cos— — I ^(a)sin— - rfa

oos-y- I x(a)cos— ,/a I . /7//7T/ /• * . /lira ,

On reconnaît immédiatement que si pour une même valeur de t on considère des valeurs de a?, différant les unes des autres de la quantité 2/, les valeurs de u et y qui leur correspondent seront les mêmes. Ces fonctions sont donc périodiques relativement à a:, et la période répond à l'étendue 2/ sur Taxe des x. Si, de même^on laisse x constant, et que

Ton fasse varier t de — « u et y conservent encore les mêmes

valeurs; le mouvement de chaque point est donc périodique, et la durée de la période est — •

Ces formules (9) et (10) sont celles que l'on obtiendrait pour un tuyau indéfini, en partant de l'état initial que Ton trouverait en faisant t = o. Cet état initial indéfini, et qui serait évidemment périodique, tiendrait lieu des conditions des extrémités.

212. Si Ton considère en particulier l'état initial pour lequel la série se réduirait à un seul terme, correspondant à une valeur quelconque /1, on aura ce que Ton appelle un mouvement simple du système. Un état variable simple, dans toute théorie, est celui où le changement, quel qu'il soit, se fait en tous les points proportionnellement à une même fonction du temps. Les rapports sont alors les mêmes k tout instant.

34a LIVRE IV,

Dans les questions que nous traitons, ces étals ne peinent être que de la forme que nous avons choisie, vu que les exponentielles qui constitueraient la seconde forme possible ne satisferaient pas aux conditions des extrémités. Ce monvemenl sera représenté par des équations de ta forme suivante :

Mi /„ anirt , nnitt \

La durée de la vibration est, dans M cas. — au lieu de ■*■

Les valeurs de ri sont nulles pour toutes les valeurs de xqtit satisfont à l'équation

et sont renfermées dans La formule

k étant un nombre entier.

Les points où le gat est immobile dans le tuyau, ou les nœuds, sont donc tous ses points de division en n partie égales.

Les points où la condensation est nulle, et qu'on appelle ventres, seront donnés par l'équation

cos^f = o, d'où * = (»*-*-0*.

ils sont donc situés aux milieux des intervalles successif* des nœuds.

213. a" Cas oit le tuyau est ouvert à ses deux rxtrtmités. — Les équations relatives aux extrémités sont, dan;

HYDRODYMM1QUE. 343

ce cas,

•— i- = o pour x = o et pour x = l.

Les autres équations sont les mêmes que dans le cas précédent, et Ton aura une valeur de <j> satisfaisant a tout, excepté à l'état initial, en prenant

. mr.r / . artirt ^ anire\ tf = 2 sin — — I A sin — h B cos — — j >

la somme £ se rapportant à toutes les valeurs entières et positives de n$ et A, B étant des constantes arbitraires, variant avec n.

On déduit de cette valeur de ^ les expressions suivantes de u et y, qui sont les seules dont on ait besoin et dans lesquelles les indéterminées A et B diffèrent par le facteur — de celles qui entrent dans 9 :

nitx I . . annt ^ annt\ u = 2 cos — — 1 A sin — h B cos—-— j >

. /i7r.r/4 nnitt ^ . ani:t\ a 7 ^r — 2 sin — — I A cos — B sin — — J •

Pour que ces valeurs satisfassent à l'état initial, il faudra que Ton ait, entre les limites x = o et x = /, les deux identités suivantes :

/Î7TX

ZBCOS— — =^(ar),

SA sin — =■— <iyi\x)>

ce qui montre d'abord que les fonctions ty et ^ doivent être périodiques par rapport à x, et que l'étendue de la période est 2/; que, de plus, la fonction ip conserve la même valeur quand on change x en — x, tandis que la fonction ^ prend une valeur égale et de signe contraire, par ce même chan-

gemcnl. Oc, toutes m conditions peuvent être admiio. puisque ers fonctions sont arbitraires en dehors des limita * = o, x = l.

Les deux équations précédentes donnent, pour une ulcat quelconque de m,

La valeur deB, relative à« = o, donnerait dans u le ténor cnnstaii l

<M«Wai

qui n'est autre chose que la valeur moyenne de $[x) <* de w, en négligeant le produit <fy(a), % (oc), ou la vitesse initiale du centre de gravité du gaz renfermé dans le lujw. Si donc ou suppose que ce gaz et le tuyau fini qui doit toujours le renfermer n'aient pas an mouvement uniforme de translation dans l'espace, ce terme est nul, et il suffira de considérer les valeurs de n depuis i jusqu'à l'infini; U solution du problème sera donc donnée par les formules suivantes :

"'jf*-'