EXEMPLES
45. Supposous que deux points, liés par un fil inextensible, soient posés sur deux plans inclinés dont l'intersection soit horizontale, et de telle sorte, que leur système soit toujours compris dans un même plan perpendiculaire à cette intersection.
Soient m, m' les masses de ces points ; 0, 0' les angles que les plans font avec la verticale*, ,r, ir'les distances AB, ÀC {fig* 5) de ces points au point A, commun aux deux plans, et / la longueur du fil.
Les forces qui produiraient sur les points libres le mouvement qui a lieu réellement seraient respectivement
(V x dxx'
m --— -> m' — — ->• et agiraient dans les directions AH, AK.
Celles qui agissent effectivement sont mg, m 'g, et sont dirigées dans le sens de la pesanteur. 11 doit donc y avoir équilibre dans le système entre les premières forces prises en sens contraire, et les dernières prises dans le sens même de la pesanteur. - "
Pour exprimer cet équilibre, nous concevrons un déplace nient virtuel infiniment petit quelconque, en observant qu'on peut regarder les points comme obligés à rester dans le plan AHK perpendiculaire à . l'intersection- des deux plans inclinés; car le mouvement réel ayant nécessaire-
ii'-iu itou dans ce nlan, on peut, sans y rien changer, inpl'isci' que 1rs points sont assujettis à y rester.
Soient or. or' les variations Je x, x'; la somme dei lumi'iits urlnels égalée à zéro donnera
- m '——Ci — ,„'— —Sx1 -f- mgi<»<,'jx -t-m'gKOsVtx' = o,
<Sx-\-Sx'=u.
M n lti|! lia tu (.■elle équation par à, et l' ajoutant à la première, égaîanl ;i s«re les coefficients de 5x, Jx', il vient
e et c' étant des constantes arbitraires qui se détermineront d'après l'état initial du système.
Soient ,r0 , f0 les valeurs de x et f, pour * = o, on aura
Si la vitesse f0 est donnée ainsi que x0 , le problème est entièrement résolu, puisqu'on connaît x, et par suite x'; et la valeur de X mesure la tension du fil, qui sera constante. Mais si Ton donnait seulement x0 et les forces instantanées qui agissent sur les deux points matériels au commencement du mouvement, il faudrait déterminer les vitesses initiales en exprimant qu'il y a équilibre entre les forces mesurées par les quantités de mouvement acquises, et les forces instantanées prises en sens contraires de leurs directions. Soient &>, &>' les vitesses que les forces instantanées communiqueraient respectivement aux deux points s'ils étaient libres; ces forces seront mesurées par mco, m'a/; et, en suivant la même marche que précédemment, on trouvera
d* ,dx' , , [dx \
dt dt ' \dt J
• dx dx
et, en observant que -7- = — >
^ dt dt
dx
(m -+- m') — = /w» — jm'«/, v ' dt
d'où
dx /w « — m
dt m -+- m'
La valeur de X exprime la tension initiale produite par
dx la percussion. Si Ton y remplace — par sa valeur que
nous venons de déterminer, on aura
— mm' . ,
m H- ni
on supp
niai.. 1,1
iès.List* ont nlm-
LIVIIB II.
,■ 'j .= i., 6' = o, lu système n'est autre cbose m' d'Atwood, dans laquelle on n'aurait pa* s. -le la poulie.
'unis actuellement le cas où les deux corps l sur l'autre par l'intermédiaire d'un treuil. ! i liacun dans un plan perpendiculaire à des deux plans inclinés sur lesquels ils sont liions données par le principe de d'Alemberl i'ii désignant pir r, r' les rayons des deux
■'3r+~ rirf = o;
m — -- -+- mgettui +>/■' =
Les poids des deux parties de la chaîne seront respectivement gtx, gtx', et les forces qui produiraient l'accéléra-
tion qui a lieu seraient,* pour chacune de ces parties, ex -77- >
■ d*x' ex' — - Le principe de d'Alembert donne alors, en supprimant le facteur commun e ,
— x — - 8x — x* — — Jj/ -f- gx cosO . Sx -f- gx* cosô'. Sx' = o,
et, par suite,
— jr— —4-ffJfcosô-H X = o, — xr — -— - -+- i?x'cosô'-h à = o; or r/r
d'où, en éliminant X et a/,
* -^ =.| [jtcosô -f- (x — /) cosô']
£/ A AM / /cosô' \
. = ^ (COSÔ -h COSÔ') ( X r -r -, .
/ v ' \ COSÔ -+- COSÔ'/
Si Ton pose
*/ „,* , /cosô'
^ (cosô -f- cosô') = a\ x — — ~ -7 = js
/ v ' cosô -h cosô' ^
ou aura
ou
et
, m , /cosô'
cosô -f-COSÔ'
Les constantes a, 6 se détermineront par l'état initial. On trouvera, en faisant t = o,
/cosô' ,
cosô -H cosô' N ' '
on iiil-i-.i z, ô, si xBct vt sont donnés. Si l'on cooit seulement les forces instantanées qui déterminent ■sse i.ui liait: »*,, en supposant connue la position inît ■ ri agirait comme dans un des cas précédents.
valeur -jj sera nulle quand on aura
laild les deux longueurs X, x1 seront propor- Imifïueurs des du\i\ plans unîmes; et si la
abord placée dans celle position, sans vitesse lesterait constamment.
irmi-nt d'un fil flexible. — Soil t la masse de ligueur d'un til. dont lous les points sont solli- ■s force* dont les composantes, rapportées à nuguetir, sont X, Y, Z, cl dont les extrémités ■es par les forces (X,, Y,, Z,; XltY„Z,).
DYNAMIQUE. p3
Cette équation a lieu pour tous les points du (il. Si on la multiplie par une indéterminée X qui varie d'un point à l'autre, que l'on fasse ensuite la somme de cette équation et de la première, on aura
-f- X,<Lr, -h Y,*ri +Z,*«, -h ***** + Yi9yt + ZJz2 = o.
Si l'ou intègre par parties les termes de la seconde intégrale qui a les mêmes limites que la première, elle devient
. idx • dy % dz % \
Si Ton réunit les termes soumis au signe J \ ou devra «égaler à zéro les coefficients des quantités Jx, dj, iz\ et les termes qui ne sont soumis à aucune intégration et qui se rapportent aux deux limites, devront se détruire entre eux.
On aura donc d'abord les trois équations suivantes pour un point quelconque du (il :
1 \ <UX) ds
et si les deux extrémités sont indépendantes Tune de l'autre,
LIVBE I
L;i|ualions
iJr. + ^*-1 ««,
s ( i ) sont les mômes que si un élément quiliu d'être lié aux autres, était sollicité p*r pour composantes
,,g, „.„* -«vg;
lis forées tangentes à ses deux extrémités,
iniposan les
DYNAMIQUE. g5
duites par l'intégration, en y joignant de pi lia lea conditions relatives à l'état initial et à la longueur du fil.
Si les forces appliquées aux extrémités sont nulles, et que ces extrémités soient mobiles, on ne pourra satisfaire aux équations (a) qu'en posant At = o, }f = o, ce qui apprend que les tensions extrêmes seront constamment nulles.
Il faut excepter le cas très-particulier où le fil serait constamment perpendiculaire à la ligne ou à la surface sur laquelle une de ses extrémités serait assujettie à se mouvoir; on aurait alors, à cette extrémité,
et il ne serait plus nécessaire qu'on eût ït = o. Il en serait de même pour l'autre extrémité.
Si les extrémités sont fixes, les équations (2) sont satisfaites d'elles-mêmes. Mais alors on connaît xx , yx , zx , X\>?\-> Zf, et Ton devra exprimer que les équations de la courbe sont satisfaites par ces valeurs, quel que soit f, ce qui contribuera à déterminer les quantités arbitraires.
48. On pourrait obtenir directement les équations précédentes. En effet, si Ton désigne par T la tension en un point quelconque, l'élément ds sera sollicité par des forces dont les composantes totales parallèles aux axes seront
Xds+d.7'^, Yds+d.T^, Zds + d.T^, ds as ds
et le principe de d'Aleuibert appliqué à cet élément donnera
dx.
ds + d.T — = 0, ds
Y - g ^\ ds + r/.T % = o,
df 1 r/.<
/ d'z\ , , „dz
I Z — 1 — - ) ds -h d.î —• = o,
\ dO ] ds
«1 liai
-dillert
I des équations (i) que par le cliai
t'iucuii dc-s points extrêmes du fil îl devra v avoir équi-
■ entre toutes les forces qui le 6olIici[ent, en y coropreia tension : car un point géométrique sollicité par une
; quelconque acquerrait, dans un temps fini quelconii un vitesse infinie. De là résulteraient des équations tiques airs .'-quittons {*);
). Considérons le cas particulier d'un fil dont l'extré-
■ A ( fig, i>) est lise, el qui passe en un autre poiut lise ir lequel il peut glisser, et qui est aune distance /de A. prolongement est vertical et soutient un poids T qui are la tension du fil en un point quelconque, dans s* lion d équilibre, qui est la droite AB, si l'on suppose les forces X, Y, 7, soient nulles. Prenons la ligue AB
■ .i\v dis .r, et le point A pour origine.
i'l;i posé, si l'on écarte infiniment peu le fil de la droite en supputant que les tangentes aux différents points 3 courbe qtr*il affectera fassent des angles inûnimem s a? er Ali. il se trouvera allongé d'une quantité infiniîd ordre, que l'on pourra négliger. Si
gît»
Mais on a — = f, en négligeant les infiniment petits du
second ordre ; donc d.\ = o, ou A = c, ce qui apprend que la tension ne varie pas et est constamment égale au poids T. Les deux dernières équations (i) deviennent, en remplaçant j par x, ce qui est permis, d'après ce que nous avons dit,
T/77 """ 7 (Ln* ' dt2 ~ 7 /Zr7 "
Si l'on suppose, pour plus de simplicité, que la figure initiale du fil soit renfermée dans un même plan, dans lequel ou prendra l'axe des y, on n'aura plus à considérer que l'équation unique
d*y Td*y dt7 e du-* '
dont l'intégrale est
(3) r = F(*-My/i)-h/-(*-,y/l),
F etf désignant des fonctions arbitraires qui se détermineront d'après les positions et les vitesses initiales de tous les points du fil. Si la figure initiale du fil est exprimée, entre A et B, par l'équation y = cp (x), et si la vitesse initiale du point dont l'abscisse est x a pour expression <p (x),
dy il faudra que l'équation (3) donnejp = y(x) et ~- = ^ (x)
pour t = o, ce qui conduit aux équations
d'où l'on déduira facilement F (t) cif(x), au moyen de j(*)et«fr(jf).
