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dans laquelle e est supposé plus grand que l'unité, et qui représente une branche d'hyperbole, dans l'intérieur de laquelle est le foyer pris pour pôle : les angles w sont comptes à partir de la droite menée du foyer au sommet de cette branche. Il suffira, pour établir l'identité des deux équa-

1IHI II.

G. Ap.it.

du» h m tir

•m déterminent ^ et .?, et, par comeV|ueni, /» >■ o, U trajectoire est ut» brandir- d bv-

|,..t...lc- .l.,„l

'm-iiîioe occupe le foyer, et dont l'axe fait un axe des X.

On v..ii pi

• ■•■ ijiii précède i|ue, quelle que soil 1., -., c en vertu de la force centrale, ou a toujours

iii'it

i-ii.nit son demi-paramètre. Ainsi la con-

ilfiiiblc de l'iùre décrue dan» l'imité de temps

nette i 11 rarfi

i rieur du mobile, c-.t tOUJQttn pr< >p« ri î onu carrée du para mène de sa trajectoire : elle

pat égale n cel

n racine multipliée par »/fi.

i facilement obtenir l'équation de la trajee-

H, nées recttngles, n l'on retrouvera les resul-

tais qui! min-'

M' lions de déduire de l'équation pulairc. On

prendra pour

;i\ede« X U droite incitée de l'origine août

Il ...!.. r. ...

les trois cas, Taxe; sur lequel sont comptés les x est un axe de la courbe, et l'origine est un foyer, puisque la valeur de r en fonction de x est rationnelle.

On peut observer que la nature de la trajectoire ne de-

pendant que de &, dont la valeur est t>J -> ne dépend

que de la distance initiale et de la grandeur de la vitesse initiale, mais nullement de la direction de cette vitesse. Ce résultat coïncide avec celui que nous avions déjà obtenu par une autre voie.

L'équation de la trajectoire étant connue, il ne reste plus qu'à déterminer les coordonnées du mobile en fonction de i : c'est là ce que l'on appelle ordinairement le problème de Kepler.

Nous ferons le calcul dans le cas où la courbe est une ellipse, comme cela a lieu pour toutes les planètes : nous la rapporterons à des coordonnées polaires r, 0, et nous compterons les angles à partir de la direction de la droite qui va du foyer au sommet le plus voisin. Cela levient à supposer 0, = o, ou c*> = 0-, nous aurous alors

i -h ecosG

dans laquelle a et e sont des quantités que nous avons déterminées d'après les données initiales.

Si l'on élimine une des deux quantités Q et /■ entre les équations (i), (2), on en obtiendra une entre t et l'une des coordonnées j en l'intégrant, on connaîtra celle coordonnée en fonction de f, et l'autre coordonnée s'en déduira en fonction de /, d'après r équation de la trajectoire.

Kl i minant ainsi r/0, on obtient

ffr2 c- ?.u

^mmmJÊmm

dVi

ybr3 -h ïjir — r"

S, l'on pr.

ikI pour origine des temps liustatn où l'on a

J = o,lajJai

le te est au sommet le plus voisin du fojcr, qui

correspond à

/' = ti(i — r), et qu'on nomme le pêrihrhr.

U poinl dis

moralement opposé de l'ellipse se nomme

VapMlùt; le

rayon vecteur est alors à sa plus grande va*

leur, dont l'o

«(pression est r= a (i + e). D'après cela, Ar

c-st positif <lr

puis le périhélie jusqu'à l'aphélie, et m'-itit

llc|H.is.ril,TI

lier point jusqu'au retour au péril»1 lie. Ainsi,

dans ta prête

ière moitié de la trajectoire, on doit prendre

rfr "*

et dans l'atil

re moitié on changera le signe du second

.nombre. On

intégrerait facilement celte expression au

moyen d'un .

u de cercle cl d'un radical algébrique. CttM

lunno serait

peu favorable au calcul de r en fonction de

Ce! il „! pie

s convenable d'introduire une nouvelle varia-

que u n'est autre chose que l'angle AON, N étant le point du cercle décrit sur le grand axe, qui a la même abscisse que le point M de l'ellipse.

En faisant cette substitution dans la valeur de dt, et remettant, au lieu des constantes A, c, leurs valeurs tirées des équations (7), qui sont

b = — £, c*=ii<ï(i— é1), a 1 \ /

il vient

de = a l/-«(i — ecosu) du.

Vf*

Si Ton intègre cette équation, en observant qu'on a en même temps t = o, u = o, et si Ton fait, pour abréger,

on obtient

nt =r u — e sin u ;

cette équation détermine u en fonction de I, et Ton aura ensuite r au moyen de l'équation

r = a (1 — ecosu).

Enfin 0 sera connu d'après l'équation de la trajectoire. On aura d'abord, en égalant les deux valeurs de r,

1 — ecosu =