LIVRE TROISIÈME

135. On désigne sous le nom de fluide un assemblage de joints matériels en nombre considérable, situés à des distances assez petites les uns des autres pour qu'on puisse* sans erreur sensible, regarder comme continue la matière qui les compose, exdepté dans les cas où Ton considère des. actions qui varient sensiblement d'une molécule à l'autre On suppose, de plus, que tous ces points puissent être déplacés par le moindre effort, et entraînés h des distances quelconques les uns des autres. Cette hypothèse d'une parfaite mobilité n'est pas entièrement exacte, et conduirait quelquefois à des résultats peu conformes à l'expérience, quand il s'agira du mouvement ; mais, dans l'équilibre, on peut la regarder comme exacte, sans qu'il en résulte aucune erreur sensible.

(«es fluides se divisent en liquides, et en gaz ou fluides aérif ormes. Les premiers sont aussi appelés fluides incompressibles, parce que Ton a cru longtemps qu'il était impossible de diminuer leur volume par la pression; mais on a reconnu, depuis, qu'ils étaient réellement compressibles, à un très- faible degré.

La partie de la Statique qui s'occupe de l'équilibre des fluides de toute espèce se nomme Hydrostatique»

clenti»

nsipi un i i ■ 1 1 1 « ■■ I ' ■ . renfermé "dans un vase ouvert lt- toutes parts, est en équilibre sous l'action de conques, il exerce une pression sur les parois du arrêtent. Cette pression peut varier d'un point à |hiiji l,i définir avec précision, on considère une Uniment pelîtede la paroi, et l'on suppose que ti s'exerce sur elle se reproduise avec la même t (faus la même direction sur tous les éléments ire plane égale à l'unité : la force résultante est i .ippi'lle la pression du liquide au point de la ['on considère. Ou voit que ce n'est autre chose ii ' ! i ■ rapport delà force produite sur l'élément

petit, à l'aire de cet élément.

regarder comme un résultat de l'expérience, ou conséquence de la disposition uniforme des moluiilt' les unes autour des autres, que la direction ir.n est toujours perpendiculaire à l'élément de

lequel elle s'exerce; et comme l'action et la m li m jouis égales, il existe en sens contraire une ;:i!ij dans l'étendue du même clément. Ce fait

quelconque, elle est transmise avec la même intensité sur toute portion équivalente de la surface des parois ; de sorte que sur deux parties inégales, la pression est en raison directe de leurs aires, pourvu que ces surfaces soient planes ; dans le cas de surfaces courbes, il n'en serait ainsi que pour des portions infiniment petites.

» Ces propositions s'étendent aux pressions intérieures aussi bien qu'à celles qui s'exercent sur les parois. Car l'équilibre ne serait pas troublé, et les efforts resteraient les mêmes, si l'on supposait que, dans une partie quelconque du liquide, tous lès points fussent liés invariablement et constituassent un corps solide. On peut donc, en un point quelconque de l'intérieur et dans une direction quelconque, supposer une paroi* solide*, par conséquent, la pression exercée sur un élément plan de cette paroi lui sera normale, quelle qu'en soit la cause. De plus, si cette pression provient d'une autre pression exercée à la surface du fluide renfermé dans un vase plein, elle sera égale à la première pour une étendue égale en surface. On conclut de là que les propositions admises pour les pressions des fluides sur les parois des vases qui les renferment, s'appliquent aux pressions exercées dans leur intérieur sur toute portion de surface que Ton y voudra considérer.

Enfin, on déduira facilement de là qu'en un point quelconque d'un fluide en équilibre, la pression est la même, quelle que soit la direction de l'élément de surface sur lequel elle s'exerce; car, si Ton conçoit autour d'un quelconque de ses points un polyèdre infiniment petit formé par le liquide, et qu'on le regarde d'abord comme solidifié, il est en équilibre sous' l'influence des pressions exercées à sa surface et des forces qui sollicitent s& points intérieurs proportionnellement à leurs masses. Ces dernières peilvcnt être considérées comme parallèles, et ont, par conséquent, une résultante dont l'intensité sera proportionnelle à la masse du

>i un nititiiliicnl petil Ju troisième ouïr*; rt - -uni des infiniment petits du Second ordre,

■ li' mette de* pressions qu'elles supportent, iua Aire considère comme existant scnsîble- |Tns5Ïons seulement, sans tehïr aucun compte .■i^it sur la masse de ce polyèdre. Si Inâinten |ir>lyèdre sa fluidité- primitive, et qu'on soin liquide, qui devient alors comme un vise

i mé de toutes parts ci rempli de liquide, rien i l.i us les actions mutuelles des molécules, et i dans les pressions qu'elles produisent. Or, propriété générale des fluides, que les près-

■ mis sont égales pour des éléments égaux en que soit leur direction; et comme tous «s

i tue sont de plus en plus près de passer p»r léré dans le liquide, on en doit conclure que,

la direction d'un élément plan, passant par ■ nique d'uu fluide eu équilibre, la pression

cl rapportfoâ l'unité de surface L'st toujours

directions; elles seront assujetties à la condition que le volume du liquide n'ait pas varié par ce déplacement, et qu'il ne se soit opéré aucun vide-, d'où résulte

a&p + a'àp' -i-fl"*//'-*-.. . = o, et, par suite,

oip àp-\-u' pà p' -+- n" pi p" 4- . . .= o,

ce qui prouve que la somme des moments virtuels des forces est égale à zéro.

Equations générales de l'équilibre des fluides.

138. Soient X, Y, Z les composantes de la force, rapportée à l'unité de masse, qui agit au point dont les coordonnées sont x,y, z ; désignons par p la densité dû liquide, et par p la pression en ce point, rapportée à l'unité de surface ; p et p sont des fonctions de x, j, 2, que Ton se propose de déterminer quand l'équilibre est établi.

Si au point dont les coordonnées sont x, jr*> z, on conçoit un parallélépipède dont les arêtes soient parallèles aux axes et respectivement égales aux différentielles <£r> dy, dz, sa masse dm sera égale à p dxdydt^ et sera sollicitée par les trois forces

pXdrdy dzy pY dxdydz, p Z dx dydz ;

ses six faces serout sollicitées par des forces parallèles aux axes, et dirigées vers l'intérieur de son volume. Si Ton considère d'abord les deux faces parallèles au plan des x et y, dont l'un passe au point dont les coordonnées sont x, 7, s, et l'autre au point qui a pour coordonnées x, j% z-±-dzy la pression exercée sur la première est pdxdy ; et sur la

- Hxâj lp+.-Ç-dx\

"-- ii.iiii 1,1 rféméfi partielle de p par rapport à z. Chacune

d'elles peu L rire regardée comme constante dans toute IV tt'iuliinlf In face cnrrespondanlc, sans qu'il en résulte d'errrtiï 'l.'uis li'> équations, considérées à la limite. Les deux titrées aiijnptcHes se réduisent les aclions exercées respectivi'riii'tit sur ir- deux faces, sont donc des forces directement upprisics. rtiliis se composent en une seule, parallèle i

s parallèles n l'axe des y et à l'axe

iliu>i:rit aux forces

el les* ajoutant, il vient

(2) dp = p(Xr/x + Y dy + Zdz) ;

ce qui apprend que si le fluide est en équilibre, l'expression

p(Xc/jj-h Ydj + Zdz)

est la différentielle totale d'une fonction de xyy, z\ et que cette fonction donne nécessairement l'expression de la pression, à une constante arbitraire près.

Désignons cette fonction par F (.r, y, z) , l'équation (a) donnera

(3) f = F(*,r,*) + Cf

C élaiit une constante arbitraire que Ton pourra déterminer si Ton connaît la pression, en un point donné. Si le fluide n'est pas renfermé dans un vase fermé de toutes parts et exactement rempli, il sera nécessaire qu'à la partie libre de la surface il y ait une pression extérieure dont la valeur soit donnée par l'équation (3) , et qui soit dirigée en chaque point vers l'intérieur du liquide.

La pression en un point n'étant pas produite par la force extérieure, agissant dans le voisinage de ce point seulement, peut être nulle aux points où la force est très grande. C'e*t ce qui a lieu, par exemple, à la surface libre d'un liquide pesant^ dans le vide.

139. Surfaces de niveau. — Dans un fluide en équilibre, on appelle surface de niveau toute surface telle, que la résultante des forces qui agissent sur le liquide lui soit normale en chacun de ses points.

Si donc on désigne par dxy dy, dz les accroissements infiniment petits que prennent les coordonnées x, y, z d'un point quelconque d'une de ces surfaces quand on passe II. i5

ililini

M que.

l'i-"p™ surfaits

de cette même surface, ou aura la i

X dx -+- Y </j -H- Z dt = o ;

îutiiin différentielle de toutes les surfaces de uip est le (acteur propre à la rendre iutégrable. (.'■suite, en vertu de l'équation {a), que pour toui •. d'une même surface de niveau, on a

dP = o,

ar i ouséquent, la pression y est constante. Celte ■remarquable pourrait serrir de définition à ce» ri > iMc qui est exprimée par l'équation (4) en

■ i onséquenec immédiate.

liim linie des surfaces de niveau sera, en désignant

■ rf nis tan W arbitraire,

ant toujours la fonctio

dont la difierenuell*

conséquent, ou ue pourrai l plus dire que la pression serait constante dans toute l'étendue d'une même surface de niveau. Nous ne considérerons pas les cas exceptionnels où ces circonstances se rencontreraient.

Si la surface libre du liquide est soumise à une pression constante en tous ses points, elle est elle-même une surface de niveau.

Si Xrfx -f- Y dy -h Zdz est la différentielle totale d'une fonction cp de x, y, zy comme cela a lieu, par exemple, quand les forces données sont dirigées vers des centres fixes et ne dépendent que de la distance à ces centres, l'équation (a) peut se mettre sous la forme

(5) dp = pd<f.

Le premier membre de cette équation est la différentielle d'une fonction des variables indépendantes x% jrf z\ il en est de même de d<f : donc, pour que le second membre soit identique au premier, il est nécessaire que p soit une fonction de (f ; mais cette fonction peut avoir Une forme quelconque.

Ainsi la densilé sera constante en même temps que <j>, c'est-à-dire pour tous les points d'une même surface de niveau; et ces surfaces partagent le fluide en couches où la pression et la densité ne varient pas.

140. Dans le cas de fluides compressibles, la densilé .dépend de la pression. Soit alors p = /(^)t l'équation (5) devient

dp

La constante se déterminera par la valeur donnée de la pression en un point connu; ou pourra tirer de là p, et, par suite, p en fonction de 9, et Ion connaîtra la den-

Supposai)

Lira, d'aurt

■n | .1.- . qu'il Uariotte,

urlace quelconque il 'agisse d'un g»; i

/. étant dépendant de la température, que nous regarderai* d'abord comme constante. L' équation (5 ) donnera par mile

d'rm

C étant une constante que l'on détciniinem par la valeur de p correspondante à une valeur connue de -j.

Lu dernière équation peut se mettre sous la forme

HYDHOSTÀTIQUE. a^9

traction de son mouvement de rotation, la. force appliquée aux molécules de l'air est dirigée vers le centre, et, par conséquent, les surfaces de niveau seront des sphères con-r cen triques avec la terre. L'équilibre de l'atmosphère exigerait donc que la température fût partout la même à égale distance de la surface de la terre, ce qui ne saurait être à cause de la présence du soleil; d'où il suit que cet équilibre ne saurait avoir lieu.

141. Au lieu de considérer un liquide en équilibre, à l'état de repos, ou animé d'une vitesse commune a tous ses points, on pourrait supposer qu'il tourne uniformément autour d'un axe fixe, el chercher les conditions pour que tous ses points ne se déplacent pas les uns par rapport aux autres. Il suffira pour cela, d'après le principe de d'Alembert, qu'il y ait équilibre en chaque point entre les forces données et les forces égales et opposées à celles qui produiraient sur chaque point libre le mouvement qu'il a réellement, c'est-à-dire aux forces centripètes.

L'équilibre a donc lieu entre les forces données et les forces centrifuges considérées comme appliquées. aux molécules elles-mêmes. Si la vitesse angulaire est désignée par <o, les composantes de la force centrifuge sçront co* x, w\y, parallèlement aux axes des x et des y, et la troisième sera nulle si l'on prend Taxe de rotation pour axe des z. On aura donc, pour déterminer la pression,

(7) dpz= p(Xdr + Yef/-+- Z dz -f- w1 xdx -4- rffdy).

Les termes introduits par la force centrifuge devront donc former une différentielle exacte conjointement avec

p(Xdx + Ydy +Zdz).

Les surfaces de niveau auront pour équation constante Xdx 4- Ydy + Zdz-\- w' (xdx -\-ydy ) = o, ou f =r c%