Pour connaître l'équation finie de la trajectoire

il faut intégrer l'équation ( 3 ) qui peut se mettre sous la

forme

dz

dB =

et il s'agit d'abord de savoir lequel des deux signes il convient de prendre.

Nous considérerons d9 comme toujours positif; dz sera positif quand le rayon vecteur décroîtra lorsque 0 croîtra, et négatif dans le cas contraire-, dans le premier cas, on prendra le signe + pour le second membre de l'équation, et le signe — dans le second cas, le radical étant toujours considéré comme positif.

ij

48 LIVKC 11.

11 faut dont; d'abord chercher où ont lieu les changement*. de signe de dz\ ils correspondent aux valeurs maxima nu niiniuia de z, et un les ob lient eu posant

Lorsque 2 passera par l'une quelconque de ces valeurs, on devra changer le signe de dz et le conserver jusqu'à ce que z arrive à l'autre valeur; alors ou changera de nouveau le signe de dz, et ainsi de suite indéfiniment.

Supposons, pour Gxer les idées, qu'à partir de la pocilion initiale correspondante à r=r0, les rayons commencent par croître, c'esi-à-dirc que l'angle « soit aigu : alors, riz étant négatif, on a

intégrations où entrent des arcs de cercle, et qui Se rapportent aux limites entre lesquelles les différentielles conservent la même expression. Ainsi, par exemple, la différentielle de arccosii est — quand Tare a son sinus

V^i — tt*

positif j elle est, au contraire, , quand le sinus est

négatif. Tl

L'équation (5) n'est donc exacte qu'en supposant, comme on peut toujours le faire, que Ton prenne, pour la valeur initiale de l'arc qui y entre, une quantité comprise entre o et n, et l'on pourra l'employer tant que la valeur croissante de cet arc restera comprise dans les mêmes limites, c'est-à-dire jusqu'à la valeur de z, pour laquelle on aura

C2Z fl

vV -H bc2

i , ou

et quand z aura passé par cette valeur, il faudrait changer de signe le second membre de l'équation (4) pour qu'il fût toujours la différentielle de l'arc. Mais cette valeur de z est précisément Tune de celles où l'on doit changer de signe le second membre de cette équation pour qu'il soit le même que celui du premier. Donc l'équation (5) subsiste au delà de cette valeur, et jusqu'à cequel'arc soit devenu égal à 2 7r, puisque alors le sinus redevenant positif, on devra changer le signe de dz pour avoir encore la différentielle de l'arc. Or, quand cet arc devient 2 7T, son cosinus devient i, et l'on a

p. lu? h

et c'est encore là une valeur de z après laquelle on doit changer le signe de dz pour que les deux membres de l'équation (4) soient de même signe. Donc enfin, dans

I, l'équation (5) sub*JMe ttnl, ion. Et la discussion sérail entièrement avait supposé l'angle a obtus, c'est-à-dire imençaienl par décroîtra : l'arc se trouvent1 contraire dans l'équation (5), <i cette c conservée dans toute l'étendue du mnuemcnt. Ce changement de sigue donnerait pour 0, une ,deur diltërenie de la précédente; niais, à cela pies, le rrnllal ne dinérerait pas de celui que nous allons déduire de équmkm (5).

Cille équulîon peut être mise sous la forme

aucune modifie!

semblable si Toi si les rayons eu

forme devrait èi

L= = co»(0— 9,);

iJ -+- oc' '

DYNAMIQUE. 'ô I

si Ton pose

La seconde de ces équations ne peut avoir lieu que si b est négatif, puisque dans l'ellipse on a e <^ 1 . Dans ce cas, e est déterminé par cette équation, et est réel, puisque le second membre est positif; a est déterminé par la dernière, et la première apprend que Qx est l'angle formé avec l'axe des x par l'axe de l'ellipse, du côté du sommet le plus voisin de l'origine des coordonnées.

L'équation d'une parabole dont le paramètre est -ip est

/• = — — y les angles étant comptés à partir de la droite