CALCUL DU MOUVEMENT DES PLANÈTES AUTOUR DU SOLEIL

24. Nous avons reconnu que les mouvements des planètes autour du soleil sont produits par une force attractive, agissant en raison inverse du carré de la distance; et que la loi de la force serait encore la même si les trajectoires, au lieu d'être des ellipses, étaient des paraboles ou des hyperboles. Nous allons maintenant traiter la question inverse; nous considérerons une force dont l'intensité varie en raison inverse du carré de la distance, et nous nous proposerons de déterminer de la manière la plus générale les trajectoires quelle peut faire décrire au point attiré, et la position de ce point à chaque instant.

Il y a deux cas à examiner, suivant que le centre d'attraction est fixe ou mobile. Il est d'ailleurs très-facile de faire rentrer le second cas dans le premier, en supposant que les deux points ne soient soumis qu'à leur action mutuelle, et en outre à des forces accélératrices égales et parallèles, qui ne pourront avoir aucune influence sur les mouvements relatifs.

En effet, soit P l'action mutuelle des deux points dont

les masses sont respectivement M et m ; la force accéléra-

P trice appliquée au point m sera — Si donc on cherche le

mouvement relatif de m autour de M, il faut supposer ce dernier point immobile, et considérer le premier comme

attiré vers lui par une force accélérai ri ce égale s

Al'

Quant à la vitesse initiale qu'il faudra attribuer à m, elle réstillera de la composition de sa vitesse initiale absolue n de celle de M prise en sens contraire.

Ainsi, le mouvement relatif de deux points qui s'attirent suivant une loi quelconque, est ramené au mouvement absolu d'un point attiré vers un centre fixe par une force qui suit la même loi , et ne diffère de la première qui* par un coefficient constant.

25. Nous pouvons donc nous pincer dans I livpotbêsc d'un centre d'action immobile, et nous représenterous par

~ la l'on e accélératrice qu'il produit sur le mobile. i.e*

équations du mouvement seront

,tt- ~ r' ' Jt> ~ f '

I >.= ..,.;.,„;„oc ri ne alpoc ni (toc ir.i-...i vli.H ilrmn.

Elle devient, en posant - = z, (3) -*»,» + 2fl* + a.

Cherchons d'abord le valeur des constantes b et c, en supposant qu'on donne la position initiale du point, ainsi que la grandeur et la direction de sa vitesse initiale. Si l'on désigne par r0 et f0 les valeurs initiales de r et de e, l'équation (2) donnera

2fi

Quanta la constante c, nous avons déterminé généralement sa valeur dans le n° 1 ; elle est

r = r9 v9 sina,

a désignant l'angle que la direction de la vitesse fait avec celle du rayon vecteur au commencement du mouvement. Les deux constantes £ et r sont donc déterminées.