cosô = i
l — e cos 14
LIVTIE II.
«dmMiil i*s
Ii;it\ équation* mt-uilm- à incnibrr,
tany' ;û = long J h;
im:s avec le même signe, (iiiisigiit.' u i-l 6 vint
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temps, on a
Una^«s*Wl— ~tMCi«,
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i'ii fuiieli.iu (11-
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DYNAMIQUE. 5j
OU
tang{6 = i/__.rangi«.
La coordonnée 9 est donc connue en fonction de u, et, par suite, de /.
28. La durée T de la révolution de la planète se déduira de l'équation nt=u — esinu, en y faisant u= air, ce
qui donne T = — = a 7r a 1 /- • 1 n Vf*
C'est aussi la valeur que Ton obtiendrait en divisant Faire de l'ellipse par celle que décrit le rayon vecteur pendant
l'unité de temps, et dont la valeur est |c, ou \^(ia (i — c*).
En effet, les demi-axes de l'ellipse étant a et a ^ i — r #,'
son aire est égale à ita* y' i — e* ; et si on la divise par
- ^fia (i — e*), on trouve 2ita !/-•
Quant à la vitesse en chaque point, elle est donnée par l'équation v* = f* ( )» qui se déduit de la formule (a)
en y remplaçant b par sa valeur — - •
29. Les formules précédentes qui expriment f, 0 au moyen de la variable auxiliaire m, peuvent facilement être démontrées géométriquement.
Soient O [Jlg* 4 ) 'e centre de l'ellipse, F le foyer que l'on considère, M un point quelconque de la courbe, IN le point où l'ordonnée MP prolongée rencontre le cercle décrit sur le grand axe A A' comme diamètre ; on aura
MP
MFA = 0, MF = r, OF = ae, — = - = \J i — e1.
ISP a
Cherchons d'abord t en fonction de u\ et, pour cela, considérons le secteur elliptique MFA décrit pendant le temps t .
;iS Livne n.
Le doulilc île Taire décrite dans l'unité de temps ayain cté
désigné |>nr c dont la valeur est, comme nous Pavons va,
vV«(i— <=}."> aura
scctMFA= i(vV0l'
e précédemment,
Or ou peut avoir une seconde expression du même sec leur eu fonction de it. En efi'et, on a, en observant que les ordonnées correspondantes à la même abscisse dans l'ellipse il le cercle sont dans le rapport constant de b ; a,
sert MFA - -sert RFA = y'' — <■' l^OA — NOF ; "S «0A^«, NOF=^^H M = ^^S
sect MFA = "'-*-'
FValanl les dnnv vaUm» Su UWI
-(« — i-sinn).
que Ton peut négliger les puissances de e supérieures à la première ; ce qui est permis pour la plupart des planètes, avec une assez grande approximation. L'équation u = nt -h e sinu donne
u = nt -f- e sin (nt -+- e sin u ), et, en négligeant e*,
u = nt 4- e sin wf .
Or on a
r =z a(\ — ecosu) ;
donc, en négligeant encore e% on aura
r = a (i — ecosnt).
Il ne reste plus à déterminer que 0. On pourrait le tirer de l'équation de la trajectoire, dans laquelle on remettrait pour r la valeur que nous venons de trouver. Mais il vaut mieux le calculer directement d'après l'équation
r* //0 = cdt = dt vV a ( i — e2 ).
En négligeant le carré de e, l'équation de la trajectoire donne
r=a{\ — rcosO) et r» = à1 (i — 2?cos0),
et, par suite,
v7^ fl \[a
d'où, en intégrant et observant qu'on a en même temps
nt = 0 — a r sin 0 ,
et, par suite, en négligeante1,
Q = nt +■ 2c sin /if.
60 LIVRK II.
31. Le mouvement angulaire de l.i platièn? -nuii i liuiiie, si l'on pouvait négliger le terme îeainni. MûftO peut toujours si- représenter un point dont le mouvement angulaire aurait pour équation S = ni, et qui partirait do périhélie en même temps que la planète; il pMMmil encore en même temps qu'elle à l'aphélie, parce que pource point on aB=r., et par conséquent sin n( = «. Dans I* première moitié île la trajectoire, la planète réelle est eu avant du la planète fictive, d'uneqiianiiié angulaire dont lt taleiir approchée est aesin ni, et qui- l'on nomme féetH> li"i/ du cent ri -.. Danslaseconde moitié, au contra ire, c'est la planète réelle qui est en arrière Je l'autre, puisque sin ni est négatif ; elle la rejoint nu périhélie, et le mène imiui etneut recommence cl se reproduit indéfiniment.
On dorme à ici angle nt le nom à' anomalie moyenne on l'appelle encore le moyen mouvement delà planète.
La considération <!• cet astre fictif est utîledans le cas itr l.i terre pour la détermination du temps moyen. On rorrige ainsi l'inégalité du mouvement du soleil dans léi-tijuiqtn- , il reste encore à corriger celle qui provient de l'imlin du plan de l'édipliquc sur celui de l'équatcur; et e*(
; i .,., i,irvi,„,.n ;»»;«.»! .... («wi.,^ u>t»<L«Tr
le;
DYSAM1QCE. 6l
Formule de Lagrange pour le développement de certaines
fondions implicites.
32. Considérons la fonction z de la variable a*, déterminée par l'équation
/désignant une fonction donnée quelconque, et «une quan- JK tité très-petite, par rapport a,ux puissances de laquelle nous nous proposons de développer z. Les coefficients de ces puissances seront des fonctions de x qu'il s'agit de déterminer, et, d'après le théorème de Maclaurin, seront les valeurs que Ton obtient en faisant a = o dans 2, et toutes ses dérivées par rapport à a, x étant regardé comme une constante. La question se réduit à trouver la loi de ces dérivées.
Ce premier problème n'est qu'un cas particulier de celui que nous avons en vue, et qui a pour objet le développement d'une fonction quelconque de 2, suivant les puissances de a.
Au lieu du développement que nous cherchons, on pourrait, par des substitutions successives, obtenir des valeurs de plus en plus approchées de z. Ainsi, en substituant, dans le second membre de l'équation (1), à z sa première valeur approchée x, on aurait
Substituant maintenant cette nouvelle valeur plus approchée dans le même membre, on obtiendrait
et l'on pourrait continuer ainsi indéfiniment j mais on aurait, de celte manière, des formules très-compliquées, et
LIVht II.
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