Q Cas d'un tuyau ouvert d'un côté et fermé de

Î46 Uf» iv.

l'autre. — Supposons, BB dernier lieu, que le tuyau M ouvert à l'extréinHé située ;i l'origine, et fermé à l'autre. On devra avoir alors

-^ = 0 pour x = t,

et l'on s.iûsléra à toutes les conditions, excepté U celle» Ji l'état initial, en prenant

? = Isi

A«n— -^ -r-Bco* — j,

A et 15 désignant des constantes arbitraires, variant avec a. et la somme S se rapportant à toutes les valeurs entières et positives de ». On déduit de là pour u et y les valeur* suivantes, dans lesquelles A ci B désignent de iioutiII" indéterminées, qui diffèrent des précédentes par le fie-

(ag+Qs-gj

Pour que ces expressions satisfassent à l'état initial, il faudra que l'on ait, entre les limites x = o, x = /, les déni identités suivantes :

Ces équations exigent que les fonctions '{'{x), ^ ( x), considérées dans l'étendue indéfinie de l'axe des x, soient

HYDRODYNAMIQUE. 'i^J

telles que, lorsqu'on y change a? en — x, la première reste la même, et la seconde la même au signe près ; que les valeurs /-t-a et / — «, prises pour jr, donnent pour ty{x) des valeurs égales et de signes contraires, et pour x(x) des valeurs égales et de même signe; et qu'enfin ces fonctions soient périodiques par rapport a x, l'étendue de la période étant \l. Ces conditions peuvent être admises, puisque ces fonctions ne sont données qu'entre x = o, x = /, et cet état initial assurerait les conditions des extrémités en supposant le tuyau indéfini dans 1rs deux sens et le gaz entière* ment libre.

I^es valeurs générales de A et B, propres à satisfaire aux équations précédentes, sont

(2/*-+-i)ira

y ( a ) cos a a,