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rn.nl

= (M rus

'ni- 4-Nbuiiw) (ÀsinniHt -+- Bcnsnwt),

A, lï, n ■ ■:, l. rn-i

i elant des constantes arbitraires. Pour si-

nlilinn (*\. fttiftl nnp tnïl f. il faut mu- lï

HYDRODYNAMIQUE. 33p

Désignons par £ une somme relative à toutes les valeurs entières et positives de n$ supposons que A et B changent arbitrairement avec n, et supprimons le facteur M, qui est inutile*, nous aurons une intégrale plus générale de Inéquation (i), satisfaisant aux conditions relatives aux extrémités du tuyau. Celte intégrale est

/iirjf / . annt ^ antct\ <p = 2: cos — — ( A sin — h B cos — - — j •

Si nous différen lions cette expression par rapport à x et t pour en déduire m et y qui donnent la solution de la question, et que nous remplacions par A et B les constantes

Fi t fi ir

arbitraires A — ~5 B — » nous aurons

nnx I arntt ^ annt\

(5) u= — 2 sin — — 1 A cos -— h B on* — - — J <»

y/,. nnjr i 1 . anici . ûnnt\

(6) ay = — 2 cos — — ( A sin — B sin — — 1 •

Si nous faisons t = 0 dans ces expressions, les équations (3) et (4) donneront, pour déterminer A et B, les conditions suivantes :

ni:x

(7) ïBsîll — = -{■(*),

(8) 2 A cos— — = — *x(x).

Pour déterminer les coefficients B, nous développerons la fonction <p (x), qui est donnée de x = 0 à x = 1 seulement, on série procédant suivant les sinus des multiples de x. ty est supposer que Ton ait

et cette condilio

fièrement arbiu usage, à cet clli „„/}«) :

L1VBE IV.

ii j.< vit fitre admise, puisque ^ j) «t eu- Eiii'e en dehors des limites o et /. On fera ?t, de la formule suivante (Cour? d'A-

tW — 7

«l'«.Tor>9fo

i satisfera n la condition (7) en prenant

= -î^Wto-V

Pour satisfaire à formule Je ilévc] multiples de x;

l'équation (8), il faudra faire usage d'unr nppcmcnl où n'entrent que les cosinus dn Ma suppose que l'on ait

i(-')=lW.

C, 1\,U peut »'«„

liot Z est »rl,i„ ploiera, à eel clli

•ujctlir à cette condition, puisque la fniicaire en dehors des limiter 0 et /. Ou i«- ■t, la formule suivante (Cours d' Analyse} .

HYDRODYNAMIQUE. 34 1

Les formules (5) et (6) deviennent ainsi

an a sin

(9) « = j-23in« —

(io) 7 = -2cos// —

r7r* C i \ lira , — J x(a)cos— rfa