PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION

133. Ce principe n'a lieu que dans, les systèmes pour lesquels l'équation des forces vives subsiste. Il consiste en ce que si, pour chaque point du système, on intègre entre deux époques arbitraires le produit de sa quantité de mouvement par l'élément de la courbe qu'il décrit, la somme de toutes ces intégrales est un minimum; c'est-à-dire qu'elle est moindre que si, par de nouvelles liaisons, on assujettissait ces points à suivre de nouvelles courbes, entre les deux mêmes positions extrêmes que Ton considère^ et sous l'influence des mêmes forces.

Pour le démontrer, il faut faire voir que. la variation de cette somme est nulle quand on fait varier infiniment peu les points de ces courbes en leur laissait les mêmes extrémités; car il est évident, par la nature de cette somme, qu'en général elle ne peut avoir une valeur maximum, et que, par conséquent, en exceptant des cas très-particuliers, «lie aura une valeur minimum.

Or on a

S flmpds = flmS(vds) =r J lm(St>.ds -4- vàels).

Pour calculée la première partie, remplaçons ds par vdt, dt se rapportant au mouvement qui a réellement lieu; nous aurons

0 âv.ds= pdt>de = ±<itS.v2,

et, par suite,

Im3v.<is = {dt2m8.v*.

LIVUE 11.

désignant par C une quantité consume,

-L'cond membre sera la même pour tous In i'. l'on considère, puisque les forces resleni nie on prend la variation des deux membres,

lation générale du inoilvement, cette deri est égale à

Si maintenant on intègre les deux membres, on aura

J \dt dt J dt J

mais, aux deux limites de l'intégrale, les variations Jx, $yy dz sont nulles, puisque les extrémités des courbes décrites restent les mêmes ; donc le second membre est nul, et Ton a

8flmvds = o,

comme il fallait le démontrer.

D'où Ton conclut que l'intégrale

flmvds, ou fj.mv'dt

est un minimum dans le mouvement du système. *

134. Si les points ne sont soumis à l'action d'aucune force, on a

A étant constant.

Donc

t et tt étant les valeurs du temps aux deux limites ; et, comme l'intégrale est un minimum, il s'ensuit qu'il en est de même de t — f|, et que, par conséquent, le système passe d'une position à une autre dans moins de temps que si l'on introduisait de nouvelles liaisons quelconques.

Si Ton considère un point matériel assujetti à rester sur une surface fixe, sans être soumis à l'action d'aucune force, ta vitesse est constante; et le temps qu'il met à passer d'un point à un autre étant un minimum, il s'ensuit que la longueur de la ligne parcourue est aussi minimum, comme pous l'avons déjà démontré d'une autre manière.