CM

<|ui sont représentées parla f noie

lnl-l '

k désignant on nombre entier. Les distances des noeuds i l'origine sont donc respectivement

Sit+I an-t-i 111 -+- i "* '

ils sont distants les uns des autres de , et, par conséquent, à partir dn premier, on a comme une suite de tuyaux d'une longueur égale à » et dont les deux n-

Irémilés seraient immobiles et pourraient, par conséquent, être considérées comme fermées.

Les ventres ont pour abscisses les racines de l'équation

HYDRODYNAMIQUE. 349

ces racines sont représentées par la formule suivante, dans laquelle h désigne un nombre entier indéterminé :

Les distances des ventres à l'origine, dans toute l'étendue du tuyau, sont donc respectivement

Ce sont encore les points milieux entre les nœuds succès-

2/ sifs: ils sont distants les uns des autres de > et le gaz

compris entre deux ventres consécutifs est dans le même cas que s'il se trouvait dans un tuyau ouvert aux deux

bouts, qui aurait pour longueur

Du mouvement dans un gaz indéfini dans tous les sens.

217. Considérons maintenant les petits mouvements des molécules d'un gaz homogène indéfini dans tous les sens; nous aurons l'équation précédemment démontrée

V ' eit> \dr> •//' <& )

Il n'y aura, dans ce ras, aucune condition aux limites, puisque le fluide s'étend à l'infini dans tous les sens; mais il faudra toujours satisfaire à l'état initial, ce qui exige que

j* -r-i "T" et -r- deviennent des fonctions données arbi-

dx dy dz ai

trairement des variables x, jr, z, lorsqu'on y fait t = o. Or, les trois dérivées partielles d'une fonction x,^, z étant données, la fonction elle-même est connue à une constante près dont il est inutile de tenir compte dans la question ac-

35(i Livre iv.

luellr; d'où il sait qne l'état initial clam donné, on en

les îali-urs de s et -i pour t = o. Ainsi, en désagnm ne

F cl /de» fonctions arbitraires de x, a. s, les raniitîi» de Télal initial seront exprimées par les équation)

!») Y=f'tJ,'\* ^ = F,*,^,a). pour r = ft;

la question se réduit donc â satisfaire aux équatîwK (n et (a). Crst ce que l'on fera an moyen de la formule savante, qui a été donnée par Poisson :

' $*dija J^ ** \n- a/ sio • un f

Les intégrations, par rapport à 9, sont faites entre tes lirai» o m t., et celles par rapport à £, entre o et u. Celle *«!<■ deo peul encore être inscrite comme il suit :

l 5= -=- C /rfuF. J+/IICOS i, j'-l-o/cosC :+oi(«î

| -4- t— — Qf(/w/(a--r-»rcO»i, .»■ -t- afco%%, z + al COS7 ,

Wu désignant un élément infiniment petit de la îorfw sphérique décrite de l'origine comme centre avec uu raton égal à l'unité; <z, S, y désignant les angles formés par le rayon vecteur mené de l'origine à un point de cet élément. et les sommes § se rapportant» tous les éléments de la surface de la sphère.

Cette importante formule est d'une application très-coiamode lorsque les fonctions F et J sont données, cornac dans le cas actuel, pour toutes les valeurs réelles des variables -T, y, s; maïs si le fluide était limité, les conditions

HYDRODYNAMIQUE. 35l

particulières qui en résulteraient deviendraient très-difficiles à exprimer, et Ton serait obligé de prendre d'autres formes pour l'intégrale de l'équation (i). Nous ne nous occuperons pas de ce dernier cas. La formule (3) donne la solution complète de la question, puisqu'elle donne la fonction Q, et par conséquent la condensation et les composantes de la vitesse en un point quelconque et à une époque quelconque. Nous nous bornerons à en déduire la vitesse avec laquelle un ébranlement quelconque se propage dans le fluide, et, pour que les résultats soient d'une interprétation plus facile et plus claire, nous supposerons que cet ébranlement n'ait lieu que dans une portion infiniment petite dans tous les sens, dans l'intérieur de laquelle on ait pris l'origine des coordonnées.

Dans ce cas, les fonctions,/* (.r, y, z), F (x, y* z) seront nulles pour toutes les valeurs de x,y, z qui ne seront pas les coordonnées de l'un des points de la partie ébranlée, coordonnées qui seront toutes infiniment petites. Si donc nous posons

(5) x-t-ateosa = x?9 y -f- ofcos6 -=/', s-hflfcos7 ~z',

la valeur de <p ne sera différente de zéro pour le point M, qui a pour coordonnées x,y, z, que lorsque la valeur de t sera telle, que a/, y\ z' puissent être, pour des valeurs convenables de a, 6, y, les coordonnées de points situés dans la partie primitivement ébranlée; et ces valeurs de a, 6, y sont les seules qu'il y ait à considérer dans les intégrales définies qui entrent dans l'expression de <p.

Il est facile de se représenter géométriquement les directions correspondantes à ces valeurs de a, 6, y ou de 0 et <f, qui ne donnent pas des éléments nulsdans les intégrales. En effet, le point dont les coordonnées sont les valeurs de x', y\ z données par les équations (5) se construit en portant, à partir de M, une longueur égale à al sur la direction corres-

pondanie >vx angles *, S, y. Si donc du point M comme centre avec tu pour rayon. In pomsi ta surface qui se trouveront compris dans 1' ' primitif seront les seuls pour lesquels 1rs fonrtions/rtF ne seront pas milles ; et les directions des rayons «eclfari menés du point M à ces divers points sont les seoir* enquelles il soit nécessaire (T avoir égard. D'où l'on «ait la fonction ç sera nulle jusqu à ce que la surface de la as» qui a M pour centre, et pour rayon la variable ai, o» raenre à pénétrer dans l'ébranlement primitif; et an A redeviendra nulle lorsque cette surface, dont le rajout** uniformément, cessera de le traverser; et à chacune a* époques intermédiaires, la seule partie de l'ébranlcmenl >p détermine la valeur de y est celle qui se trouve sorla tp^r* de rayon at.

La conséquence immédiate de celte proposition est ébranlement infiniment petit dan» tous les sens se propu* dans toutes les directions avec une même vitesse ég»U* «. puisque, au boni du temps t, les points situés à la distance* commencent à se mettre eu mouvement.

La durée précise de 1 ébranlement en un point qnttconque N est déterminée par les denx sphères décrites de ce point comme centre, et qui sont telles, que la par» ébranlée soit tout entière hors de la première et tout enliètt dans la seconde, en avant un point commun avec lasnrfiw de l'un et de l'autre.

La vitesse de propagation du mouvement dans an fi» homogène, indéfini dans tous les sens, est donc la même que dans un tu y an cylindrique.

De F équilibre et des mouvements infiniment petits d'un fit élastique.