L'analogie de cette question avec les précédeoi

HYDRODYNAMIQUE. 353

nous a déterminé à la placer à la suite, quoiqu'elle ne se rapporte pas au mouvement des fluides.

Jusqu'ici nous avons considéré les (ils comme inextensibles, ce qui est purement fictif; nous supposerons maintenant qu'ils soient susceptibles de s'allonger sous l'influence de forces qui y produisent une tensiou quelconque , et nous resterons dans des limites telles, que le fil ne se rompe pas et reprenne sa première longueur quand la force cesse d'agir. Dans ces limites, l'expérience démontre que l'allongement est proportionne] à l'accroissement de la tension.

Nous appellerons état naturel du fil celui dans lequel il se trouve quand il n'est sollicité par aucune force. Considérons, dans cet état, une longueur d'un fil homogène, égale à l'unité, et produisons dans ce fil une tension égale à l'unité de force; il s'allongera d'une certaine quantité <7, qui est une donnée nécessaire dans toutes les questions auxquelles il peut donner lieu. Si une tension égale à l'unité était en dehors des limites dont nous avons parlé ci-dessus, on ne la produirait pas réellement dans le fil; mais, pour l'uniformité des notations, nous supposerons toujours que l'on donne la quantité â dont s'allongerait l'unité de longueur du fil, soumise à une tension égale à l'unité, en suivant les mêmes lois que dans les limites de son élasticité. Seulement on devra examiner, dans chaque application particulière, si Ton ne sort pas de ces limites, auquel cas les résultats de l'expérience ne pourraient s'accorder avec ceux qu'indiqueraient nos calculs.

219. Soit AB (/îg. 17) un fil élastique homogène, dont les extrémités A et B sont fixes, et qui éprouve une tension t lorsqu'il n'est soumis à aucune action extérieure, et que, par conséquent, tous ses points sont dans la droite AB ; soit e la masse de l'unité de longueur. Prenons le point A pour origine d'axes de coordonnées rectangulaires, et don- II. 23

354 LIÏKK IV -

nous ;i lave de* .r la direction Alt, Désignons pi \.VJ les composantes de U force appliquée à lin» I« pninis iil. et rapportée ii l'unité de nuw: : la question estdeiterminer, pour un point quelconque du lîl, lotalaintJ ■M trois coordonnées , qui seront constantes dans Ir <o ili l 'équilibre, et fondions du uni ps t dans le ras ilu m» ventent.

Considérons un poiut quelconque I* du lîl. dans I>ui primitif où il no l'ana sur lui aucune action ciicriewr Sous l'influence de» forces X. V, Z qui agissent sorioui» points, il y aura u» déplacement général : toit M Up«tion, à un instant quelconque, du point matériel siluép niitiveuicnt en P; nous allons commencer par fliwdw l'expression générale- du la tension du (]) à ce point M. f*« cela, considérons de même un second point O. silaétia» l'état primitif à une distance infiniment petite 3 dcP. « qui se trouve en N à l'instant où P est en M ; l'excti'VI' longueur MJV sur PQ, étant divisé par PQ ou a, iWsffi l'allongement, rapporté à l'unité de longueur, qu'asnbîlf lîl dans le voisinagedu point P; et il sera facile d'en dédmir l'accroissement de la tension.

Désignons par .r l'abscisse AP du point P dans J'cUtpri mitif, et parx -h u, /, s le* coordonnées de M; les in» quantités infiniment petites u, y, x seront les inconw» de la question \ elles seront des fonctions de x dans ko» de l'équilibre, et des fonctions de x e 1 1 dans le cas do m» veinent; x est constant dans le mouvement du moine pno* matériel, et change quand on passe d'une molécule à « autre.

La différence MN — PQ étant très-petite par rapport» PQ, on ne pourra négliger dans son expression que la ! quantités très-petites du second ordre par rapport à PQ. Or, en ne considérant que les cas où les angles des divers éléments du fil avec l'axe des x restent très-petits, on pourra ,

HYDKODYNVMI^IJE. 355

négliger la différence entre MN et sa projection sur Taxe des x -, et, par conséquent, si Ton désigne par U ce que devient u au point Q, on pourra écrire

MN — PQ = w' — «.

Mais 1/ n'étant antre chose que u dans lequel on remplace X par x -+- a, on aura

en négligeant les ternies infiniment petits par rapport au premier. En divisant cet accroissement par a , on aura, d'après ce qui a été dit, rallongement positif ou négatif, rapporté à l'unité de longueur, qu'a subi le fil au point dont l'abscisse est x dans l'état primitif; l'expression de cet allongement est— • Or, l'accroissement de longueur étant proportion nel a l'accroissement de tension, ce dernier aura pour valeur y—? et, par conséquent, si nous désignons par

T la tension qui a Heu au point M à un instant quelconque,

on aura

1 du

T=tH

^ S dr

Connaissant maintenant l'expression générale de la tension, on suivra la même marche que dans le cas des fils non élastiques. On considérera un élément infiniment petit MN, et Ton cherchera d'abord toutes les forces extérieures qui agissent sur lui. Ces forces sont les tensions en M et N, dirigées en dehors de l'élément, et les forces X, Y, Z dont la valeur n'a pas changé sensiblement par le déplacement infiniment petit des points; ces dernières donneront pour l'élément PQ, et, par conséquent, pour MN, les trois composantes

acX, stîY, asZ.

Soient maintenant À, u, v les angles que fait avec les axes

Or, soit qi

0 l'on considère

ou cuoime variable, le mouvei

sera toujours

le même que si

et qi"! toutes

les forces qui 1<

quées. D'aill

BOTS, le raouvec

ilillère aussi

jteu qu'on voudi

équations du

mouvement de c

considérées r

Dmrae ne différât

rf.T COSÏ + ai!

r/.TcO>fH-i-«tl

Si 1 on divise Inus les termes qu'on passe h la limite, les pi respectivement les dérivées, ] quantités

T cos 1 , T cos j

Or, nn pourra d'abord remplac les quanti lés très-petites du secc

HYDRODYNAMIQUE- 357

pourra réduire T cosp, T cos v à r cosju, r cos v. Si maintenant on désigne par dy, dz les différences des coordonnées jy z des deux points infiniment voisins M, N, et par dx la différence PQ de leurs x, on aura

dy dz

COS a =: > COS y =r » .

p MN MN

et comme MN ne diiïere de PQ ou dx que d'une quantité infiniment petite par rapport à dx, on pourra poser

dy dz

COS a =r -— -j COSv = — -*

or a*

d'où il résultera

r/.Tcosfx f/*^ ^/.Tcosv r/3S

</r dx2 dx dx-

et les équations du mouvement du fil seront

dû

t dx2

fit2

d'y dx' '

d'z dp

Les équations d'équilibre du 61, sous l'action des forces X, Y, Z, supposées indépendantes de f, seront donc

Si les forces X, Y, Z sont nulles, ou fonctions de t et x seulement, les équations (i) montrent que les fonctions m, y, z peuvent être calculées indépendamment les unes des

autres. Ain»» le mouvement longitudinal, déterminr pi sera indépendant du mouvement transversal, ilémot

par > rt a.

Si le» force* X, Y,

ni nulles, le* équation* (i) »r t*

t -Ix-

mit s sont toutes les trois «le niéaif! forme que relloqm cl vteriai lient le mouvement d un gaz dans un luvan nfindiique, et elles douneraient lieu à des questions analojae a celles que nous avons résolues arec détail dans la tWonr du mouvement des gt». On trouverait ainsi que la vitest

de propagation c - dans le

s le sens longitudinal est t/j-» eltpi'oV s perpendiculaire. Ou trouverait encore

que la durée des vibrations longitudinales du fil ayant la longueur l est txl\oe, el l'on voit qu'elle est indépendant de la tension du Gl ; la durée des vibrations iransiersun

sera a/

Elle c

n dépendante de S.

Vibrations tongitudinales ties verges.

220. On peut remarquer que l'équation qui détermine ■ a été obtenue sans supposer que le fil fût flexible et d'uni' petite épaisseur. Elle aurait lieu, par conséquent, pour cm verge élastique dans laquelle on ue considérerait que A» mouvements longitudinaux, qui seraient les mentes pour

HYDUODYNAMIQI E. 35o,

tous les points d'une munie section transversale. L'allongement $ que subit l'unité de longueur, sous l'action d'une force égale à l'unité, variera en raison inverse de Taire de la section transversale: mais la niasse e de l'unité de longueur variera proportionnellement à cette même aire; de sorte que le produit $e sera indépendant de l'épaisseur de la verge.

Lorsque les extrémités de la verge seront fixes, la durée

des vibrations longitudinales sera toujours a/y'J*, comme nous l'avons trouvée tout à l'heure dans le cas du iil élastique. Mais on peut encore se proposer de déterminer le mouvement de ces différents points, lorsque ses deux extrémités seront libres, ou lorsque l'une sera libre et l'autre fixe.

La tension de la verge sera invariable à l'extrémité libre,

. n j » . du

et 1 on devra, par conséquent, avoir constamment — == o

en ce point. Ces deux nouvelles questions n'offriront pas plus de difficulté que la première, où l'on a supposé les deux extrémités ûxes. On trouvera que si les deux extrémités sont libres, la durée des vibrations longitudinales est la même que si elles sont toutes deux fixes; mais que, si Tune est fixe et l'autre libre, la durée des vibrations est double. Il y a donc une analogie complète entre les vibrations longitudinales des verges et celles des gaz renfermés dans des tuyaux cylindriques ; une extrémité fixe de la verge correspondant à une extrémité fermée dans le tuyau, et une extrémité libre à une extrémité ouverte.

Des petits mouvements d'un système quelconque de points.

221. Considérons un système quelconque de points assujettis à des liaisons exprimées par des équations entre leurs coordonnées, et dans un état d'équilibre stable, sous Tin-

ous allons nous proposer de i en fonction du lemps, elde rei générales dont ils jouissent.

Soient x, y, z les coordt points du système a un insta valeurs daus la position d'ét] point; posons

a, ê, y seront des quamilés le temps, et dont dépendra à cl

Nous aurons de même, pour t

et ainsi de suite pour tous les au Soient X, Y, Z les composant point m; X', Y', Z' celles de 1 ainsi de suite. Enfin, soient

les équations données entre 1 x',yy.... On demande les étjuai quantités Irès-peliles or, 6, y, s temps /.

HYDRODYNAMl^LE. 36 1

puissances de a, ê, y,. . . . En observant d'ailleurs que les coordonnées a> fi, c, . . . , satisfont à ces mêmes équations,

on aura ainsi, en désignant par — » -tt-*'"* les dérivées par

rapport à or, j , . . . , dans lesquelles on remplace jt, > , . . . , par a, fi,. • . ,

</L rfL, dL rfL , da ^ db ^ de ê^da'

dto dM„ dM r/M ,

</N r/N r/N rfN , rfo «6 r/r ' da

Désignons par A, B, C, A', . . ., les valeurs des fonctions X, Y, Z, X'. . . dans les positions d'équilibre de tous les points; on aura, dans une position voisine quelconque,

rffl f/6 r/c ' <.V

Y =B +-ra + -7r6 + -r7 */« «6 ac

L'équation générale qui détermine le mouvement du système sera, en observant que Ton a

lit* ~"dF' Ht* "~"~^^'",,

| +(/ — /« — '- )oz)

Dans ces équations (5) les eo<

des équations (a) «le quantités

</L rfL <V=L dx da da'

et de même des autres. Les i certain nombre de à en fondit resteront entièrement arbitraire:

teront ces derniers dans ces fon poser en deux parties : Tune iin taisant a — a, 0=0, etc., et l'ai renient les quantités très-petites à la première [larlie, on aurait des $ relatifs à la position d'équi Cela posé, si l'on substitue da des équations (5), il faudra égal tous ceux qui resteront et serot Mais il est facile de voir que ces joui s être réduits à deu\ parties

niùme que si les forces X, Y, Z,

HYDROnYMÀMIQUE. 363

du ils de ces dernières quantités entre elles étant toujours négligés. Mais la première partie est nulle dans chacune de ces équations en vertu de l'équilibre ; il ne reste donc que

la seconde, dans laquelle les quantités a, 6, y,..., -7-7'

— r > • • • entrent linéairement a tous les ternies.

dt2

Les équations ainsi obtenues devront être jointes aux équations (2); ces dernières déterminent un certain nombre des inconnues a, o, y, a',... en fonctions linéaires des autres ; et si Ton suppose qu'on élimine ainsi celles dont les indices sont les plus élevés, et qu'on résolve ensuite les équations restantes, par rapport aux dérivées secondes, on arrivera définitivement à un système d'équations de la forme suivante, en même nombre que les inconnues

dJ0L

v ' 1 -7-7 = />« + /^+ Ih't H- />3a -h . . . ,

= «i'a-h jj/,6 -h #w'27 -h w'jx' 4- .. . ,

222. Il sera quelquefois utile d'exprimer les quantités a, 6, y, a',... au moyen d'autres variables indépendantes ity V, iv,... j très- petites comme les premières, et il est facile de reconnaître que les équations en u, **, tv,..., seront de même forme que les équations (6) ; car les expressions des quantités a, 6,... au moyen de //, e, w,... ne renfermeront que des termes où entreront les premières puissances de ces dernières; et si Ton substitue ces expressions et leurs

.W\ L1YHE IV.

dérivées secondes [wr rapport â t dana II-. ■ ■■

am:i ilt.- nouvelles équations linéaire» qui douncn

L, * ,... des expressions renfermant liué.iii

(uus leurs termes les quantités u, v, \v,....

223. Superfiosilion des mouvement* . — La f( équations (G) conduit à une conséquence irès-iui]

On reconnaît immédiatement nue si plusieurs Je valeurs Je a, ê, y,... y satisfont séparément l'on ajoute ensemble toutes les valeurs de a dans i renia systèmes; que l'on ajoute de mPme i les valeurs Je S, et ainsi Je suite, On formera uu système qui satisfera aux mêmes équations. (Juai initial des points Jausle mouvement représenté pa nier système, on voit qu'il résulte de la superpoétats initiaux correspondants aux systèmes par lie]? Jire que les composantes Jes déplacements et des parallèlement aux ânes, Jans ces derniers, s'ajouli briquement pour former les composantes relatives système. Celte addition des composantes revient à position des déplacements et des vitesses suivant I relatives au\ forées, ce qui ne présentera jania difficulté, quel que soit le système des coordonnées

Ainsi, la superposition Je plusieurs états initiaux mine un mouvement tel, que le Jéplacement des une époque quelconque résulte de la superposition qui, à la même époque, s'observeraient dans les menls correspondants aux étals initiaux partiels.

El, par conséquent, lorsqu'un système de poin jellis â des liaisons quelconques, et soumis à l'a< forces quelconques, esi écarté infiniment peu a?ai don d'équilibre stable, puis abandonné à lui-mi déplacements de ces différents poinis :i un i

HYDRODYNAMIQUE. 365

que pourront toujours être considérés comme résultant de la composition de ceux que Ton observerait à la même époque dans d'autres mouvemeuts du même système, en nombre quelconque, et assujettis à cette seule condition, que la composition de leurs états initiaux, sous le rapport des déplacements et des vitesses, donne pour résultat l'état initial proposé.

224. Application au pendule conique. — Pour faire comprendre tout de suite l'utilité de ce principe, nous allons en faire l'application à un cas très-simple, que nous avons déjà traité par une autre méthode.

Considérons un point matériel pesant, assujetti À rester à une distance constante d'un point fixe, et que Ton écarte infiniment peu de la verticale menée par ce point, en lui imprimant une très-petite vitesse horizontale. Ce problème a été résolu dans les nos 272 , 273 du premier volume de cet ouvrage ; nous emploierons les mêmes notations pour la nouvelle solution que nous allons en donner.

Nous prenons pour origine le point fixe A (fig* t8), pour axe des z la direction de la pesanteur, et nous ferons passer le plan des x, z parla position initiale ÂB du pendule. Soient M la position du point matériel à une époque quelconque, P sa projection sur XY, C celle de B. Posons

BAZ = a, MAZ=Ô, PAX = ^, AM = «, AP = r,

et désignons par k la vitesse initiale.

Nous ramènerons la question à deux autres plus simples eu décomposant l'état initial dans les deux suivants. Dans le premier, nous supposerons le point matériel placé en B sans vitesse*, et, dans le second, nous le supposerons dans la verticale AZ, et animé de la vitesse initiale donnée. La composition des déplacements à une époque quelconque, dans ces deux mouvements indépendants l'un de l'autre,

366 lava* ir.

fera connaître le déplacement cherché du pont M poarh même époque.

Si, dans le premier mouvement , nous ôViignoi ptr f l'angle variable formé par le pendule arec AZ» nom ara (n° 261, tome Ier), au degré d'approximation auquel wm nous arrêtons,

Dans le second mouvement, soit «s l'angle formé par le padule avec AZ, et supposons que la direction de l'aie é» j ait été choisie de telle sorte que la vitesse initiale k porte k pendule dans l'angle ZAY, correspondant ans valeun poati vas de g> \ nous aurons alors

(*) o.==4=;siB.ri/^=6sin.f%|/£,

en posant-- = 61.

Les équations (a) et (&), faisant connaître la position du point à chaque instant, déterminent toutes les circonstance* de son mouvement.

225. Si l'on veut connaître les coordonnées rectangulaires du point M, il faudra calculer son oc au moyen <k l'équation («), et son y par l'équation (&). La troisième coordonnée ne diffère de / que d'une quantité dn second ordre. On la déduirait des deux premières au moyen de l'équation de la sphère; mais il est inutile de s'en occuper.

Or, on a

.r = /sinç, r = /sin«,

ou, eu négligeant les quantités très-poli les du troisième ordre,

HYDRODYNAMIQUE. 367

On aura donc d'abord

(r) x=zlxco*.ti/j, ^ = /6sin.f t/£,

cl, comme tangvD = --> il en résultera

tang\J» = -tang

La valeur de /*, ou AP, se déduit des équations (c), en observant que r1 = x* -H j"1 ; il en résulte

r5 = /M a»cos» . r iA 4- C» sin' . t \J ~ J .

On eu déduira la valeur de l'angle 0 dont le sinus est -; on obtiendra aiusi

9' = a'cos'.f i/£ -f-tfsin'./t/É-

Enfin, si Ton veut connaître la projection de la trajectoire sur le plan x, y, il faudra éliminer t entre les équations (c), et Ton trouvera

ellipse dont les demi-axes sont /a, /S.

Tous ces résultats coïncident avec ceux qui avaient été obtenus dans les numéros déjà cités du premier volume. Il serait très-facile de généraliser cette question sous plusieurs rapports.

Ainsi, d'abord, on pourrait supposer la vitesse initiale dans une direction quelconque sur la surface de la sphère. On la décomposerait alors eu deux autres, Tune horizontale, l'autre dans le plan vertical passant par la position

368 livbe ir

initiale. On aurai l alors à considérer deux mon simple* qui ne différeraient des précédents qn dans l'étal initial de l'un deux il y aurai! à la fois ment et vitesse.

Si le point pesant, au lieu d'être siloé était sur un ellipsoïde ayant un de ses axes prÎDci| vanl la verticale, ou décomposerait le déplacement la vitesse initiale en deux autres, parallèles aux pi cipaux. On chercherait alors le mouvement résuli placement et de la composante de la vitesse, para II l'un des plans; re qui ramènerait à un cercle osculateur de cette ellipse principale. On ebe ensuite le mouvement sur le cercle osculateur de section, d'après le déplacement et la composante tesse parallèlement ausecond plan. Ou sérail à deux mouvements simples, que l'on composerai dans le cas précédent.

Enfin, si le point pesant était situé sur une surf conque, et très-peu écarté du ]>oint où le plan ta horizontal, on remplacerait cette surlace par un passant par ce point et ayant ses sections priai même courbure et de même direction que celles d face en ce même point; et le problème serait le n le précédent.

226. Du cas où l'on introduit lie nouvelles /< Nous avons obtenu lus équations (6) en subi que les points du système aient clé dérangea de |,.u, d'équilibre, et qu'on leur ait comiuuimj. tesses initiales. Mais on généraliserait la question duisanlde nouvelles forces, susceptibles de neprod des déplacement? très-petits. C'est ce que nous all< maintenant, en supposant toutefois que ces forces s dépendantes du temps ainsi que des quantités or, S.

[nantîtes,*, S, y

HYDRODYNAMIQUE. 36o,

arrive, dans ce cas, à des résultais généraux qui méritent d'être remarqués.

Il est facile de voir d'abord que les équations différentielles de ce nouveau mouvement ne différeront des équations (6) que par l'addition de termes constants. Eu effet, il faudra dans l'équation (4) augmenter X, Y,Z, . . ., des composantes respectives des nouvelles forces; et, en continuant le calcul comme précédemment, on voit que les seconds membres des équations (6) se trouveront seulement augmentés de termes qui renfermeront chacun une de ces composantes au premier degré.

Les équations différentielles de la question actuelle seront donc

d2* rr

(it2

rf»a'

— - = H'-r-'"'*-+-m'i6 -+-..., dû1

Ces équations feront connaître a, 6, y, . . . en fonction de/ ; et les constantes arbitraires seront déterminées par l'état initial. Elles peuvent aussi faire connaître le nouvel état d'équilibre du système, après l'introduction des nouvelles forces. En effet, il suffit de supposer a, S, y, . . . constants dans les équations (7 ); leurs seconds membres se trouvent alors égaux à zéro, et donneront les valeurs cherchées des déplacements de tous les points, qui conviennent au nouvel équilibre. ^

227. Les équations (7) peuvent être ramenées à la même II. :».{

368 Livms it.

initiale. On aurait alors i considérer deux moovçiatab simples qui ne différeraient des précédente qu'en ce <pe dans l'état initial de l'un denx il y aurait à la Ibis déplacement et vitesse.

Si le point pesant, au lien d'être situé sur une ipMrc, était sur un ellipsoïde ayant un de ses axes principaux savant la verticale, on décomposerait le déplacement initsalet la vitesse initiale en deux autres, parallèles aux plans principaux. On chercherait alors le mouvement résultant da déplacement et de la composante de la vitesse, paréJUleaiati l'un des plans; ce qui ramènerait à un mouvement or le cercle oscillateur de cette ellipse principale. On chercherai ensuite le mouvement sur le cercle osculateur de la seconde section, d'après le déplacement et la composante de la fitesse parallèlement au second plan. On serait ainsi ramené à deux mouvements simples, qne l'on composerait comme dans le cas précédent.

Enfin, si le point pesant était situé sur une surface quelconque, et très-peu écarté du point où le plan tangent est horizontal, on remplacerait celte surface par un ellipsoïde passant par ce point et ayant ses sections principales de même courbure et de même direction que celles de la surface en ce même point; et le problème serait le même que le précédent.

226. Du cas ou Von introduit de nouvelles forces. — Nous avons obtenu les équations (6) en supposant seulement que les points du système aient été dérangés de leur position d'équilibre, et qu'on leur ait communiqué certaines vitesses initiales. Mais on généraliserait la question en introduisant de nouvelles forces, susceptibles de ne produire que des déplacements très-petits. C'est ce que nous allons faire maintenant, en supposant toutefois que ces forces soient indépendantes du temps ainsi que des quantités a, 6, 7,.... On

HYDRODYNAMIQUE. 37 1

De là se déduit ce théorème remarquable et simple :

Lorsqu'un système quelconque de points est très-peu dérangé d'une position d'équilibre stable, et qu'on y introduit, en outre, de nouvelles forces constantes et trèspetites, le mouvement de chacun de ces points par rapport à sa nouvelle position d'équilibre, sous F influence des premières et des secondes forces réunies, est le même que celui que ton observerait par rapport à la première position d'équilibre, si l'on donnait au système un état initial qui fût le même, par rapport à cette position, que F état initial proposé est par rapport à la seconde position d'équilibre.

Ce théorème, étant indépendant du nombre et des distances mutuelles des points, subsiste encore lorsque leur système peut être regardé comme continu. Il aura donc lieu dans tous les petits déplacements des fluides ou des solides élastiques, et, par conséquent, dans toutes les questions que nous avons traitées précédemment.

228. On peut, à priori, se rendre compte de cette proposition, à laquelle un calcul très-simple vient de nous conduire. Nous remarquerons d'abord que, le nouvel état d'équilibre du système après l'introduction des nouvelles forces étant très-voisin du premier, les équations qui détermineraient le mouvement résultant d'un dérangement par rapport à ce nouvel état, ne différeraient pas des équations (6); caries coefficients ne pourraient avoir varié que de quantités de l'ordre de «, 6, . . . , et ces variations ne produiraient dans les équations que des termes de l'ordre de ceux qui ont été négligés. De sorte qu'un même dérangement des points relativement a lune ou l'autre de ces deux positions d'équilibre donnerait lieu, par rapport à elles, a des mouvements respectivement identiques pour chaque point : ce <|ui démontre le théorème précédent.

Dans le cas particulier où il n'y aurait pas de dérange-

;i-i. uvmt iv,

tiiriiut i[ni' le-. i:pia lions (6), on posant

«,, t,. /,,-.. éiant des constantes déterminées par 1