Ce priti

l'ipe a pour objet de ramener la détermina-

lion du mouvei

iietit d'un système quelconque à la cunside-

raliuu de l'équ

ilibre de ce méuie système.

Lorsque dus

pointa sont soumis à certaines liaisons, le»

forces qui leu

r sont appliquées ne leur donnent pas le

même imiuven

icnt que s'ils étaient entièrement isolés el

libres. Si l'on

pouvait évaluer les forces qui proviennent

de ces liaisons,

en les joignaut pour chaque point à • ■ II

qui y sont di roi

le ment appliquées, on pourrait le» conside-

rer touscoromi

■ entièrement libres ci isolés. Désignons par

nt la masse de

l'un quelconque d'entre eux, cl par.r,r, *

ses coordonne

es ; les trois composantes de toutes 1rs

forces ainsi ca

! culées devraient donc respectivement être

égalées à

<f'jr d'y tf>

'" Jp* W"rf^' m~df>,

iruirc P et Q,, puisque la force Q produirait sur ce point libre le mouvement qu'il suit réellement. Et, en effet, si les forces P et Qt n'étaient pas détruites par celles qui proviennent des liaisons, elles se composeraient avec elles et donneraient une résultante qui, conjointement avec Q, devrait produire sur le point libre le même mouvement que la force Q seule, ce qui est absurde. D'où il suit que les liaisons du système développent à chaque instant des forces qui font équilibre aux forces Pet Qi, relatives à tous les points. On peut donc énoncer le principe suivant, qui est dû à d'Alembert :

Dans le mouvement d'un système quelconque de points soumis à des liaisons quelconques, et sollicités par des forces quelconques y il y a équilibre à chaque instant, au moyen de ces liaisons, entre ces forces et des forces égales et directement opposées à celles qui produiraient sur chaque point matériel, supposé libre, le mouvement quil suit réellement; ou, en d'autres termes, entre ces forces et les forces d'inertie développées par chaque point du système.

Quant aux efforts exercés sur le système, ils peuvent varier à chaque instant, et sont produits par les forces variables qui s'y fout continuellement équilibre.

39. Voyons comment ce principe conduit à la détermination du mouvement de chaque point, en fournissant autant d'équations qu'il y a de coordonnées indépendantes. Désignons par X, Y, Z les composantes connues de la force totale appliquée au point dont la masse est m; par X'jY'jZ' celles qui se rapportent au point m', et ainsi de suite, ces forces pouvant être nulles pour uu nombre quelconque de ces points -, d'après ce que nous avons dit, il devra y avoir à chaque instant équilibre sur le système entre ces forces et celles dont les composantes sont, pour chacun

speciivement, d'y

ni les coordonnées de ces différents il doit y avoir équilibre entre appliquées respectivement aux points des coordonnées

DYNAMIQUE. jy

seront supposées nulles pour ceux auxquels aucune force ne sera appliquée.

L'équation (i) renferme Zn variations, le nombre des points étant n ; et elles doivent satisfaire aux k équations différentielles des équations données L = o, M = o, N = o, . . . , ce qui donne

dL % dL . dL% dL% ,

dx dy dz €tx' '

(2) IdVL % dU % */M% dM% ,

Eliminant k variations, au moyen de ces équations, il n'en restera plus que 3n — k complètement indéterminées. En égalant à zéro les coefficients de chacune d'elles, on obtiendra 3 ra — k équations qui, jointes aux k premières, détermineront les coordonnées de tous les points en fonction du temps. Le problème se trouve donc ainsi ramené à l'intégration d'équations différentielles.

40. Si l'on multiplie les équations (2) par des indéterminées X, p., v,..., qu'on les ajoute à l'équation (1), et qu'on égale à zéro les coefficients de chacune des variations, on

aura

d*x dL dM rfN

d*y dL dM dît

di1 dy dy dy '

d'z dL dM rfN

Z — m — - -f- a — -f- f* -7- -+- * T" -H . • . = 0, de* dz r dz dz '

,d*x* dL dM dV

dP d* r dx1 dx1 '

Si Ton élimine les k indéterminées X, p, v,..., on ob-

tiendra lin — /. équations ditïéiriiiit-lles du second ordre entre x, y, s, x',... et le temps /. Ces équations mtihh \m mêmes que si Ion avait éliminé A variations, coin nu; nous l'avons d'abord indiqué; mais ce procède a l'avantage que nous avons déjà reconnu, quand nous l'avons appliqué an principe des vitesses virtuelles; i] détermine les forces dont les équations de condition tiennent lieu; et les valeurs de* quantités i, u, y,.., feront connaître les efforts qu'éprou- \ent à chaque instant les liens qui assujettissent lea pointi h satisfaire à res équations.

Si le syslème est déterminé par d'autres variables que ks coordonnées de ses points, on suivra toujours la inemr marche : et l'application du principe des vitesses VÏrUMÏlN fera toujours connaître autant d'équations qu'il y a <!<■ jm riahles indépendantes; de sorte qu'en les joignant aux équations de condition, on pourra toujours déterminer tmiio I> • variables en fonction du temps: ce qui est préeisémi-i l'objet que l'on se propose.

M . Détermination des co/tstatitei. — Les constante* il Iroiluites par l'intégration des 3« — A équations diff

DYNAMIQUE. 8f

3n — k composantes des vitesses initiales. Ainsi, pour que l'état initial soit entièrement déterminé, ce qui est indispensable, il faut que Ton se donne 6/» — a k quantités, qui peuvent être choisies tout à fait arbitrairement; mais on ne peut pas s'en donner davantage.

Cela posé, quand on aura intégré le système des équations différentiel les, on aura, pour déterminer toutes les coordonnées des n points, d'abord les k équations données, et ensuite in — k équations, renfermant 6n — nk constantes arbitraires. Ces 3/* — k équations devant être satisfaites à chaque instant, ou y fera t = o, et on remplacera les coordonnées par leurs valeurs initiales : il en résultera 3 n — k équations entre les constantes et des quantités connues; les k équations restantes seront nécessairement satisfaites, puisque Ton a dû choisir les coordonnées initiales, de telle sorte que les liaisons exigées aient lieu. Différentiant ensuite Jes 3/i — A équations entre les coordonnées, on en aura un égal nombre entre les composantes des vitesses; et si. l'on y substitue les valeurs initiales des coordonnées et de ces composantes, on aura 3/i — k nouvelles équations entre les constantes arbitraires et des quantités connues. On aura donc enfin 6n — a Ar équations pour déterminer les 6n — a k constantes. On en pourra donc tirer les valeurs de ces inconnues, et les coordonnées de tous les points du système seront complètement déterminées en fonction du temps.

Ce que l'on entend par forces instantanées. Leur mesure. Détermination du mouvement qu elles produisent. Superposition de leurs ejfets.

42. Nous avons démontré, dans le n* 213, tome Ier, qu'une force constante pouvait être mesurée par la quantité de mouvement qu'elle a produite, divisée par le temps II. 6

Sa uiu »,

emploie .'i la [«■(■«luire J il mi il i -ilsullt: que futur J.

une ([uaulilé di" riiouv. :1111ml «Icli'iuiinée, il laut que 1.» -I

nie ili' r ;i « 1 i ti 1 1 soh d'autant moindre que la fqrcD iiuijlit .■si plus grande, niais qu'il n'y a tuctuifi force qui jjuiiMnu unir sans employer un certain tempj. Néanmoins. • l'.lir! csi pro S 1 1 ï 1 «Ijii.s 1111 temps si iihiiI, '|ur rifii u'aii |i changer mj lisiblement (Uns ]■■> poulinai dt| [îotii'ra, dans la plupart des cas, lui in alittrartioji 1 lemps; eL pour indiquer rcla, nous donnerons i 11 I le nom île farva i/uUUWtqpâ',

Pour mesurer, soit la valeur constante, «l'imu parei foret* , soit sa valeur moyenne, si elle est vaiialiln, puurra.it la rapporter à l'unité ordinaire, et l'u pour mesure la quanti l« de mouvement ].m ... par la durée du l'action. Mais celte durée n etaut | préaable., au moins dans la cas où il peut y avoir qui milité à considérer ce genre de foret-, il vaut mieux ne y, l'introduire 'Unis la maure, el se borner •> la qu.nuiîr ( mouvement. On supposera alors â l'action la durée qur I' voudra, pourvu qu'elle soit extrêmement petite; 1 . n'eu dépendront nullement, comme 110115 allon te

nièreque si la vitesse initiale était nulle, il s'ensuit que les composantes de la force instantanée qui agit sur un point matériel en mouvement, sont mesurées par les quantités de mouvement Correspondantes aux accroissements des composantes de la vitesse de ce point.

43. Pour déterminer l'effet de forces instantanées sur unr système quelconque déjà en mouvement, appliquons l'équation (1) à ces forces, en négligeant toutes les autres qui ne peuvent produire aucun effet appréciable pendant la durée totale 9 de ces actions, dont les unes peuvent cesser avant les autres. Les valeurs de x, y, z, x', . . ., peuvent être regardées comme invariables pendant ce temps; et il est facile de voir qu'il en est de même de $x, $yy $z, . . • . En effet, ces variations satisfont aux équations différentielles de L = o, M = o, . . . , dans lesquelles t est considéré comme une constante. Or, cette constante ne changeant qu'infiniment peu, dans l'intervalle de temps que Ton considère, les quantités $x, fyv . . ne peuvent changer que de quantités infiniment petites par rapport à ellesmêmes, et doivent par conséquent être considérées comme invariables. Intégrons maintenant F équation (î) par rapport à t9 cn'prenant pour limites le commencement et la fin de l'intervalle 8; désignons par mX, m Y, wZ les composantes de la force appliquée au point dont la masse est m ;

et car A^, A^-, A ^ les intégrales de — ^ dt, -^ di,

d'z , . , . , . . dx dr

-jj at1 qui sout les accroissements des quantités — ? .—* — -, nous obtiendrons ainsi l'équation

L1VELH II.

Or, la force

appliquée à la masse m avant {tour co»-

posantes m\,

mX, mZ, les intégrale* m'/XJ/, m/Xril.

tuf7i(it sont

1rs composantes de la quantité •}<• inomr

ment que pro.

luirait celle force d;

iu h- lunijrt 0, et, par

conséquent, l(

■s composâmes de

la force ïnjfttulunêr,

d'api es le seus

<me nous attachons

h celte iléiioniiiiJti.in.

Si ou les repr<

;<cnte parX,, Y, Z,

, l'équation précédente

devient

Mais si la masse m était libre,

les composâmes de U

force insianla

née qui cliaugnail

les composantes de a

vitesse, de la même manière qu'elle;

i l'ont été, ïer.iieni

dx dr

dt

m\ — i mi— ,

mi —

dt dt '

Donc l'équal

ion (3) exprime qu'i

1 y a équilibre entre )n

forces instantanées qui ont agi, et

les forces instantanée*.

DTftAMIQUE. 85

si le système était en repos au momenl où agissent les forces instantanées.

Et Ton voit encore que les vitesses, après reflet des forces instantanées, sont les mêmes que si le système partait du repos et fut sollicité par les forces instantanées données, auxquelles on joindrait d'autres forces instantanées capables de communiquer au système en repos les vitesses dont ses différents points sont animés à l'instant que l'on considère.

. 44. Lorsque Ton aura éliminé de l'équation (3) toutes les variations qui dépendent des autres, et qu'on aura égalé à zéro les coefficients de celles qui resteront, les équations ainsi obtenues renfermeront linéairement les composantes des forces instantanées, et les accroissements des composantes des quantités de mouvement; et, de plus, aucun terme ne sera indépendant de ces quantités. Ces équations, jointes aux équations de condition, dont on déduira, par la différentiation, des équations renfermant linéairement à tous leurs termes les accroissements des composantes des vitesses, détermineront toutes les quantités inconnues

de

Or, d'après la théorie des équations du premier degré, les dénominateurs de leurs valeurs seront indépendants de X|, Y,, Zj, X, , . . . , et leurs numérateurs les Renfermeront linéairement et sans termes indépendants. Donc, si les forces instantanées varient toutes dans un même rapport, les accroissements, des composantes des vitesses va rieront dans ce même rapport. Et plus généralement, si Von considère autant de systèmes que Von voudra de forces instantanées, les accroissements des composantes des vitesses de chaque point, seront les sommes des accroissements qui correspondraient à chaque système de forces agissant séparément sur le système des points en repos.

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