PO P

L'orifice O étant plus pel rO, et la pression P'éUfli

aussi moindre que P, sans quoi l'écoulement n'aurait pilieu, les deux ternies de la fraction sous le radical sont positifs, et U est nécessairement réel. La valeur de \j' se déduit de celle de U, et l'on trouve

Les valeurs de c, c s'en déduisent facilement, et par cocséquent les valeurs de p et useront déterminées en fotictiw de m et, par suite, de x.

Si l'on suppose— très-petit , on aura U très-petil, 1 L1' es l/a*logp7* Telle est la vitesse d'écoulement dw

HYDRODYNAMIQUE. 3oy

gaz par un petit orifice, lorsque les pressions P, P', à la partie supérieure et à l'orifice, sont constantes.

Notions sur la résistance des Jluides.

193. Lorsqu'un corps solide se meut dans un fluide, il éprouve une résistance qui dépeud de sa forme, de sa vitesse et de la nature du fluide. Les pressions exercées sur les différents points de la surface sont très-différentes de ce qu'elles seraient dans l'état d'équilibre, et le calcul n'a pu encore y être appliqué avec succès. Les expériences n'ont même pas donné de lois empiriques assez générales pour être susceptibles d'applications utiles dans le cas de corps de forme quelconque. On a cependant quelques résultats assez généraux relativement à la résistance des liquides en mouvement contre des plans qui se meuvent parallèlement à eux-mêmes. Ces résultats et les expériences d'où on les a déduits se rapportant au Cours de machines, nous ne nous en occuperons pas ici, et nous nous bornerons à un cas qui peut être traité par le calcul, et qui a* pour objet la pression exercée par une veine liquide contre un plan.

194. Pression d'une veine liquide sur un plan. — Supposons un liquide dont la densité soit p, qui s'écoule par un orifice dont l'aire soit o>, de telle sorte que les vitesses de toutes les molécules qui passent par l'orifice soient égales, parallèles et indépendantes du temps, et faisons abstraction de la pesanteur, pour ne considérer que l'effet du à la vitesse du liquide. Le mouvement de celte veine est modifié par un plan fixe, ou mobile en restant parallèle à lui-même; et l'on suppose que le liquide s'écoule le long du plan, et que celui-ci soit assez prolongé pour que toutes les molécules aient acquis, avant de le quitter, des vitesses parallèles à ce plan. On demande quel effort sera nécessaire pour

3o8 4.1VU (?.

mainlenil le plan eu repos, ou ilin: un état donné de mouvement uni forme.

Considérons d'abord le cas où le plan serait en repos « perpendiculaire à la direction de la veine fluide, et, pour nous représenter plus co mm ode nient le système des point* en mouvement, supposons que la veine fluide ait une Longueur indéGuie et une vitesse constante v. Les choses* passent comme s'il en était ainsi, et nous pourrons plut t c Moment appliquer les principes généraux du mouvenwK Les molécules du liquide, tant avant qu'après la rencoom du plan, forment un système de points libres, soumi' I leurs actions mutuelles et aux forces normales exercées sur une partie d'entre elles par le plan.

On aura donc, en supposant l'axe des x positifs dira tr sens du mouvement du liquide,

d'x d>y tt'm

en désignant par X la force produite par l'élément «/îdrh surface du plan, et qui est égale et contraire a la presw* que le fluide everec sur lui. Désignant par R la KHrl toutes ces pressions élémentaires, ou la résistance totale*" plan, on aura

L'état du système étant devenu invariable, intégrons !<• deux membres de cette équation par rapport .■ entre deux époques éloignées Tune de l'autre d'une uni!** temps, nous obtiendrons

dx idjc\

le second membre étant la djtrércuce entre les rompt perpendiculaires au plan, des quantités de mouvra

HYDRODYNAMIQUE. 3oO

tous les points du liquide à ces deux époques. Or, tous les points où les vitesses perpendiculaires au plan sont variables, formant à chaque instant un système identique, il s'ensuit que la valeur de ce second membre n'est autre chose que la différence entre les composantes des quantités de mouvement de la partie du liquide qui a quitté le plan et de celle dont la veine indéfinie a été diminuée. Mais la première quantité est nulle, puisque le liquide quitte le plan avec une vitesse dont la composante normale au plan est nulle; il ne reste donc que la seconde quantité, dont la valeur est le produit de la quantité de liquide écoulée dans l'unité de temps, ou pue, par la vitesse v qu'elle avait, ce qui donne p<ùv*.

L'équation précédente devient ainsi

la pression égale et contraire qu'éprouve le plan est donc

405. Supposons maintenant que le plan se transporte parallèlement à lui-même, et qu'il ne produise en chaque point que des forces normales; il sera inutile d* avoir égard à la composante de sa vitesse dans le seus du plan même, et Ton se bornera à considérer la vitesse normale n, que l'on regardera comme positive quand elle sera dans le même sens que f , et comme négative dans le cas contraire. Or, on ne changera rien aux pressions en donnant un mouvement commun à tous les points du système, et, par conséquent, on pourra réduire le plan au repos, ce qui ramènera au cas précédent. 11 suffira pour cela d'ajouter — u à la vitesse de chaque point, et l'on se trouve dans le même cas que si, le plan étant en repos, la vitesse du liquide à l'orifice était (f — u) *, on aura donc, pour l'expression de la résistance opposée au plan, pw(i' — u)*.

i»fcu|»a^jfÉM à m y m. b dircoiw Mpi" i;ii if ni i rj^t «mc pnlltlf

L~3)«B^HpBII^Hft^MMHK4BABBIIItin:

HYDRODYNAMIQUE. 3 1 1

Calcul des petits mouvements des fluides élastiques.

197. Lorsque tous les points d'un fluide n'ont que des mouvements extrêmement petits, les équations générales se simplifient beaucoup, et conduisent à quelques lois simples que nous allons exposer.

Nous supposerons que l'expression udx + vtfy -h wdz soit a chaque instant la différentielle d'une fonction 9 de x9 y, *, tj prise seulement par rapport aux variables x» y9 z. Nous savons qu'il suffit pour cela que, dans l'état initial, les composantes connues u, *>, wde la vitesse d'un point quelconque soient les dérivées partielles, par rapport à x, y9 Z) d'une même fonction de ces trois variables considérées comme indépendantes, ce qui aura lieu en particulier si les vitesses initiales sont nulles. Nous devrons donc, dans les questions que nous allons étudier, faire usage de l'équation (6) du n° 182; et nous allons d'abord y opérer les simplifications qui résultent de l'hypothèse que les mouvements restent très-petits.

Soient D la densité du gaz dans son état naturel d'équilibre, A celle du inercure, pt la force élastique de ce gaz, h la hauteur de mercure qui la mesure, et g la gravité ; on

aura

pê=zghb.

Désignons par p la densité variable du gaz, par y sa condensation positive ou négative, et par p sa force élastique,

on aura

et, en supposant la température égale à celle de l'état initial,

Mais la condensation développe une certaine quantité de

3ia livre iv.

chaleur qui lui est proportionnelle, si elle est très-petite, comme nous le supposons. Celte chaleur n'a pu» le temps Je se répandre si les alternatives de dilatation et decondenution se succèdent rapidement, comme cela aura lieu dins les questions que nous examinerons-, on doit donc la rontidérer «ne ayant pour effet d'élever la température (te points i-lle est dégagée d'une quantité de même signe que la vundensation, et proportionnelle à ta grandeur. Dans le cas où la chaleur aurait le temps de se dissiper dans le milieu, on n'en ne pas compte dans le calcul.

Si l'on représente par 6 ibre positif ou négatif dt

degrés centésimaux dont s'' e la température primitire» du gaz, pour une condensation y; par c et d les chaleur» spécifiques du gaz à nri- instante et à volume con-

stant, et par « le oc ■» i dilatation de ce gai, ot démontre en physique que ^<, [uantîtés ont entre elles h relation suivante :

on aura, du plus, la proportion

d'où l'on tire, en remplaçant p„ par gh et négligeant les puissances de a supérieures à la première, et le produit do quantités très-petites 7, 6,

p = gh{* +7-r-«9)A,

ou, eu remplaçant ad par sa valeur en fonction de y.

.gfaj >h

HYDIIODYIUMIQUE. 3i3

L'équation (6) donne ainsi

ghcb

^=-%-my+®'+®')

Or, en supposant que les condensations et vitesses initiales soient des quantités extrêmement petites du même ordre, et qu'il en soit de même à une époque quelconque,

on pourra négliger les carrés des composantes -r* -r* ~j

par rapport à 1 (i -+- y), qui peut être remplacé par y7 et la dernière équation se réduit à

ghc A df

. ghcb , ou, en posant < / = a •

L'équation de cou li nui lé

r/p d.pu c/.pf d.pw dt dx djr dz ~~

devient d'abord

ou, en négligeant les termes très-petits par rapport à ceux qui subsistent dans l'équation

, . df d*o d*q d1 m

Les équations (î) et (a) déterminent y et f . Si Ton élimine entre elles y, on obtient

(3) "i^fflli + ïi+fLi).

3i4 lavns iv.

On est donc ramené à l'intégration d'une équation différentielle partielle du second ordre, linéaire et à coefficient.' constants. Les fonctions arbitraires se détermineront pu

les valeurs initiales de f et -~, et il n'y aura pas d'autres conditions si le fluide est indéfini dans tous les sens. Dam le cas contraire, il y a, comme nous le savons, des éditions particulières aux limites, qui augmentent beaucoup les difficultés du calcul.

La valeur initiale de ■— connue par celle de y qui

est une donnée nécessaire. Quant à celle de ç, elle résulte des valeurs initiales des composantes de la vitt».

— ■> ~r> -î^t qui sont iiéces! ement données. Ces trois dx dy di '

fonctions de x,y, z déterminent, à une constante près, l>

fonction ^ ; et comme cette cou :anle ne peut avoir aucow

inlluencc sur les quantités cherchées, qui s'obiïeowoi

toutes par la dillérentialion de la fonction ^>, on n'en doil

tenir aucun cotnple, et l'on peut considérer la fonelioa

générale tp comme connue lorsqu'on y fait f. = o.

Le problème de mécanique est donc ramené à une qnfttion de calcul intégral dont les données sont complet» Nous nous bornerons à la traiter dans quelques cas particuliers.

198. Superposition des effets. — Si dans ce fluide, sttf posé indéfini dans tous les sens, on conçoit divers dus initiaux, et les mouvements partiels qui leur con-espf»dratent, et satisferaient à l' équation (3), il est facile I reconnaître que, si l'on considère un nouvel étal iniwl résulta» de la composition des premiers, le mouvemrft correspond au l pourra être obtenu à une époque quelo» que par la composition des mouvements partiels iclatifc ' la mùmc époque; celle toin position éianl entendue il*

HYDRODYNAMIQUE. 3l5

le sens ordinaire pour les vitesses, et consistant dans une addition algébrique pour les condensations. En effet, soient ?u ?*> ?s? etc., les valeurs de y correspondantes aux mouvements partiels, et qui satisfont séparément à l'équation (3); posons

La fonction y satisfera elle-même à l'équation (3), et représentera, par conséquent, un mouvement particulier du fluide. Sa dérivée par rapport à t sera la somme de celles des fonctions <pt, <p9, etc. En les considérant toutes pour la valeur t = o, on en conclura d'abord que la condensation initiale du fluide dans le mouvement représenté par <p est la somme des condensations initiales relatives aux divers mouvements partiels; et, de plus, les dérivées de <p par rapport à x,y, z seront les sommes de celles des fonctions <j>!, <p,, <j>3, etc.; et si Ton y fait t = o, on en conclut que dans le mouvement représenté par y, les vitesses initiales de chaque molécule s'obtiennent en composant celles qui se rapportent à la même molécule dans les états initiaux partiels. Donc l'état initial du fluide dans le mouvement représenté par <j> est identique pour les condensations et pour les vitesses à celui que nous nous proposions de déterminer; ces deux mouvements sont donc identiques à une époque quelconque. Si maintenant, au lieu de faire t = o dans les

fonctions -7^1 -pN -r* -~» on attribue à cette variable ai dx dy dz

une valeur quelconque, ces fonctions seront toujours les

sommes de celles qui correspondent à <pu <p„ <ps, etc. Donc

enfin les condensations et les composantes de la vitesse dans

le mouvement cherché seront à chaque instant les sommes

algébriques de celles que l'on observerait à la même époque,

et respectivement aux mêmes points, dans les mouvements

déterminés par les états initiaux partiels.

3i6 uviï. iv.

Mouvement d'un yaz dans un tuyau cylindrique indéfini.

199. Supposons un cylindre creux indéfini, dont la section orthogonale soit une courbe quelconque, et qui soit rempli d'un gaz homogène, par exemple d'air almosphf rique. Dans une étendue quelconque de ce tuyau, on a déplacé les molécules de telle sorte que celles qui étaient dit» une même section orthogonale y soient restées, et se soient mues parallèlement aux arêtes du cylindre ; puis on a imprimé à toutes ces molécules des vitesses parallèles à ce ■liâtes et égales pour celles cp sont dans une même action, et ensuite on a abandoi I le fluide à lui-même, sus introduire aucune fort» extérieure. II s'agit de détermine! toutes les circonstances 'ement qui en résultera.

Nous remarquerons d'abord [ue le mouvement de tonte les molécules situées dans une même section sera le mbat, et, de plus, parallèle aux arêtes du cylindre. Si donc m prend cette direction pour i de l'axe des x, la conden-

sation y el la vitesse u ou -^ ne dépendront que de x et i.

Lu équations du problème seront done

™ dt- dx'

et si l'on suppose que les vitesses initiales soient exprime par la foncLiou d/f-'-'}. et les condensations initiales p»' y(j-), on devra avoir

L'imégiulc de l'équation (i) est (3) , = K,(.r-f «f)+/(jr — „.),

HYDRODYNAMIQUE. 3l?

F, zt f\ désignant des fonctions arbitraires, dont nous représenterons les fonctions dérivées par F et f. Les équations (a) donneront, pour déterminer ces fonctions, les deux conditions suivantes :

d'où Ton tire

Si maintenant on différentie l'équation (3) par rapport à x et à t, on trouvera, d'après les valeurs qui viennent d'être déterminées pour les fonctions/et F,

\|/ (x -f- at) — <*x(x "+" "0 'J* (•* — fl^)~H "xf* — fl0 // ss .———————————— -f- ■ ■■ .i i ■ ,

>J/ (x — at)-\-a% (x — at) \|j (x -+- at) — a-£ [x-\-at]

Mais, pour plus de simplicité, nous conserverons les fonctions F etfy et nous aurons les formules suivantes :

(4) « = F(* 4-*0 -hf(x-at),

(5) ay = — F (x -+- at) -+-/(x — «/).

Les fonctions ^ et ^ étant données pour toutes les valeurs de la variable entre — oo et 4- oo , on connaîtra u et y pour des valeurs quelconques de x et t .

Si Ton veut connaître le mouvement des molécules comprises dans une section particulière, qui dans l'état initial correspondait à l'abscisse a, il faudra, dans l'équation (4),

remplacer u par — > et intégrer celle que Ton obtient par

là entre x et f. On connaîtra ainsi, en fonction du temps, l'abscisse des molécules en question. La constante que cette

3l8 LIVRB IV.

intégration introduira sera déterminée pat la gmAmb que pou l»D on ail x = at. Il sera inutile de s'occupe de la vitesse initiale, puisque la valeur générale de ■■ «lisfait à la condition des vitesses initiales pour tous les point.' du fluide.

200. Examinons le cas particulier où 1 'ébranlement initial est limité, et s'étend par exemple depuis x ^rojasqu'à X = /, ou depuis l'origine A jusqu'en B (,fîg. i3).

Alors les fonctions donné<« "îr $> et y sont nulles pont toute valeur de la variable „ petite que o ou plus grands

que /; et il en est de par conséquent, des foor-

tions F, /". Nous pari e discussion eu trois jar-

ties, correspondante* . égions dans lesquelles IV-

branlement initial ss x.

i" Considérons u «i point quelconque M «t

dehors de AB el du a positifs, c'est-à-dire pont

lequel onai>/; ... ..^««.jr.s t >. o, ce cjuî veutdirr que nous considérons les époques postérieures à celle ipii est prise pour origine des temps.

Dans ce cas, on a

et, par conséquent,

Les formules (4) et (5) se réduisent donc aux (croies ud entre x~~ at, et l'on a

d'où résulte, entre la vitesse et la condensation, la relation remarquable

HYDBODYNAMIQUE. 'iiy

Mais, pour que ces valeurs de u et y ne soient pas nulles, il faut que Ton ait

x — at < / et x — at > o,

ou

Ainsi, le point M reste en repos jusqu'à l'époque pour laquelle on a

x~l BM

il est en mouvement jusqu'à celle où l'on a

x AM a a

puis il retombe au repos et y reste indéfiniment. Le mouvement se propage donc dans le sens BX avec une vitesse égale à a, et subsiste en chaque point pendant un temps

égal à - *, de sorte que la partie ébranlée renferme les molécules qui occupaient une longueur / dans l'état primitif, et semble se mouvoir avec la vitesse a en présentant constamment le même aspect, puisque la variable x — at y a. toutes les valeurs comprises entre o et /. Mais ce mouvement n'est qu'une simple apparence ; cette onde est composée de molécules qui se remplacent à chaque instant, et Ton peut dire que c'estla figure géométrique qui se meut avec la vitesse a, et non les molécules de fluides qui y sont comprises.

Le déplacement d'une tranche quelconque retombée au repos est

Xudty ou / /(x — at) dt.

-I Jx-l

iio un™ iï.

ou à I f (z) dz en posant x — n( = a. Si donc «lie

intégrale, qui dépend de l'état initial, n'est pas nulle, ii y a un déplacement commun à toutes les trancha.

Or | X (r) ^* = "i évidemment; le déplacement « doue / ty ( z) dz. Ou le retrouve dans les autres cm qii

suivent.

a" Considérons maintenant un point M' pour lequel m ait X < o, et à plus forte raison x — at <^ o. On auradon

et les formules (4) et (5) se réduisent aux termes où entre x -+- al; on a ainsi

On a encore, au signe près, le même rapport consuM entre la vitesse et la condensation ; il est exprimé par !'«• quation

On reconnaît facilement que les valeurs de u et y ne seront difl'érentes de zéro que si l'on a

ou encore