéral) tel que efg (fig. 2). Les points abcd du rectangle, efg du triangle décrivent des

hélices dont le pas commuD aii ou ce' est dit le pas de la vis.

Les surfaces limitant le filet sont dans le premier cas une portion de cylindre engendrée par le côté bd et deux portions de surface de vis & Ulet carré engendrées par les côtés ab et cd du rectangle. Dans le second cas, le filet est limité par deux portions de surface de vis à filet triangulaire.

En général le pas de la vis est un multiple exact de la base oc ou eg du ûlet.

La vis peut être d'ailleurs à filet simple ou à filets multiples-, dans ce dernier cas la vis porte sur son noyau plusieurs filets identiques dont les spires s'intercalent.

La vis se termine à l'unç de ses extrémités par une partie saillante telle que AB qu'on nomme tète.

On appelle écrou, une pièce dans laquelle la vis s'engage et qui est taraudée intérieurement de manière à présenter en creux la même forme que la vis avec ses saillies. Ainsi l'écrou est traversé par un vide cylindrique dont ,

les parois sont creusées suivant des sillons ayant exactement le profil des filets de lavis.

La vis étant engagée dans son écrou supposé fixe ne pourra donc prendre qu'un mouvement hélicoïdal, et nous allons déterminer les conditions de son équilibre- Les forces extérieures pissant sur elle sont, en négligeant l'action de la pesanteur :

1° La puîssartce consistant généralement en un couple composé de deux forces F et p\ — F appliquées aux extrémités d'une barre telle que AB Hzée & la tâte de la vis ;

2' La résistance qui est une force P agissant suivant l'axe OC;

3** Enfin les réactions Je Técrou que , dans une première approximation, nous supposerons normales aux surfaces en contact, ce qui revient à faire abstraction du frottement.

Pour obtenir la condition d'équilibre qui doit exister entre ces différentes forces, attribuons à la vis un déplacement virtuel compatible avec les liaisons. Ce déplacement consistera dans un mouvement hélicoïdal composé d'une rotation infinitésimale 6 autour de Taxe et d'une translation h parallèle à l'axe, avec la condition

6 __ 2ïc h" H

en désignant par H le pas commun des hélices de la vis.

Appliquons le théorème du travail virtuel : les forces intérieures disparaîtront ainsi que les réactions de Técrou dont le travail sera nul, et il ne restera finalement que les forces P, Fet — F qui seront liées par l'équation

en désignant par l la demi-longueur du levier AB.

On voit d'après ce résultat qu'à l'aide de la vis un couple d'un moment donné 2 F/ pourra toujours vaincre une résistance P aussi grande qu'on voudra, pourvu que le pas H de la vis soit suffisamment petit.

25*7. Vis difTérentielle de Prony. — En pratique U serait impossible de dimiRuer le pas de la vis au delà d'une certaine limite; mais on peut arriver au même résultat au moyen d'une disposition ingénieuse due à Pronj et connue sous le nom de vis différentielle. Imaginons une vis engagée dans deux écrous E et Et, le premier fixe, le second mobile dans une rainure qui ne lui permet qu'un mouvement de translation suivant l'axe de la vis. La vis porte deux filets de pas différents H et H' correspon-

dant l'un au premier écrou, Tautre au second. Supposons enfin que le couple moteur F -r F étan,t toujours appliqué au levier AB, la force résistante P soit appliquée au second écrou E|. Si nous attribuons à la vis un déplacement hélicoïdal quelconque compatible avec les liaisons, elle s'élèvera d'une hauteur

correspondant à langle de rotation 0, et l'écrou mobile s'élèverait de la même quantité s'il pouvait tourner avec la vis ; mais à cause de la rainure dans laquelle il est engagé, il ne peut recevoir qu'une translation longitudinale, il descendra donc relativement à la vis d'une quantité

moindre que h si H' est inférieur à H ; ce qui fait qu'en définitive cet écrou ne se sera relevé que d'une quantité h — h\

En appliquant dans ces nouvelles conditions l'équation du travail virtuel on arrive, en négligeant toujours les frottements, à l'équation

et l'on peut rendre la différence H — H' aussi petite que Ton voudra.

2SS. 2*" Équilibre avec flrottement. — Reprenons actuellement la question de l'équilibre de la vis en tenant compte des frottements développés entre la vis et son écrou.

Nous supposerons la vis à filet carré.

Dans ce cas les frottements étant dus à la force verticale P qui agit sur la vis de fagon h appuyer la surface hélicoïdale inférieure du filet sur la surface correspondante de Técrou, nous

pouvons admetti'e que Q le frottement ne se

produit qu'entre ces deux surfaces et nous supposerons même pour simplifier que le contact n'a lieu que le long d'une hélice moyenne de rayon r.

La réaction en un point m de cette hélice moyenne se composera de la réaction N normale à la surface et située par conséquent dans le plan tangent au cylindre de l'hélice moyenne, et de la réaction tangentielle T opposée au sens dans lequel le mouvement tend à se produire et dont la grandeur croissante tend vers la limite fN qu'elle atteint au moment où l'équilibre est rompu.

Si l'on désigne par i l'angle de Thélice avec la génératrice GG' du cylindre, en effectuant la décomposition des deux réactions dans le plan tangent au . cylindre suivant mG et sa perpendiculaire mH, on aura pour composantes :

Suivant mG Suivant m H

-f N sîn t q= T CCS i, -f- N CCS i zfc T sin t,

le premier signe du second terme correspondant au cas où la force motrice l'emportant sur la résistance, le mouvement de la vis tendrait; à se produire de bas en haut, suivant les flèches, et le signe opposé au cas contraire.

Écrivons les équations d'équilibre du solide constituant la vis, en prenant pour axes Taxe X du cylindre et deux axes quelconques perpendiculaires à X. Ces équations se réduisent h deux: l'équation des projections relatives à Taxe X qui devient :

(\) — P + sini5;N=FCO$i5;T = 0,

et celle des moments par rapport à ce même axe, qui donne :

(2; 2FZ — rcosi 2Nq=rsinî2T = 0.

Les quatre autres équations d'équilibre sont satisfaites d*elles- •mêmes en vertu des liaisons qui rendent impossible tout déplacement autre qu'une rotation autour de l'axe et une translation suivant cet axe.

Les équations (1) et (2) définissent d'ailleurs les quantités 2N et 2 T. correspondant à un système de valeurs des forces P et F.

Seulement pour que l'équilibre soit possible, il faut que T ne dépasse pas dans un sens ou dans l'autre sa limite /N,

Si cette limite est atteinte, les équations d'équilibre deviennent :

P— (sîniq=fcosi)5;N = 0, 2 F/ — r (ces i it fsin i) 5;N = 0-

L'élimination 2N conduit alors entre P et F à la relation

p^2F7/8i r \cos

in t qr f COS l\

os i ± ^ sin ij

Soit ff l'angle du frottement défini par l'équation précédente revient à :

P = a|^ tg (t-ç).

dans le premier cas, et à :

2 FZ

dans le second. .

2F/ Ainsi toutes les fois que P sera inférieur à — tg (f — ç), le

mouvement se produira de bas en haut dans le sens des flèches ;.

2FZ toutes les fois que P sera supérieur h — tg (i + ?) , le mouvement se produira en sens inverse : l'équilibre aura donc lieu pour toutes les valeurs de P comprises entre ces deux limites.

Remarquons que les formules précédentes ne sont applicables qu'à la condition que la tangente de (i — ç) et celle de (i + s)

Pr qui doivent représenter le rapport positif ^^n soient positives.

D'ailleurs les angles i et ç étant tous deux positifs et inférieurs

à-^, cette double condition se traduit par les inégalités :

i — 9>0 ou î>??

Pour que les deux cas puissent se présenter avec une même

t + ?<5 ou f<^— o.

vis il faudra donc que l'angle t ; 2 -f ^ soit compris entre 9 et « — ?i

/ 7ç ce qui n'est possible que si 9

/ est inférieur à -7 •

/ .'-"'iû D'après cette remarque le

,.----'" • mouvement de la vis ne pourra

se produire que dans le sens

-^ de la flèche si le frottement est considérable, car alors 9 dépasse la limite -^ et la condition

ne peut être remplie si la vis a été construite de. manière à ce que le mouvement de bas eh haut soit possible, c'est-à-dire avec un angle i supérieur à ç.

La p-resae à vis est fondée sur une application de ce résultat que Ton peut rapprocher de celui signalé précédemment sous le nom d'arc-boutement.

.Dans lé cas de la presse à vis, nous supposerons, jour ne pas modifier les données de la discussion précédente, que le corps pressé se trouve au-dessus de la vis et exerce par conséquent sur elle une action dirigée de haut en baâ et qui tend à la faire descendre : langlei étant voisin de 90® (généralement supérieur à 80®) la condition i > <p se trouve satisfaite et le couple moteur pourra produire la compression en faisant tourner la vis dans le sens des flèches, sans que la réaction du corps comprimé puisse produire le mouvement en sens inverse, dans le cas même où le couple viendrait à être supprimé ; en effet la condition

n'est pas remplie.

250. Rendement de la vis. — On appelle rendement d'une machine le rapport du travail utile, c'est-à-dire du travail des résistances vaincues, au travail moteur. Dans le cas de la vis, le travail moteur est celui du couple et le travail utile est celui qui correspond au déplacement de la force résistante P. Pour un tour entier de la vis dans le sens des flèches, le rendement sera donc, en désignant par H le pas de la vis,

PH Pr H 2F.2iîi""2FZ^2nr'

Pr et à cause de la valeur tg(i — <p) = ^ correspondant à ce cas :

9t = - — tg (i — 9)j

530 COURS DE BlÉCANIftUE RATIONNELLE

Mais ^ — est égal à cot i. Donc enfin :

^ tgi

Cette expression s'annule pour i = ç et pour f = -^ • Le rendement est donc maximum pour une valeur de i intermédiaire et qu'il est facile de déterminer par une simple dérivation de l'expression précédente. On est conduit à la relation

sin 2 1 = sin 2 (i — ?),

qui ne peut être satisfaite (l'hypothèse de ç = 0 devant être écartée) que par une valeur de i telle que :

c'est-à-dire

Mais cette condition de rendement maximum ne peut pas toujours être réalisée. Dans le cas de la presse à vis par exemple, où l'angle ç est généralement égal à 10®, elle conduirait à adopter pour i une valeur de 50®, et il faut au contraire que i soit

supérieur à -^ — ç, c'est-à-dire à 80®, pour que la vis ne puisse

pas se desserrer par l'effet de la réaction du corps comprimé.

260. Huitième problème t Équilibre d'une corde tendue sur une surface. — Supposons qu'une corde assimilable à un fil théorique soit en équilibre sur une surface sous l'action de deux forces P et Q appliquées à ses extrémités a,b et des réactions de la surface. Cherchons à établir les conditions de cet équilibre, en admettant que, par l'effet du frottement qui tend à se développer au contact de la surface et du fil, des réactions tangentielles puissent s'ajouter aux réactions normales.

Dans cette nouvelle hypothèse, les conclusions auxquelles nous sommes arrivés au paragraphe SOS ne sont plus applicables : la tension n*est plus constante le long du fil et le plan osculateur de la courbe funiculaire n'étant plus nécessairement normal à la surface, cette courbe n'est plus en général une ligne géodésique.

Pour que cette dernière

propriété subsiste, il est nécessaire que la réaction tangentielle soit dirigée suivant la tangente même à la courbe, et c'est ce qui aura lieu évidemment si le fil tend à glisser suivant sa propre direction.

Plaçons-nous dans cette hypothèse et reportons-nous aux équations

=-rt

qui déterminent la tension et qui ont été établies au paragraphe 206.

Dans le cas actuel, la force N étant dirigée vers la convexité de la courbe funiculaire — ainsi que cela est nécessaire pour que le fil soit maintenu sur la surface qui peut l'empêcher de pénétrer dans son intérieur, mais non le retenir — onar/^p::— N,et si, d'autre part, on suppose que le fil tend à glisser dans le sens aby la force de frottement étant dirigée dans le sens 6a, cette force devra être affectée également du signe — . Supposons que le mouvement soit sur le point de se produire, nous aurons alors:

A = ~fN,

et les équations précédentes deviennent

=rN.

Elles donnent par division :

d^ .ds ..

en désignant par dtù Tangle de contingence de la courbe.

Cette équation intégrée entre les limites a et i donne, en désignant par Go, 6| les valeurs limites de la tension et par a> la somme correspondante des angles de contingence,

Si la courbe funiculaire est plane, o) seraTangle des tangentes extrêmes en a et en 2^.

Supposons par exemple que le fil soit enroulé sur un cylindre

de révolution suivant sa section droite, on aura :

on voit ainsi qu'on pourra faire équilibre à une force Q considérable au moyen d'une résistance P beaucoup plus faible.

La force Q à laquelle une résistance P peut faire équilibre croît en progression géométrique, lorsque l'angle o) croît en progression arithmétique.

En définitive l'équilibre entre les forces P et Q ne sera rompu et le fil ne se mettra en mouvement dans le sens de averse que si

D'autre part, le mouvement en sens inverse ne se produira, pour les mômes raisons, que si

L'équilibre sera donc assuré toutes les fois que ?? sera compris

entre -r et «a*.