r c nui* de telle sorte que la vitesse absolue des m

j^t> * rt*ic la même en grandeur et en signe, t.nul-

m u tfwdcnsation a changé de signe sans changer u-

tarquer que si celle onde réfléchie allait il. irer une ouverture communiquant a\e< un

HYDRODYNAMIQUE. 33 I

réservoir indéfini , elle subirait une nouvelle réflexion suivant les mêmes lois, cl redeviendrait identique avec la première onde incidente. Et cet effet se reproduirait indéfiniment.

Mouvement d'un yaz dans un tuyau limite dans les

deux sens.

206. Lorsqu'un tuyau est limité dans les deux sens, il se passe à ses deux extrémités, ouvertes ou fermées, des effets semblables à ceux que nous venons de considérer. Chaque élément de l'ébranlement donne naissance à deux ondes qui marchent en sens inverse, et vont successivement se réfléchir aux deux extrémités, suivant les lois que nous Venons d'établir. On peut reconnaître ainsi la périodicité de ce mouvement et la durée de la période.

Considérons, par exemple, un tuyau fermé à ses deux extrémités. Un élément infiniment petit de l'ébranlement initial donnera lieu à deux ondes élémentaires. Suivons la marche de l'une des deux. Parvenue à l'extrémité, elle sera réfléchie de manière que la condensation soit restée la même, et la vitesse la même au signe près ; arrivée à la seconde extrémité, elle est de nouveau réfléchie, en conservant la même condensation et la même vitesse au signe près ; elle est donc revenue au même état qu'au nioment du départ. Or, elle reprendra sa position initiale après avoir parcouru, avec la vitesse a, un espace égal à deux fois la longueur du tuyau ; et il en sera de même de tous les éléments de l'ébranlement primitif; et, par conséquent, à ce même moment, l'état du gaz dans le tuyau entier sera identique avec l'état initial. Les étals subséquents seront donc les mêmes que ceux qui ont déjà eu lieu, et ce mouvement se reproduira périodiquement. Si Ton désigne par /

33a LnnE iv.

la longueur du tuyau, la durée de la période sera — h j raisonnement analogue montrerait que, dans le tuyanoovert aux deux extrémités, l'état du gaz redevient encwelr même lorsque l'otide élémentaire a parcouru l'espace il. '

Mais si le tuyau est fermé d'un coté et ouvert de l'utit. 1rs choses ne se passent plus tout à fait de la même minière; comme il faut, pour que l'état du gaz. soit redetrao | le même, que l'onde élémentaire ait subi deux fois la min* espèce de réflexion, et <| i deux extrémités en produi-

sent d'espèces différentes, il s< a nécessaire que cette omtr ait parcouru quatre fois la loi ueur du tuyau, cl, parcoo-

sétiueni, la durée de \a le sera — ■

Ou désigne sous le nom 'ration un petit mouvement

qui se reproduit périodiquement; et l'on reconnaît, Mipta sioue, que le sou qui en est d'au tant plus aigu (pif k

nombre de vibrations faites îs un même temps est plagrand. Il suit de la discussion précédente que le son raidi par un tuyau ouvert ;i une extrémité, et fermé à l'autre. est à l'octave au-dessous de celui que rendrait ud tuyau At même longueur, ouvert ou fermé à ses deux extrémités.

II est bon de remarquer que la durée que nous avons reconnue pour la période est une limite supérieure. Noos avons prouvé qu'après cet intervalle on retombe identiquement sur le même étal du gaz, et généralement on n'y retombera pas auparavant. Mais il est possible que l'état initial soit tel, qu'il se reproduise identiquement avant qw cet intervalle soit achevé; cette période, plus petite, * pourra évidemment être qu'un sous-multiple de la première. IVous ne faisons qu'indiquer ce résultat que nous retrouverons tout à l'heure dans la discussion directe rt complète des trois cas que nous venons d'examiner rapidement.

HYDRODYNAMIQUE. 333

207. i° Cas d'un tuyau formé à ses deux extrémités. — En désignant par / la longueur du tuyau AB (fig* 16) et conservant toujours les mêmes notations, nous aurons à satisfaire aux équations suivantes :

dtù (a) -y- = o pour x = o et pour x = ly

L'intégrale générale de 1 equation'(i) est

<p = F, (x -f- at) +/ (x — /if ).

La condition (2), relative à jc = o, conduit à l'équation suivante, dans laquelle z désigne une quantité arbitraire :

La même condition (a), considérée pour x = l, donnera

Les fonctions F et y*, qui se déduisent, comme nous l'avons déjà fait voir, des fonctions données <(/, £, ne sont déterminées, comme ces dernières, que pour les valeurs de la variable qui sont comprises entre o et /. Les équations (4) et (5) vont les déterminer complètement, et Ton saura alors quel devrait être l'état initial du gaz dans un tuyau indéfini dans les deux sens, pour présenter entre o cl/ tous les mêmes effets qui vont se produire dans le tuyau en question.

L'équation (4) exprime, comme nous avons déjà eu occasion de le remarquer, que si Ton considère les courbes

luiqUUUUIl \JJ LAUMIUL IjU

inenl au peint B. Ce lieu ayar infinité d'autres, distants les quantité l, et situés à droite comme l'indique la figure, I fonctions F ct^'est périodiqu et conserve la même valeur qi nu diminue de il.

Celle propriété importante être déduite des équations (4 dernière on change icn:+l

résultat qui, combiné avec l'éq soît s,

d'où il résulte que la fonction période se rapporte à l'étendue verail semblablement la pério changerait z en z — / dans vi i ait

et, en venu de l'équation ( 4 ),

HYDRODYNAMIQUE. 335

en signe, prouve que la fonction .f est périodique, et que, de môme que pour la fonction F, la période se rapporte a Tétenduc a / de la variable.

Cela posé, on déduira, comme précédemment, de la valeur de o,

u = F ( x -+- ai) +/(* — at) ,

ay = — F (.t -4- at) -h/(x — ai).

Or, il suit de la périodicité des fonctions F et/, que la vitesse et la condensation redeviennent les mêmes en un même point quelconque, à des époques distantes les unes des autres d'un intervalle T, tel que l'on ait

flT = 2/.

L'état du tuyau est donc périodique et se reproduit indéfiniment à des époques distantes les unes des autres de l'in-

2/ tervalle — 9 comme nous Pavions déjà trouvé.

208. 20 Cas d'un tuyau ouvert à ses deux extrémités. — Dans ce cas, la condensation devant être nulle à chaque instant aux deux extrémités, 011 devra avoir, quel que soit t,

—1=0, pour x •= o vt pour *• = /,

ce qui exige que Ton ait, quel que soit z,

(a) F(/-hz)=/(/- 3);

changeant z en z -f- / dans l'équation (2), on obtient

et. d'après l'équation (1),

L'I, d'après l'équation (i),

L'étal du tuyau esl doue enc

.1 doux époques quelconque;

i intervalle égal h —■

209. 3" Cas d'un tujau ft l'autre. — Supposons qu'à l'eJ le tuyau soit fermé, et qu'il soi) avoir, quel crue soit t, \

(r) -£ = ° P0UI

Ces deux conditions conduisent

Ffï/ + «) =

HYDRODYNAMIQUE. 337

La fonction F ne reprend donc pas la même valeur quand la variable augmente de 2/. Mais ces deux valeurs ne diffèrent que par le signe. Donc, si Ton augmente de nouveau la variable de a/, la fonction reprend identiquement sa première valeur. Elle est donc encore périodique, mais la période répond à l'intervalle 4' de la variable.

On reconnaîtrait la même propriété pour la fonction f, en changeant z en z — / dans l'équation (4). Il suit de là que, dans le cas actuel, l'état du tuyau est encore périodique, mais que généralement il ne redevient le même qu'après un intervalle égal à — 9 comme nous l'avions déjà démontré d'une autre manière.

Solutions des questions précédentes au moyen de séries

trigonométriques.

210. Nous allons maintenant traiter la question du mouvement de l'air, ou d'un gaz quelconque, dans un tuyau fini, au moyen d'une méthode très-féconde, et beaucoup plus commode dans la plupart des cas. Elle consiste à déterminer d'abord, non pas l'intégrale générale de l'équation aux différentielles partielles, mais un nombre infini d'intégrales particulières, que Ton assujettit à satisfaire chacune aux conditions relatives aux limites du système. Si Ton a eu soin de préparer les équations de manière qu'elles ne renferment pas de termes indépendants de la fonction ou de ses dérivées, une somme d'intégrales particulières, multipliées respectivement par des constantes arbitraires, est encore une intégrale de l'équation indéfinie, et elle satisfait encore aux équations aux limites si chacune des premières y satisfait. Il ne s'agit donc plus que de déterminer les constantes en nombre infini, que renferme cette intégrale, de manière qu'en faisant f = o on obtienne l'état II. 22