L-qnal

Los è(]Ui'ilions (7} deviennent alors, par la nibiiiiuii'ni 1! valeurs île s- ... . . données par les vqtiaiions (Si,

HYDRODYNAMIQUE. 37 1

De là se déduit ce théorème remarquable et simple :

Lorsqu'un système quelconque de points est très-peu dérangé d'une position eT équilibre stable, et qu'on y introduit , en outre, de nouvelles forces constantes et trèspetites, le mouvement de chacun de ces points par rapport à sa nouvelle position d'équilibre, sous T influence des premières et des secondes forces réunies, est le même que celui que ton observerait par rapport à la première position d'équilibre, si l'on donnait au système un état initial qui fût le même, par rapport à cette position, que Vétat initial proposé est par rapport à la seconde position d'équilibre.

Ce théorème, étant indépendant du nombre et des distances mutuelles des points, subsiste encore lorsque leur système peut être regardé comme continu. Il aura donc lieu dans tous les petits déplacements des fluides ou des solides élastiques, et, par conséquent, dans toutes les questions que nous avons traitées précédemment.

228. On peut, à priori, se rendre compte de cette proposition, à laquelle un calcul très-simple vient de nous conduire. Nous remarquerons d'abord que, le nouvel état d'équilibre du système après l'introduction des nouvelles forces étant très-voisin du premier, les équations qui détermineraient le mouvement résultant d'un dérangement par rapport à ce nouvel état, ne différeraient pas des équations (6); caries coefficients ne pourraient avoir varié que de quantités de l'ordre de «, 6, . . . , et ces variations ne produiraient dans les équations que des termes de Tordre de ceux qui ont été négligés. De sorte qu'un même dérangement des points relativement k Tune ou l'autre de ces deux positions d'équilibre donnerait lieu, par rapport à elles, a des mouvements respectivement identiques pour chaque point : ce <|ui démontre le théorème précédent.

Dans le cas particulier où il n'y aurait pas de dérange-

atwn des effets, cernée ainsi à la première, dans ■lu — ^miitit da système, tans i fortes, le principe de superposition qnera. Or. l'eut initial peut être co poniti—de deux antres, dont t'nn ire eousirterait uniquement dans !

ck signe, qni font passer de la | libre a la seconde, et qui sont, de «,, c,, y,,-. . tirées des équati

D où l'on soit qne le monvemen • nperposiuon de deux autres - F i initial proposé , sans introductio foutre correspondant à Fintroduei déplacement ni fitesse dans Fêta

Quant an premier de ces deux tr déjà démontre qu'il pouvait se •le manières; et il est facile de voi second : car la forme des équatioi partage les quantités H, K, L, . . .

parties quelconques, qui pourront prenne d'abord que les premières seulement, et ainsi de suite, les ' satisferont à ces systèmes partit ajoutées, formeront la solution des partage les forces introduites en i groupes, les tenues tout connus q équations d'équilibre, étaol njonJ

HYDRODYNAMIQUE. 3^3

respectivement les quantités H, K, L, . . . . Donc les valeurs de«i, Sn. . . qui correspondront à chacun de ces groupes, étant respectivement ajoutées, formeront les déplacements produits par les forces introduites. Or, les effets des déplacements s'ajoutent *, donc ceux que les divers groupes de forces produiront, se superposeront eux-mêmes.

230. Intégration des équations. — Intégrons maintenant les équations (6) auxquelles tous les cas se ramènent, et dont le nombre, que nous désignerons par n, est égal à celui des coordonnées indépendantes.

On aura une solution de ces équations en posant

a =r sin(rt -h s), 6 = R,sin [rt ■+-*)> V = R2sin (rt + s), a' = R3sin(r* -+-*),

Substituant ces expressions dans les équations (6), R,, R,,. . . n'entreront qu'au premier degré, et si on les élimine, on reconnaîtra facilement que l'équation finale en r sera du degré n par rapport à l'inconnue /J; on aura ainsi n valeurs pour r, en ne considérant pas les valeurs négatives, parce que les solutions qu'elles donneraient rentreraient dans les autres. Ces valeurs seront toutes réelles et inégales, sans quoi les inconnues s'exprimeraient par des exponentielles ou des termes algébriques qui croîtraient avec le temps, ce qui est contraire à l'hypothèse d'un équilibre stable. Il faut en excepter toutefois les cas particuliers où les coefficients de ces termes se trouveraient nuls d'après l'état initial.

Chaque valeur de r déterminera un système unique de valeurs pourR,, R*..., à moins qu'il n'y ait indétermination; et si l'on multiplie les valeurs de a, o, y,... par

HYDRODYNAMIQUE. 3^5

mencent et finissent ces oscillations en même temps, et les espaces qu'ils parcourent sont dans des rapports constants. C'est là ce que nous appellerons un mouvement simple dn système.

Maintenant la seule inspection des équations (n) démontre la proposition suivante :

Tout mouvement d'un système de points en nombre finiy qui ont été dérangés infiniment peu d'une position d'équilibre stable, peut être considéré comme résultant de la composition des diverses oscillations simples dont il est susceptible.

Ces oscillations sont en nombre égal à celui des coordonnées indépendantes, à moins qu'il n'y en ait une infinité, comme nous l'avons remarqué précédemment : celles d'un même système sont synchrones, ou de même période ; leurs directions diverses et la durée de la période dépendent uniquement de la nature du système, mais leurs amplitudes et les coefficients qui les affectent dans la solution générale dépendent de l'état initial d'où Ton part.

232. Considérons comme exemple le cas très-simple d'un point unique, soumis à la seule action de la pesanteur, et assujetti à rester sur une surface quelconque. Si on l'écarte de sa position d'équilibre au point le plus bas de la surface, et qu'on lui imprime une très-petite vitesse, il peut décrire une infinité de courbes différentes, dépendantes de l'état initial; mais, comme il n'y a que deux coordonnées indépendantes, il n'existe que deux systèmes d'oscillations simples, et l'on prouvera facilement qu'elles ont lieu suivant les deux sections principales de la surface au point le plus bas. Tout autre mouvement résultera de la combinaison de ces deux-là dans des proportions convenables. Dans le cas où tous les rayons de courbure seraient

HYDRODYNAMIQUE. 3j^

simples dont il est susceptible, étant indépendant du nombre des points, s'applique à un gaz ou à un liquide renfermé dans un vase fermé de tous côtés, ou à un corps solide élastique. Dans ces divers cas, le nombre des points est immense,'mais nécessairement fini. Cependant, pour la facilité des calculs, il sera bon de considérer la matière comme continue, et, par conséquent, le nombre des points matériels comme infini. Les déplacements de tous les points, correspondants à un quelconque de ces mouvements, seront toujours le produit d'une même fonction du temps représentée par un sinus et un cosinus, par une fonction des coordonnées de ces points. Et le mouvement le plus général du système pourra être représenté par une série composée d'un nombre infini de termes, correspondants chacun à l'un des mouvements simples dont le système est susceptible.