AM

t + al < /, BM'

il résulte de là, comme on devait s'y attendre, que le mm>-

HYDRODYNAMIQUE. 3'il

vement se propage dans la partie ÀX; comme dans la partic BX, avec une vitesse a ; que tout point se meut pendant

le temps -> et que la partie ébranlée, ou l'onde, a une longueur /, en admettant, comme nous le ferons, qu'on ait

I $(z)ds = o; qu'elle est toujours constituée de la

même manière et se déplace uniformément avec la vitesse a

dans le sens des x négatifs.

3° Considérons, en dernier lieu, un point M' entre A

et B, on aura

de sorte que x — at et x -+- at resteront pendant un certain temps compris l'un et l'autre entre o et /, et tous les termes des formules (4) et (5) subsisteront. Mais x ■+- at deviendra ^> / après l'instant pour lequel on aura

at = BM",

et, depuis ce moment, les fonctions de x-\-at seront nulles.

De même, x — at deviendra négatif après l'époque pour

laquelle on aura

at = AM".

Ainsi, on considérera les termes en x -+- ai qui se rapportent à l'onde qui marche vers les x négatifs, jusqu'à ce que le point C soit arrivé en M" en se mouvant avec la vitesse a \ on considérera les termes en x — at qui se rapportent à Fonde qui marche vers les x positifs, jusqu'à ce que le point A, se mouvant avec la vitesse a, soit arrivé en M". Et, par conséquent, si l'on considère les deux parties qui composent les formules (4) et (5) comme exprimant respectivement les vitesses et les condensations dans deux ondes distinctes, et que l'on suppose que chacune de ces ondes se déplace avec une vitesse a, Tune dans un sens, et l'autre dans l'autre, en conservant toujours la même con- II. 7 1

Sa* UIU IV.

stituiiou, "U mira. ;i OÙ instant quelconque, l'état du llmir,

eu plaçant ces deux ondes dans la position où leur roonw-

ment les aura amenées à celle époque, et superposant lu

condensations et les vitesses dans les parties où e\\av

pénétreront, si elles ne sont pas encore entièrement v-

parées.

On aurait les étals antérieurs à l'époque prise pour origine des temps, en faisant marcher respectivement en tau contraire ces mêmes ondes, avec la vitesse a, pendant tu temps égal à l'intervalle qui sépare l'époque ci» qucsiiw de l'origine des temps.

201. Nous venons de voir qu'un ébranlement iniiwl d'une longueur linîe, où la vitesse moyenne est «nllr. donnait naissance à deux on e même longueur, animée*

de vitesses égales et de sens traire. Mais il est posnUi que l'une de ces ondes n'existe îs. La première, par ewnple, qui correspond aux formules (6), disparaîtrait si l'on avait pour toutes les valeurs de z comprises entre o et l,

U n'existerait alors que l'onde qui correspond aux for mules (7). Et de même celle-ci n'existerait pas, et la première subsisterait seule, si l'on avait

Ainsi, pour qu'il n'y ait qu'une seule onde, il est necessjire et suffisant que le rapport de d< (z) à y (z) so«i +aon — «i ou, en d'autres termes, que dans l'étal initial le rapport dr la vitesse à la condensation en un point quelconque de I* partie ébranlée soit -fnou — a.

Mouvement d 'un gai dans un tuyau limité dans un sent. Nous venons de voir quelle est la loi du mouvement

IlYDnODYMAltflQUE. 'Sï'i

dans un tuyau indéfini dans les deux sens. Examinons maintenant la modification qu'elle subit lorsque le tuyau est limité dans un sens et terminé par un plan fixe, ou en communication avec un immense réservoir de gaz soumis à une pression constante, par exemple avec l'atmosphère. Nous discuterons séparément ces deux cas.

202. i° Cas d'un tuyau fermé. — Supposons d'abord le tuyau terminé par un plan fixe, et comptons les x positifs à partir de ce plan, et dans le sens du tuyau.

Nous avons admis généralement que les molécules primitivement en contact avec une paroi y restent constamment appliquées. Ainsi, dans le cas actuel, la section correspondante à x = o aura une vitesse nulle à chaque instant; c'est-à-dire que l'on aura

(i) fa — * P°ur X1=0>

quel que soit t. Cette nouvelle condition devra être jointe à celles qui résultent de l'état initial du gaz qui est donné dans toute l'étendue du tuyau, c'est-à-dire pour toutes les valeurs positives de x. Nous représenterons toujours par i(x) et x(x) 'a vitessc et 'a condensation initiales; ces fonctions ne seront données que pour les valeurs positives de la variable, et sont entièrement arbitraires pour ses valeurs négatives. C'est cette indétermination qui permettra de satisfaire à la condition relative à l'extrémité; car nous avons vu que, lorsque ces fonctions sont données pour toutes les valeurs de la variable, la valeur de <p est complètement déterminée, et on ne peut plus l'assujettir à aucune condition particulière.

La valeur générale de <p qui satisfait à l'équation différentielle sera toujours

(a) <p= F,(* -h <*t) + fil*- — <*t).

Au moyen de culte équation, données pour les valeurs pos connues pour ses valeurs né uni z positif, on en tirera

ce qui fait connaître /pour te la variable.

Et si l'on change zco — --■ l'on suppose encore z positif,

équation qui fera connaître F j tïves de la variable.

Ces conditions peuvent se n d'une manière très-simple. Si tendue de l'axe des .r, les conrl

eu géométrique composé conque des deux qui est située a partie de l'autre qui est situ

HYDRODYNAMIQUE. 3?5

comme nous l'avons déjà vu, par les fonctions <j< et £ qui sont données dans chaque cas particulier.

Celte construction, qui n'est que la représentation des conditions analytiques, pourra toujours les remplacer, et facilitera quelquefois les discussions.

On voit ainsi comment la condition (i), qui exprime l'immobilité d'une tranche du gaz, conduit à la connaissance complète des fonctions F ctfj et par conséquent à la solution de la question proposée.

La valeur de -j- ou de la vitesse u, et la condensation y,

ou î / ' seront exprimées de la manière suivante,

d'après l'équation (2) :

(4) « = F (* + «f ) -h/(x — at)y

(5) «7 = — 1? (x -{- at) + f(x — at).

Ces formules conduisent d'abord à cette conséquence remarquable, qu'à une époque quelconque, eu deux points situés de part et d'autre du plan fixe et à égale distance, la vitesse est la même au signe près, et la condensation est la même. En effet, si dans u on change x en — x et qu'on désigne par ut sa nouvelle valeur, on a

//, = F(— *-+-«/)+/(— x— <?*) = — fix — m)— F(x+*f)=— w,

et de même en changeant x en — x dans ay, on trouve

<i7, = F(— x-\-at)+f{ — x — at)=f(x — ni) — F(x + at)=<iy.

Celle propriété, qui subsiste quel que soit f, exisle pour tz=Oj c'est-à-dire dans l'état initial, et nous insisterons particulièrement ici sur la manière dont on exprime dans le calcul les conditions relatives aux limites des systèmes. L'équation différentielle partielle serait satisfaite dans Je

moimruem <1» gu homogène qui serait renfermé <tn* k tuyau prolongé indéfiniroenl. Or, on petit disposer anVtn» rement de l'état initial de tout l'espace dans lequel mi prolonge le système: et tonte la difficulté est de tram» comment il faut le choisir pour qu'en abandonnant rsstntr le système total à lui -même, sans teni r compte de* confiions physiques qui existaient anx limites, ces condiùow* trouvent remplies d'elles-mêmes à chaque instant. Si Toi peut y parvenir, la question <J" lyslénoe limité rentre du> la question, toujours ] , du système indéfini im

lequel l'état initial est ivui

Dans le cas actuel, il csl de prévoir ce qnelecilcal

nous a anuoncé relativement à l'étal initial qu'il (allait donner au fluide dans le prol ngeunent du tube du rôlr des s négatifs. Eu < , en don lant aux molécules situé» dans des sections équïi de l'origine, des vitesse

égales et de signes contra.,^, . y supposant des condeuwlions identiques, tout est symétrique par rapport à l'origine; et, en supprimant le plan fixe, les molécules qui le remplaceront, étant à chaque instant sollicitées partie forces égales cl contraires, resteront perpétuellement eu repos.

203. Examinons en particulier le cas où l'ébranlement initial ne s'étend qu'entre les abscisses d et rf-t-/. Alon les fonctions F et /sont nulles pour toutes les valeurs positives de la variable, qui ne sont pas comprises entre rfet d-i-l, et, d'après l'équation (3), pour toutes les valeurs négatives non comprises entre — d et — d — ï. C'est « que représente la^/îg. «4, dans laquelle

AB = AB' = il, et BC = B' C = /.

La'partie BC de l'ébranlement va donner naissance à deux ondes animées, l'une, de la vitesse H- a. l'autre, it

HYDRODYNAMIQUE. 3^7

la vitesse — a. La partie B'C donnera naissance à deux ondes qui seront constamment symétriques des deux autres par rapport au point A. Lorsqu'elles seront arrivées Tune et l'antre en A, elles continueront leur marche et se pénétreront en se superposant, d'après le principe démontré généralement.

D'où l'on voit que l'eflet dans le tuyau fermé AX est le même que si Tonde qui marche de BC vers le plan iixe A, en arrivant à ce plan, se repliait sur elle-même, de telle sorte que ses diverses parties, conservant la même condensation et la même vitesse en sens contraire, se superposassent toujours avec les parties correspondantes à la même abscisse et qui marchent encore vers le plan fixe. Et lorsque la seconde extrémité de Tonde partie de BC est arrivée en A, Tonde entière se trouve tournée en sens inverse, et marche indéfiniment du côté des x positifs. C'est en cela que consiste la réflexion d'une onde plane contre un plan qui lui est parallèle. Cet eflet se produit, quelle que soit la longueur de la partie ébranlée BC $ clic peut s'étendre indéfiniment depuis le plan A jusqu'à x = 00 ; elle peut avoir une longueur infiniment petite. Et si Ton trouve avantageux, dans certains cas, de partager l'ébranlement en portions infiniment petites, il suffira toujours de superposer les effets correspondants à chacun de ces éléments, après un temps quelconque, pour avoir l'effet qui correspondrait a l'ébranlement proposé, après ce même temps.

204. a° Cas du tuyau ouvert. — Supposons maintenant que le tuyau soit ouvert en A et en communication avec un réservoir de gaz, indéfini en tous sens, comme par exemple l'atmosphère; nous avons admis généralement que la pression qui a lieu à la surface de communication est toujours la même que celle qui a lieu dans le réservoir, et que nous supposerons constante. C'est cette pression qu'on observe-

«il damnlr gmim tsravca éqwitîbre ; cl y exprime li«j- ■wurii» de la dcatàlé, » partir «le celle «roi correspond j t*t étal deqmlïfare.

OU praé, oaamra, poariMts )<>« points du tuyau.

* = o , .j i ; e! que s

>ons représenterons encore par y-(x), x(x) la vitesse rf la condensation initiales. Ce Mot des fonctions donnes entre X=o, x=so, et complètement arbitraires enW X = o, x = — tu. C'est encore celte in dé termi Dation qui permettra de satisfaire à la condition, relative à rrxlremiir L'intégrale générale de l'équation ( i ) est e

«■)+/(*— at).

et la condition (a) conduit à l'équation suivante, dans liqnelle z est tout à fait indéterminé en grandeur et en signe, et F, /sont encore les denrées des fonctions F„/„

De sorte que si l'on considère les courbes ayant pour cautions

le lieu géométrique composé de la partie de l'une quelconque des deux qui est située du côté des .r positifs, et de la partie de l'antre située du côté des x négatifs, sera symétrique par rapport à l'axe àeajr. Ainsi, au moyen <k l'équation (3), les fondions F, fy qui n'étaient donnée», d'après if ei y, que pour les valeurs positives de la variable,

HYDRODYNAMIQUE. 3^9

sont déterminées pour ses valeurs négatives. Et Ton peut encore remarquer, dans ce cas comme dans le précédent, que la question est la même que si Ton supposait le tuyau indéfiniment prolongé vers les x négatifs, pourvu qu'on donnât au gaz, dans ce prolongement, un état initial représenté par les valeurs de F et f que nous venons de déterminer pour les valeurs négatives de la variable.

Les valeurs de u et y seront représentées par les formules suivantes :

(4) « = F (* + at) -hf(x — «0»

(5) ay = ♦— F(x -f- <it) -hf(* — at).

Si Ton change x en — x dans les équations (4) et (5), on trouve, en ayant égard à l'équation (3) et représentant par "d 7t les nouvelles valeurs de u et y,

//,= F (~jt -h «/)-+-/(— x — at) = f(x— at)+F(x+at)=u>

«7, = — F ( — x -f- at) +/( — x — at) = — /(* — at) -h F(x •+■ at) = — ay.

Ainsi, en deux points quelconques situés de part et d'autre et à égale distance de l'origine, les vitesses sont égales et de même sens, et les condensations égales et de signes contraires.

Cette disposition, qui a lieu à chaque instant, a lieu aussi dans l'état initial. Ainsi, dans le cas d'un tuyau ouvert, le moyen de ramener la question à celui d'un tuyau indéfini consiste à supposer le tuyau prolongé et rempli d'un gaz identique au premier, et disposé, au commencement du mouvement, de manière que deux points également distants de l'origine et de côtés diflerents aient des vitesses égales et de même sens, et des condensations égales et de signes contraires.

ÏOÎi. E\auiiitcti!ï 1 l* particulier ou l'ébranlement ihi

liai donne b nm tiraànf fcnîe BC (,/ig. i5) compii*

entre le* alKCMSiCs r. « 4 — /. Alors les fonction» F. /

soûl imii» iiou! runes les valeurs de la variable qui re

soin lia* cnmpriv.* tulrv fi et el -f- /; et, d'après leqna-

liiir. ";-.. noir icralf* les valeurs négatives non compris

e!llr. — ,-. c: —//—/. Elles sont représentées par I*

couru» tract» sur la tiçnrc. Or, d'après le prinei|>edc$u-

n?nn»ni'ii.. ]« f«ade$ correspondantes à chacun desébran-

t-niexiir I«C. Crî «• propageront avec une vitesse ton-

suï.I' .. lt- brti -Tni tont en s'cloignant de A ne donne n1

iiexi snnrnt remarque particulière. Quant aux deux au-

:«* «» arrïcri*: ensemble au point A el conliuummi

m w-î* n * raperposant dans les points communs.

Ajens ê «ruade extrémité de chacune sera arrivée en A.

-.n-c: Misèrent entièrement séparées, et celle qui

-* it-nar ** C B leis A continuera son mouvement \cn

». j iwixifc «qu'a TinGni. De sorte que dans le tin»

-■,-- et A. Ki réflexion qui se fait en Ce p-im ;

-*.-.,.--:■■ :•■■-.' eiîet de produire cette dernière onde.

■-..-. !-r.::e fonde réfléchie et Tonde incidente .'<--

., : ... .. -eauque faite précédemment, relativement .m\

.,.::- ?u fi.: J« abscisses égales et de signes contraint.

. ; s-.. ' <.n.:e incidente continuant sans altération son

.. .-« i: .'a côté des x négatifs, il .suit de la reminp-

x -i -4» rappelons, que, pour avoir Tonde réfléchi.-, il

.j. m»\ioir que chacun des éléments de Tonde inri-

-m: £-rî»anl en A, se replie sur lui-même avec la v-