L'Hydrodynamique a pour objet le mouvement des fluides
Pour se faire une idée exacte du problème considéré de la manière la plus générale, il faut supposer qu'à un instant déterminé, que Ton prendra par exemple pour origine des temps, on connaisse la position de toutes les molécules qui composent le fluide, et les vitesses dont elles sont animées; que, de plus, on donne les forces extérieures qui agissent sur tous les points du fluide, les pressions et les autres conditions relatives à ses limites dans tous les sens. Cela posé, il s'agit de déterminer le mouvement de chaque molécule en particulier, c'est-à-dire de trouver l'expression de ses trois coordonnées en fonction du temps, et de connaître, de plus, la pression et la densité en un point quelconque et à un instant quelconque.
Les coordonnées .r, j, z d'une molécule déterminée sont des fonctions de la seule variable t. Mais ces fonctions changent d'une molécule à l'autre et dépendent, par conséquent, des coordonnées a, 4, c du point où se trouvait la molécule que l'on considère, à l'origine du mouvement. On doit donc regarder je, j, z comme des fonctions des quatre
a LIVRE XV.
. - i^.i»r=> îueociuanies a« 6, cm t : et *i Ton peut Uwe '.rr~^-a .enerale -le ces trois fonctions, on connikn :i:r!!icai ■* HDurement de telle molécnle que l'ont* t. lirrr .e -a rsositiou initiale.
~. S -t jroàième était résolu, et que Ton court
■- .-v- jat :ions ie z. b. cm f. on en pourrait déduire i
*■ ?ai.Lr.3 ie r. ■'. -. r. et, par conséquent, tout
:«.-■-. i <j* T.r-iuiie* :n dépendantes <i. i, c. / peut ètf?
■ .:?^c:rp 'iminK a muni m des <{uaLre variables indepei-
^■■> ;. ' r. : A/.i&i- ")ar temple. les composante &
* ue»Hf i un point ou fmite. — — • t' nue nous re-
ctr*zLi vront respectif emra: mr /. w\ tv. étant dépendante * *- *• cm r. pourront être mipuriees comme dépendîmes it -. r. r. f : et «."est d'aillcc* :m -\uv Ton conçoit à priori: \ s l'oo considère un peina fneiconqne de l'espacer par le deide. et dont les ci: u nia nuées x, >% * rfsl»1 emscaases. les quantités m. v. « rotatives à ce point chuter a: ive»: U? temps, et sont, par ^:nfct* nient, des foncti<ifc .e r D* ai-m»?. si on laisse r. r -r. 7 constants et qui-c : !.%*•* iir'-fr r. r e>t-a-dire. si au :..tim notant onconsiôèw i* i^3*r«r.i* Donts d'une paralic-.-; 1 L itl1 des r. w, v.* ■ ir'.errr:: •:-»: :n. : elles sont donc toz, ■■::•; * .ie l.i variable inieo^iida^:!11 x. et ainsi des autres: d";^i i: résulte quoi*. *v fer.: i-:* fondions des quatre variable* : ->ie:>e ridantes .t. r. r. On en dirait autant de toute font lio.; «ie cz. A, c. t.
f T-i. 1' e?t facile de voir fjuc le problème que l'on m j p:-p-:-se senit résolu 51 1 on pouvait délerniinir complètement j. v. *■*■ en fonction de »r,j', s, t : car. pourcomiaitr le m-r-m ornent dune molécule en particulier, il suffirait^ . ..ii^dêrer 1. 1. r lomme des fonctions de/ seulement, f
■ le po*er
djc tir Hz
Tt = "> *="'• rf* = ,,i
HYDRODYNAMIQUE. 283
on aurait ainsi trois équations différentielles entre x, y, Zj *, après que Ton aurait remplacé w, v , i*> par leurs valeurs; en les intégrant, on connaîtrait x, y, z en fonction de t , et Ton déterminerait les trois constantes que cette intégration introduirait en exprimant que, pour t = o, x, y, z prennent les valeurs des coordonnées initiales de la molécule que l'on considère.
175. Équations du mouvement des fluides. — Soient JLdm, Y dm, Zdm les composantes de la force appliquée a la molécule dont la masse est dm ; t/, y, w les composantes de sa vitesse, et u', e', w* les dérivées par rapport à f, des quantités respectives u, y, ip considérées comme relatives au mouvement d'une molécule déterminée, et, par conséquent, comme des fonctions de la seule variable t.
*r * ia ' * du dv dw
Nous ne pouvons représenter ces dérivées par — > — » -y-
parce qu'on les confondrait avec les dérivées partielles de u, c, iv par rapport à t. Soient enfin p la pression et p la densité, qui peuvent varier avec x9 y, z, t. On formera d'abord trois équations du mouvement du fluide, au moyen du principe de d'Alembert, en observant que le fluide serait en équilibre si une molécule quelconque dm était sollicitée par la force ayant pour composantes
(X-«')rf/w, (Y — S)dmy (Z — »/)dmy d'où résultent les trois équations
Pour obtenir les expressions de u', *>', w', il faut observer que u, *>, w doivent être difteren liées en regardant x, yy z comme les fonctions de / qui se rapportent au mouvement de la molécule dm, et que, par conséquent, les accroisse-
284 livre iv.
ments de x,y, z, correspondants à l'accroissement dt du
temps, ont pour valeurs
fie = udt, dy = vdl, de = tvdl. On aura, d'après cela,
'di
zr+z
tfy di
et
les
trois équations
précédentes deviennent
|iâe
du du du dt dx djr
d» d ~dt~U
x 'dr "
1 i dp
it-
dw
v dw
; " dr~ "
Ces trois équations ne suffisent pas pour la dé termina bon des cinq fonctions p, p, u, v, w. Il en faut deux de plot, à moins que p ne soit constant, et, dans ce cas, il n'en roterait qu'une à trouver. Nous allons voir comment on peut trouver ces équations d'après la condition que le fluide teste continu.
176. Concevons que l'espace occupé par le fluide soit partagé en parallélépipèdes infiniment petits dx,efy,dt. Après le temps dt, ils doivent se trouver encore remplis par le fluide, excepté peut-être ceux qui se trouveraient è la surface libre, et, par conséquent, l'accroissement de la densité dans chacun d'eux sera égal à l'accroissement de I» niasse qui y était renfermée, divisée par le volume. Pour exprimer celte condition, il faut chercher l'excès de h
HYDRODYNAMIQUE. a85
masse de fluide qui est entrée dans un quelconque d'entre eux, sur la masse qui en est sortie pendant le temps dt.
Soient #, y, z [fîg. 12) les coordonnées du sommet M de ce parallélépipède \ x H- dx} y 4- djr, z-hdz celles du sommet opposé S; u, v, w les composantes de la vitesse du point situé en M après le temps t} et p la densité en ce point au même instant. .
La direction de la vitesse variant d'une manière continue, s'il entre du fluide par une face, il en sortira par la face opposée, et si Ton calcule l'excès de la masse de la première quantité sur la seconde pour les trois couples de faces parallèles, leur somme sera l'accroissement de la masse renfermée dans le parallélépipède.
Considérons d'abord la face MPQR et sa parallèle. Si p et u étaient constants dans l'étendue de chacune d'elles, la masse introduite par la première serait
pudjrdzdt,
la masse sortie par la seconde serait
pu -h -^^ dx dydzdt,
et l'excès aurait pour expression
— ^p^- dxdydzdt.
Or, on peut admettre qu'il en est ainsi ; car, si Ton considère deux points T, Y pris respectivement dans les deux faces et situés sur une parallèle à Taxe des #, la différence des valeurs de p a en ces deux points ne surpasse la différence des valeurs de pu aux points M et N, que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, puisqu'il suffirait de remplacer dans cette dernière les coordonnées de M par celles de T, pour obtenir les expressions de la première.
l86 LIVBB IV.
De même, l'excès ta la uuatililc Je masse entrée pat \& deux faces dxih, lixiîy sur celle qui est sortie par le* fit» parallèles, est exprimé respecù veinent par
Divisant la somme des trois excès par le volume djctii d;, ou connaîtra l' accroissement de la densité du liquide contenu dans le parallélépipède, ou de la densité au point Joui les coordonnées sont x, y, s. Ce sera donc la (liQércniidlr partielle de la densité par rapport au temps, et l'on aun. par conséquent, l'équation
I I il -i rf r" , . liPJl' „
W* ill dx dz
Examinons maintenant de die manière elle doilètR interprétée dans les différent! que peuvent présenter le» fluides.
177. S'il s'agit d'un liquide, c'est-à-dire d'un fluide incompressible, et que sa densité soit la même en tous la points, el indépendante du temps, l'équation (2) se réduit à
,, du dv da>
Dans ce cas, il n'y a que quatre fonctions inconnues p, a, c, ic , puisque p est donné. Les équation» (1) et(3) suffisent donc pour leur détermination.
178. Si l'on considère maintenant un liquide hétérogène, la densité de chaque molécule est invariable; maùp n'en est pas moins une fonction de x, y, z, t. Pour exprimer que cette fonction reste constante pour une même molécule, il faut chercher sa différentielle totale en exprimant que rfx, dy , dz ont les valeurs correspondantes au mon-
HYDRODYNAMIQUE. 387
vement de celte molécule, et l'égaler à zéro. On obtient
ainsi
ce qui réduit l'équation (2) a
, ,. . du rit» dw
Dans ce cas, il y a cinq fonctions à déterminer, savoir, />, p, m, i>, iv, et un môme nombre d'équations (1), (4), (5).
179. S'il s'agit d'un fluide compressible dont la température est constante, on a entre p et p la relation
qui, jointe aux relations (1) et (2), détermine les cinq fonctions inconnues.
i 80. Conditions relatives à la surface. — Les équations que nous avons obtenues jusqu'ici s'appliquent à tous les point de l'intérieur du fluide; et s'il est indéfini, il ne reste à y joindre que les conditions relatives à l'état initial. Mais si le fluide est terminé, il existe des équations particulières pour les points qui se trouvent à sa surface. On suppose ordinairement que les points qui étaient d'abord en contact avec une paroi mobile ou immobile y restent indéfiniment, et que les points qui appartenaient primitivement à la surface libre ne cessent jamais d'en faire partie. Ces hypothèses restreignent les déplacements*, et, malgré cela, il est encore bien peu de cas où les calculs puissent s'effectuer complètement.
Soit F (x, r? zi t) =0 l'équation d'une surface sur laquelle un point du fluide doit constamment se trouver. Supposons que, pour une certaine valeur de f, ses coordon-
nées y satisfassent, et que l croisse fie dt croîtront dt
udi, edt,
wdt.
et ces accroissements devront satisfaire à f 'équation dilltrciilielle de la surface, quand on les substitue à dx, dy, H:, ce qui donne la condition
dV
dY
dV
df
disparaît.
MI pendant tonte la duré îi se trouvaient prinutheit il s'agit; et il en esisten 1 1 ici de la surface qui «
ibre sont soumis à l'aedc* irdinaircment la mémen
p avec le temps. Si on li
îrface sera
Si la paroi est fixe, le terme
Cette équation devra a' du mouvement pour les nt ment en contact avec la de semblables pour toutes sont pas libres.
181. Les poinu il d'une pression connue, qui est or tous ces points, mais qui peut vari désigne par P, l'équation de celle
d'où l'on conclut la condition suivante, pour les points qui s'y trouvent:
dt~*~ dx dy ~*~ d* dt'
Ces différentes équations relatives aux limites du fluide, concourent, avec l'état initiât, à la détermination des fonctions arbitraires introduites par l'intégration des équation différentielles partielles.
182. Lorsque «, v. w sont les dérivées partielles par rapport à x, y, z d'une fonction y de x, y, z, t , on peut réduire les équations (i) à nue seule, et la solution de !>
nYDBODYAAWQUE. 289
question est ramenée à la détermination de y, puisqu'on en déduira u, e, w par des différcntiations.
En ne considérant que les variables x> j , z dans ç, on aura, d'après l'hypothèse,
udx -H vdy -h «»</z = dy.
Supposons, de plus, que X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une fonction Y, de sorte que Ton ait
Xdx -f- Xdy -f- Zdz = dV.
Cela posé, les équations (1) peuvent s'écrire ainsi :
l dp dV d'y dy d'y dy d'y dy d'y p dx dx dxdt dx dx1 dy dxdy dz dxdz
1 dp dV d'y dy d'y dy diy dy d'y
p dy dy dydt dx dxdy dy dy2 dz dydz
I dp dS d'y dy d'y dy d'y dy d'y
p dz dz dz de dx dx dz dy dy dz dz dz1 '
Si l'on multiplie respectivement ces équations par dx, dy, dz, et qu'on les ajoute, on obtient
toutes les différentielles étant prises par rapport à x, y, z, en considérant t comme constant.
Les deux membres de cette équation pourront s'intégrer par rapport à x%yy z toutes les fois que p sera une fonction connue de p, ou aura une valeur constante.
183. Dans ce dernier cas, qui est celui d'un liquide homogène, on obtient
il I rail ajouter une fonction arbitraire du II seconu membre, mais ou peut la regarder comme n dans la fonction (p, el il est inutile de Pécrïre. L'équation de continuité se réduit, dans ce cas.
rf'ç rf'» d'y
Celle équation fera connaître <j en fonction de et quand les fonctions arbitraires auront été déle on connaîtra u, v, w par la difféientiation de la foi
184. Dans le cas d'un fluide aé ri forme dont b rature est constante, ona^ = Ajo, et le premier
grant,
»«*-» -S-ï[(â)'+fê)'*(ï
d'où l'on peut tirer p en fonction de <j.
L'équation (a) peut se meure sous la forme
et, en y remettant la valeur de p tirée de la prêt on aura une équation qui déterminera <f et, p* u, v, w. Dans le cas où les mouvements des points d seraient assez rapides pour que la température s'é s'abaissât successivement en chaque point, la for tique ne serait plus simplement proportionnelle à dépendrait de l'accroissement de température, qui p
HYDRODYNAMIQUE. 2C;I
regardé comme proportionnel à l'accroissement de la densité -, p dépendrait donc encore de p, et réciproquement. Le premier membre de l'équation (6) pourrait encore être intégré, et Ton agirait comme dans le cas précédent.
185. Si les fonctions m, f, w sont les dérivées partielles d'une fonctiou de x, y, z pour une valeur quelconque de f, il faut qu'elles le soient, d'abord pour £=o; ce que l'on reconnaîtra facilement, puisque leurs valeurs initiales sont données en fonction de x, y, z. Or, Lagrange a fait voir que, quand ces conditions sont remplies à une certaine époque, elles le sont à un instant quelconque du mouvement; d'où il résulte que, si Ton reconnaît qu'elles le sont dans l'état initial, elles le seront indéfiniment, et les calculs précédents seront applicables.
Nous allons démontrer cette importante proposition.
Pour cela, nous partagerons le temps en intervalles infiniment petits, et nous calculerons de combien augmente l'expression udx -\- vdy -f- wdz dans un de ces intervalles, en déterminant les accroissements que prennent u, *>, w dans le même temps, d'après les équations générales du mouvement des fluides. Or, il est clair que si udx-+-i'dy+wdz est à chaque instant la différentielle d'une fonction de x, y, z, il est nécessaire que la quantité dont elle augmente soit toujours elle-même une différentielle exacte; et réciproquement « si à une certaine époque cette expression est une différentielle exacte et que tous ses accroissements infiniment petits successifs soient eux-mêmes des différentielles exactes, il en sera de même de leur somme et, par conséquent, de l'expression udx ■+- vd) -hwdz^ à une époque quelconque.
Soient donc uu yt, \%\ les valeurs de uy v, w à une certaine époque pour laquelle / = /,, et admettons que l'ou ait
utdx -+- vtdjr -f- %vltlz = dyt ,
itj.
motion des trois variables indépendant»
n sidérant u, v, w comme des fonctions de valeurs qu'elles auront pour ( = (, + i iMltippées par rapport aux puissances de i. »se cet accroisse nient infiniment petit, ou ■ aux deux premiers termes, et I'od aura
n . i1 . u'' pistil dos fonctions de x,j, z, qui seront les dérivées pnrliulfaa de u, v, w par rapport à l et relatives â
Oiidwlnildelâ
Dpnr, si (('(/.(■+ pV^ -+- v/dz est une différentielle exacte, il en sera de ini'nie de udx + viij -\-wdz à l'époque pour laquelle I = I, h-e, Or, les équations (i), considérées i
HYDRODYNAMIQUE. 2()3
certaine fonction de x,y z\ et, en supposant d'ailleurs que les forces extérieures soient telles, que Xdx-\-Ydy -+-Ztdz soit la différentielle d'une certaine fonction Y de x% y, zr on obtiendra
dP = d\ — [u'dx ■+- v'df -h Wdz)
d'où Ton tirera
uf dx -J- v' dy -+» fv'<&
-'l'-'-iKSM^OT-
Ainsi ii' dx -\- vf dy -\- \v' dz est la différentielle d'une certaine fonction des trois variables indépendantes x, y, z* Donc, si udx-\- vdy +- wdz en est une, à une certaine époque, elle le sera encore après que le mouvement du fluide se sera opéré en vertu de toutes les actions et toutes les circonstances, pendant un temps infiniment petit. Partant de l'état du fluide à cette nouvelle époque, comme de la précédente, on prouvera de même que udx •+- vdy + wdz sera encore une différentielle exacte, après un nouvel intervalle de temps infiniment petit, et ainsi de suite indéfiniment.
Il suit de là que, si cette condition est remplie dans l'état initial, ce que Ton pourra toujours vérifier immédiatement, on peut être assuré qu'elle le sera à toute époque du mouvement. Si elle ne l'était pas dans l'état initial, il est clair qu'elle ne pourrait l'être à toute époque.
Il est bon de remarquer que la condition dont il s'agit sera remplie toutes les fois que les vitesses seront nulles en tous les points dans l'état initial; car alors on a
udx-{- vdy -h %vdz égal à zéro, ce qui est une différentielle exacte.
ay4 livhe iv-
186. Dans le mouvement liés- si m pie d'un liquide tju< tourne uniformément autour d'un axe 6xe, sans que scpoints changent de position relative, udx -t- vdy-}--vd: n'est pas une différentielle exacte-, car, en désignant par '» la vitesse angulaire constante, et prenant l'axe de rotation pour axe des Ç, on aura
*rfr-
expression qui n'est pas une différentielle exacte. Le c dont il s'agit ne peut donc être traité par le procédé particulier que nous avons exposé, et il faut recourir aux éi tions générales.
On a, dans ce cas,
du
et les équations (i) deviennent
= * + -v, il
d'où l'on déduit
-£■ = X<Lc + T./7 + ZA + «•(.rrf.r -+. j-tfy) ,
équation qui ne diffère pas de celle que nous avons trouver dans l'Hydrostatique, n° 141 .
Mouvement d'un liquide dans une hypothèse partir culière.
187. Lorsqu'un liquide homogène, renfermé dans m vase, s'écoule par un orifice pratiqué dans la base lioritoo-
HYDRODYNAMIQUE. 2(p
taie, et irès-pelit par rapport aux sections horizontales du vase, l'expérience montre que les molécules situées dans une même tranche horizontale, à un certain instant, y restent constamment, tant qu'elles ne sont pas très-voisines de l7 orifice. On peut négliger les vitesses horizontales, lorsque les sections varient peu dans toute la hauteur du vase, et ont des dimensions très-petites par rapport à cette hauteur \ il n'y a plus alors que deux inconnues, la vitesse verticale et la pression. Ces suppositions, connues sous le nom d'hypothèse du parallélisme des tranches, sont celles que nous admettons dans la question que nous allons traiter. Prenons Taxe des x dans la direction de la pesanteur, nous
aurons
et les équations (i) se réduisent, les deux dernières à
ce qui indique que la pression est la même pour tous les points d'une même tranche horizontale, et la première à
. . dp I du du \
M dï=e[s-dï-u*c]
du\
L'équation de continuité (3) ne saurait être employée dans le cas actuel, parce qu'elle renferme les dérivées de ti, *>, w; et quoique v et w soient très-petits par rapport à u, on ne peut dire que leurs dérivées puissent être négligées par rapport à celle de u. Mais on exprimera bien simplement la continuité, en égalant la quantité de liquide qui passe par une tranche quelconque à celle qui sort par l'orifice pendant un même temps infiniment petit. En effet, désignons par o> Taire de la section faite dans le vase, à une distance x de l'origine, par il l'aire de l'orifice, et par U la
r&ulh
LIVUE IV.
i Ile- le liquide y passe; les quantités de liil jiar les sections u et fl pendant le même ut respectivement »arf* et HL</f; d'où
■Irï.Sil .m i>Iln
et U se rapportant à la même valeur de /, un de t seulement, w est une fonction dejr ! me du vase, et u est une fonction de x et il varier t seulement, on a les valeurs suctesse de différentes couches, aux époques il passer par une même section. Si .■ scal n a les vitesses de différentes couches au ■t si l'on y fait varier à la fois .r et / sans nLiiicc entre eux, on a la vitesse de la iranictle autre époque par une autre section. cul connaître la vitesse qu'aura, après le niche qui, pour une valeur donnée de t ei esse u, il faudra faire varier t de dt, et X
HYDRODYNAMIQUE. 297
— peut être supposée effectuée dans chaque
cas particulier, puisque' co est une fonction donnée de x. C'est une quantité arbitraire indépendante de x, et qui peut dépendre de t.
Cela posé9 il y a à considérer deux cas très-différents : celui où le niveau du liquide serait maintenu à la même hauteur, et celui où il s'abaisserait par l'écoulement du liquide qui ne serait pas renouvelé; nous allons les examiner successi vemen t .
188. Soient P la pression constante exercée sur la surface supérieure du liquide, P' la pression exercée sur le liquide qui sort du vase; on aura sensiblement P'=P lorsque tout F appareil sera compris dans un même milieu gazeux. Soient h la distance du niveau à l'origine des x} et / sa distance à l'orifice.
Déterminons la constante de l'équation précédente de manière que Ton ait p = P pour x = /r, nous trouverons , en prenant l'intégrale à partir de A,
O désignant la valeur de w au niveau du liquide. Il en résultera
si nous faisons il en résultera si nous posons
Jh
n précédente donne, en la résolvant par
t les deux membres, il vient
C étant un* constante arbitraire que l'on dete prés la valeur initiale de U. En supposant lc-s lorsque r = o, on aC = i, cl l'équation réso poil à U devient
U étant déterminé, on connaîtra u par l'équat
Bl /> par l'équation (c).
La valeur de U montre qu'après un cerlaiu. tant plus court que £1 sera plus petit, les sont sensiblement nulles, et que parconséqi , .- ■ - - &Lgf/-t-ih
HYDRODYNAMIQUE. 299
Si l'on néglige le carré de - i la limite de la vitesse à l'orifice sera >Jig (/-f- d).
Et enfin, si S = o, c'est-à-dire si la pression extérieure est la même à l'orifice et au niveau du liquide, la vitesse à
l'orifice devient fogl. Elle est donc la même que celle qu'acquerrait un corjis pesant, en tombant dans le vide d'une hauteur égale à celle du liquide dans le vase.
La vitesse U étant devenue constante, on a — - = o, et
' dt
F équation (c) se réduit à
Or, dans l'état d'équilibre, la pression serait égale à
Elle est donc moindre dans l'état de mouvement pour les sections telles que Ton ait a) <^0, c'est-à-dire pour celles qui ont des aires moindres que celle de la surface libre du liquide; elle est, au contraire, plus grande que dans l'état d'équilibre pour celles dont les aires sont plus grandes que O.
Si Ton veut connaître le volume de liquide qui est sorti du vase au bout du temps £, il suffira d'intégrer Q,\Jdt entre o et t. Si l'on désigne ce volume par V, on trouve facilement
Kv.t Aa(
V = log
Au bout d'un certain temps, on pourra négliger la seconde exponentielle, et Ton aura sensiblement, en remettant
3oo . MVJt* IT.
pour h sa valeur ^ȣ(/-kty,
Le premier terme est le volume qui aérait sorti ai la vile* avait été, dès L'origine, égale à &a limite
189. Passons maintenant au cas où, le liquide n'éttl pas renouvelé, le niveau s'abaisse, et A est une fonça* inconnue de /.
Les équations (a), (*), (*c), (rf) ont toujours fieu;Mi m et O sont maintenant des fonctions connues de A, tf ' dépend de h par l'équation
a désignant la distance constante de l'orifice à l'origine des x. Il faudra à ces équations en ajouter une qui exprime que la quantité de liquide écoulé pendant un intervalle quelconque A, est égale au volume compris entre les deux niveaux correspondants au commencement et à la fin de cet intervalle. Cette équation est
dh nU L'équation (d) devient, en remplaçant / par a — A,
Il reste donc à intégrer le système des deux équations simultanées (e) cl (/).
HYDRODYNAMIQUE. 3o 1
Si Ton élimine entre elles r/f, on obtient ou, en posant U* = agz,
équation linéaire du premier ordre par rapport à z, et que l'on pourra toujours intégrer dans chaque cas, puisque O et m seront des fonctions connues de h.
Lorsque z sera connu en fonction de hy on connaîtra U, et par suite t d'après l'équation (e) ; et réciproquement h et U seront connus en fonction de t . La valeur de u sera donnée par l'équation (fc) , et celle de p par l'équation (c). La quantité de liquide écoulé se déterminera en calculant le volume du vase, compris entre le niveau initial et le niveau variable, et la durée de l' écoulement total s'obtiendra en faisant h=a dans la valeur de t .
190. Si l'on suppose Q extrêmement petit par rapport aux sections horizontales du vase, l'équation (d) se simplifie beaucoup. En effet, on peut négliger - et m fï, tant dans l'hypothèse d'un niveau variable que d'un niveau constant, à moins toutefois que — ne soit très-grand, ce
qui a lieu au commencement du mouvement. On obtient ainsi
ce qui donne pour U la vitesse limite que nous avions trouvée pour t infini, dans le premier cas.
Dans la même hypothèse d'un orifice très -petit, les résultats sont sensiblement les mêmes, quelle que soit lu direction de son plan.
3o2 UVRS IV.
Mais, dans tous les cas, la vitesse donnée par l'expérience, et que l'on calcule d'après l'aire de l'orifice cl k quantité d'eau écoulée, est moindre que celle que iom cette théorie dans le rapport de 0,62 & l'unité. Ce rapport étant sensiblement constant, les vitesses réelles sont toujours entre elles comme les racines carrées des hautain è pression.
Du mouvement permanent d'un liquide.
191. Lorsque l'on entretient le niveau d'un liquide à une hauteur constante, on obtient, an bout d'un cottû temps, un état permanent dans lequel toutes les cimstances restent les mêmes au même point, et ne varieatfK d'un point à un autre. Ainsi, en un point queleonq^li vitesse du liquide sera constante en grandeur et en dm» tion, et par conséquent deux molécules qui à des épofv différentes auront occupé une même position pareoaiM la même trajectoire et d'une manière identique.
En prenant l'axe des x dans le sens do la pesanteur, les équations fournies par le principe de d'Alembert seront
- = ,(,-«), Ty=-?*, ^- = -K.
u'j v' , w' étant les dérivées, par rapport au temps, des apposantes de la vitesse d'une molécule en un point quelconque. Désignons par <£r, djr, dz les accroissements qu'oti pris, après le temps dt, les coordonnées de la molécule qw était située en ce point; multiplions respectivement k équations précédentes par dxy dy7 dzy et ajoutons-les, n«t obtiendrons
dpz=z gp'Ar — 0 («' dx H- <t dy -+- «»',/«),
ou, en désignant par V la vitesse de celte molécule m tr
HYDRODYNAMIQUE. 3o3
point quelconque de sa trajectoire,
intégrant entre deux points quelconques de cette trajectoire, correspondants aux abscisses x©, x, il vient
(a) p-p^gp^-^-l^-Vl),
Pt, V0 étant les valeurs de p, V, au premier de ces deux points. Cette équation va nous conduire à un résultat remarquable, déjà obtenu dans la discussion de la question précédente où Ton admettait des hypothèses plus particulières que celles que nous admettons ici. En effet, supposons que la surface libre du liquide soit rigoureusement plane et soumise en tous ses points à une pression égale et constante P, et comptons les x à partir de ce plan. Si dans l'équation (a) nous faisons
le premier des deux points que Ton considérait sur la trajectoire sera pris à la surface supérieure du liquide; on aura alors
#>-P=rpi-.£(v»— v«).
Or, si le vase est percé d'un très-petit orifice à la partie inférieure, à une distance h au-dessous du niveau supérieur, on pourra admettre que dans toute l'étendue de cet orifice la vitesse de tous les points est la même ; de sorte que pour x= h il n'y ait qu'une seule valeur pour V. Si, de plus, on regarde la pression extérieure comme moindre qu'à la partie supérieure, d'une quantité gpd, l'équation précédente devient, en y faisant x = /*,
sp*=*p/'-£(v'-v:j,
Soij
fcllflllt IY.
V — Vi = ag(A -t-fy
Soii
Aie r
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appo.
i tic l'aire de l'orifice a l'aire de la section Un du niveau supérieur; on aura
i r, par suiie, V r — <■) = agr(* -+ 3\
ut r,
■ès-pe
lit, ** pourra être négligé, et l'on aura îim-
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est sensiblement la même à la partie *upéle cl à l'orifice, on pourra négliger à, etj'on
On
Ba
isi sur les résultats obtenus préccdcmmcnl.
utement d'un flui.tr élastique.
HYDAODYHA1IIQUE. 3o5
le même temps par la face inférieure ; l'excès de la première quantité sur la seconde, divisé par le volume ««/*, donnera T accroissement partiel de la densité par rapport au temps. On trouvera ainsi
dû d.pvu
dt dx
Enfin, en supposant la température constante, on aura
k étant une constante donnée.
Ces trois équations déterminent p9 p et u en fonction de tetx.
Si Ton élimine p, on aura
k dp du du dp d.pvu
p dx dt dx dt dx
Ces équations aux différentielles partielles ne sont pas intégrables sous forme finie. Mais ce qu'il est surtout important de connaître, c'est la vitesse de l'écoulement, lorsque la pression et la vitesse sont devenues constantes en chaque point; ce qui arrive assez promptement, en supposant que le vase communique avec un réservoir qui renouvelle le gaz et détermine à la partie supérieure une pression constante.
On a alors — = o, — = o,et les équations précédentes
deviennent
kdp du ^ d.p&u
pdx dx * dt
Les intégrales de ces deux équations sont
u2 pvu = c, AtogpH =^,
c et d désignant des constantes arbitraires.
