CHAPITRE IX

ORIGINE DU PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. DÉMONSTRATION GÉNÉRALE DE CE PRINCIPE.

98. Galilée cherchant à se rendre compte des raisons pour lesquelles les machines ne produisent pas toujours les avantages qu'on en espérait en employant de petites forces à vaincre de grandes résistances, reconnut que cela tenait à ce que dans les machines en mouvement les espaces parcourus par les points d'application de la puissance et de la résistance, dans le sens de ces forces, étaient en raison inverse des intensités de ces forces, lorsqu'elles se faisaient équilibre sur la machine. Cette proposition peut être regardée comme le point de départ de la théorie que nous allons exposer, quoique peut-être il ne fût pas impossible d'en trouver quelque idée confuse dans les ouvrages d'Aristotc.

Galilée la déduit des conditions d'équilibre qu'il démontre préalablement, et en lire la conséquence que les machines ne peuvent servir à augmenter ce qu'il appelle improprement la force (ce qu'on appelle aujourd'hui le travail), mais seulement à la transformer; qu'on ne peut par leur moyen frauder la nature, et obtenir beaucoup en dépensant peu. Ainsi, par exemple, pour élever un certain poids à une certaine hauteur, en employant un poids dix fois plus petit, il faut que ce dernier parcoure en descendant un espace dix fois plus grand que l'autre ; de sorte que l'on a réellement fait le même travail des deux cotés,

savoir dix t'ois celui dfi faire parcourir la hauteur donnée à un poids c^rd au dixième du poids donné.

Cette remarque est une des plus importantes dans la théorie des machines, et peut empêcher bien désillusions désastreuses dans l'industrie, Galilée la déduit des conditions de 1 équilibre, et ne l'emploie pas à la généralisation de l'énoncé de ces conditions dans les dillérentes machines '■u équilibre, mais :i l'appréciation de l'utilité des machines

Desiarles a l'ail précisément l'inverse : il a admis comme évident qu il fallait la même force pour élever un poids à une certaine hauteur, que pour élever un poids double a une hauteur moitié moindre, ou un poids triple à une hallleur trois fois moindre, et ainsi de suite; parce que, dit-il, un poids P élevé à une hauteur H, est la même chose que P

élevé à In hauteur - H et encore P élevé à - H , cVst-à-

dire deux l'ois l'élévation de P à - H. Or c'est là ee que

aPà la hauteur - H; si ee n'est que

r avait fait de Ta

STATIQUE. Ipl

de deux poids sur une machine? pourquoi dans le cas d'équilibre un déplacement fictif du système donnerait-il égalité entre les produits des poids déplacés, par les hauteurs dont ils se seront élevés ou abaissés, c'est-à-dire entre ce qu'il appelle les forces développées. C'est admettre précisément ce qu'il faut prouver.

Jean Bernoulli généralisa la proposition de Galilée de la manière suivante : « Lorsque des forces quelconques sont en équilibre sur un système de points assujettis à certaines liaisons, si Ton conçoit ce système déplacé infiniment peu en satisfaisant toujours à ces conditions de liaison, la somme des produits de chaque force par le déplacement de son point d'application projeté sur la direction de cette force, sera égal à zéro, en regardant- comme positives les projections qui sont dans le sens des forces, et comme négatives celles qui sont en sens contraire. »

Bernoulli se contenta d'énoncer cette proposition générale et ne la démontra point. Il est vraisemblable qu'il y était parvenu en considérant des cas plus compliqués que ne l'avait fait Galilée, et qu'il l'avait généralisée par simple induction. Il la communiqua en 1717 à Varignon, qui en donna l'énoncé dans sa Nouvelle Mécanique, et ne la démontra que dans quelques cas très-simples. Lagrange, dans la première édition de sa Mécanique analytique > l'admet comme un principe reconnu, ou, suivant sa propre expression, comme une espèce aV axiome fie mécanique; et il se propose de le réduire en une formule générale, qui renferme la solution de tous les problèmes qu'on peut proposer sur l'équilibre des corps. Ce n'est qu'après la publication de ce grand ouvrage de Lagrange, que parut la première démonstration générale du principe en question. Kllc est duc à Fourier, et ne date que de 1 797. Il en a paru depuis un grand nombre d'autres *, et Lagrange lui-même a cru devoir en proposer une dans la seconde édition de la Mécanique

19a livrk r.

analytique. Avant île faire connaître celle que nous a vont adoptée, nous allons, en suivant la nmrrtic inêriie de cette découverte, montrer d'abord dans quelques tas simples. comment on a pu reconnaître la vinté de !j proposition dont il s'agit.

Mais pour la commodité du langage, nous emploîci'ouh certaines dénominations introduites par Bernoulli, et que nous allons expliquer, dans le sens précis où elle» sont entendues aujourd'hui.

!>'<). Lorsque l'on considère un système quelconque de points dans une première position, cl que Ton HinpoasfiBsuiieque chacun d'eus «oit placé dans une position intiniment voisine de celle qu'il occupait, sans cesser de tatlsfoJït à toutes les conditions qui dépendent de la nature du syst on nomme vitesse i-iriiw/lo d'un quelconque de ces poîm la droite qui joint sa première position n la seconde. Celle dénomination vient de ce que l'on peut concevoir que ee déplacement se fasse avre uniformité dans un même temps iulinimcut [>eiit, et qu'alors les espaces pan proportionnels aux vitesses; et en outre de ce (pic ce placement n'est que possible et ne «Vllcctue réellei

son intensité par la vitesse virtuelle de son point d'application, estimée suivant la direction de la force.

D'après cela, le principe de Bernoulli consiste en ce que :

Si un système quelconque de points est en équilibre, et que ton conçoive un déplacement infiniment petit de tous ses points, qui soit compatible avec toutes les conditions auxquelles il est assujetti, la somme des moments virtuels de toutes les forces est nulle , quel que soit ce déplacement. Et réciproquement, si cette condition a lieu pour tous les déplacements virtuels, le système est en équilibre.

Dans cet énoncé, les infiniment petits sont considérés de la manière ordinaire. L'équation n'est exacte qu'en considérant les limites des rapports, après avoir divisé par l'une quelconque des quantités infiniment petites ; en d'autres termes, la somme des moments est infiniment petite par rapport à ces moments eux-mêmes.

Cela posé, passons à l'examen de cas particuliers qui prépareront à l'établissement de la proposition générale.

100. Équilibre d'un point unique. — L'équilibre d'un point entièrement libre exige que la somme des forces estimées suivant une direction arbitraire soit nulle; et réciproquement si cela est, il 7 a équilibre. Soient donc P Tune quelconque des forces appliquées à ce point, u l'angle qu'elle forme avec une direction quelconque, on devra

avoir

iPcosp = o;

et réciproquement, si cette équation a lieu pour toute direction, le point sera en équilibre. Si Fou multiplie tous les termes par une quantité arbitraire m, l'équation devient

XPmcosfx = o.

Or mcosp est la grandeur m portée, à partir du point I. «3

lyti lihiie I.

et que dan* le déplacement infiniment petit d'une droite de

longucui lixc, les vitesses virtuelles de ses extrémités, estimées suivant sa direction, sont égales et de même sens, au second ordre près. Cela posé, en regardant deux forces parallèles, appliquées à deux points donnés, comme limite» de deux forces concourantes passant par ces mêmes points, le moment virtuel de la résultante de ces dernières étant toujours égal à la somme de ceux de ces forces, ou parvient sans jieiue à la mémo conclusion pour la résultante de forces parallèles.

Mais on y parvient directement en observant que lorsque la droite qui joint les points d'application des deux forer* parallèles et de leur résultante se déplace infiniment peu, les vitesses virtuelles de ces trois points, estimée* daftl h direction de cette droite, sont égales et de même «en*. Kl comme la résultante est égale à la somme algébrique des composâmes, son moment virtuel est égal à la somme algcbriqat! île ceux îles eontf>osantes.

(03. Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe, nous savons qu'il est nécessaire et *iiuî*an! pour IV-

STATIQUE. IÇfl

fini ment petit; donc EPchcosp. est infiniment petit par rapport à âs\ et par conséquent, dans le sens ordinaire où Ton entend les équations infinitésimales, on a

ZPtfjC0S/x = 0.

Donc, dans ce nouveau cas d'équilibre, la somme des moments virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements infiniment 'petits, compatibles avec les conditions de la question; et réciproquement.

104. Si le point est assujetti à rester sur une courbe fixe, il cal nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la résultante soit normale à la courbe, et, par suite, que la somme des forces estimées dans le sens de la tangente soit égale a zéro. D'où Ton conclut, comme dans le cas précédent, qu'en désignant par ds un arc infiniment petit de la courbe,

on aura

ZP£*cosp = o,

en négligeant les infiniment petits du second ordre. Il est donc nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la somme des moments virtuels des forces soit nulle pour tous les déplacements des points, compatibles avec les conditions auxquelles il est assujetti.

Si le point n'était que posé sur la surface ou sur la courbe, nous avons déjà dit qu'il serait nécessaire, mais non suffisant, que la résultante fût normale. Les conditions que nous venons d'indiquer auraient donc encore lieu, mais ne suffiraient plus. La somme des moments virtuels ne serait plus nulle pour les déplacements d'un point suivant des droites inclinées au plan tangent, quoique ces déplacements soient compatibles avec les conditions de la question. Elle serait égale au moment de la résultante; or celui-ci est négatif, puisque la résultante doit appuyer le point sur la surface. D'où Ton conclut que, dans l'équilL-

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bre d'un point posé sur une surface, la somme des moments virtuels des forces est nulle quand le poiut se déplace sur la surface, et négative pour Ions les autres déplacements qu'il peut subir.

105. Équilibre du levier. — Archimède, qui s'est occupé le premier de l'équilibre du levier, l'a considéré comme une droite inflexible dont un point est fixe, et à laquelle sont appliqués deux poids, eu des points situés de part et d'antre du point fixe. 11 a démontré que pour que ces deux forces parallèles fussent en équilibre sur ce système, il était nécessaire et suffisant que leurs intensités fussent eu raison inverse des distances respectives de leurs points d'application au point fixe.

Cet énoncé peut se transformer de la manière suivante ; Soient A et B les deux points d'application des forces parallèles P, Q, et C le point fixe. On aura pour l'équilibre la condition

P en