Q— AC

Concevons maintenant le levier dans une autre position

pour un déplacement quelconque donné au levier autour de son point fixe.

Ou, en d'autres termes, que les produits des poids par les quantités respectives dont ils ont été élevés, soient égaux et de sens contraires, et que par conséquent leur somme soit égale à zéro.

H est facile de reconnaître que cette proposition doit être modifiée si les trois points A, B, C ne sont pas en ligne droite, ou si les forces P, Q ne sont pas parallèles.

On sait que, dans ce cas plus général, l'équilibre exige

P que le rapport — soit égal au rapport inverse des perpendiculaires abaissées de C sur les directions des forces, c'està-dire que Ton doit avoir

P CBsinCBQ 7$~ ACsi^CAP*

ou, en remplaçant CB, CA [far les quantités proportionnelles BBf, AA',

P __ BB/ sinCBQ Q"~ AA'sinCAP*

Ces deux sinus sont les cosinus des angles formés respectivement par les directions des forces avec les tangentes aux ares décrits par A et B; si donc on pouvait prendre la direction des cordes au Heu de celle des tangentes, les termes du dernier rapport seraient les projections des déplacements BB', AA' sur les directions des forces correspondantes; et Fénoncé serait le même que dans le premier cas : les forces seraient en raison inverse des déplacements estimés dans les directions des forces. Mais les directions des cordes A A', BB' sont d'autant plus voisines de celles des tangentes, que le déplacement est plus petit, et par conséquent la limite du rapport de leurs projections sur

2QO LIVRE I.

les forces, est égale exactement au rapport inverse de ces forces. On peut donc, en employant le langage des iafinirment petits, énoncer cette proposition générale :

Dans V équilibre du levier, les deux forces sont dams le rapport inverse des déplacements infiniment petits corres*pondants de leurs points d'application, estimés dams les directions de ces forces.

Enoncé qu'on peut changer dans le suivant, en regardant les projections sur les forces comme positives, ou négatives, suivant qu'elles seront dans la direction de ces forces ou dans la direction opposée :

La somme algébrique des produits des forces par les déplacements infiniment petits simultanés de leurs points d'application, estimés suivant la direction de ces forces^ est égale à zéro.

Et cela veut dire que cette somme, si elle n'est pas rigoureusement nulle, est égale à un infiniment petit d'un ordre supérieur aux déplacements; ou, en d'autres termes, que si on le divise par l'un des déplacements, la limite de la somme sera rigoureusement zéro.

Il est presque inutile de faire remarquer que cette relation entre les forces et les déplacements infiniment petits, qui est une conséquence de l'équilibre, suffit réciproquement pour l'assurer, puisqu'on en conclut que le rapport des forces est ce qu'il faut pour que l'équilibre ait lieu.

106. En examinant au même point de vue les autres machines simples, telles que le treuil, le plan incliné, la vis, ou même des machines composées d'un nombre quelconque de celles-ci, on reconnaîtra facilement la vérité de cette proposition générale que :

Si deu,c forces sont en équilibre sur un pareil système^ leurs intensités sont réciproquement proportionnelles aux longueurs obtenues en projetant sur leurs directions les

espaces qui seraient parcourus par leurs points d'application, si Von faisait passer géométriquement le système dans une position infiniment voisine, en satisfaisant toujours aux conditions auxquelles il est assujetti*

Cette proposition peut être changée dans l'égalité des produits des. extrêmes et des moyens. Et si l'on observe que les deux projections des espaces parcourus sont dirigées, l'une dans le sens de la force et l'autre en sens opposé; que, de plus, on convienne de prendre la première comme positive, et l'autre comme négative, la propriété générale de l'équilibre des machines s'énoncera ainsi :

Lorsque deux forces sont en équilibre sur une machine quelconque, la somme des produits de ces forces par les déplacements infiniment petits, et simultanément possibles, de leurs points d'application, projetés sur leurs directions respectives, est égale à zéro. Et réciproquement si cela a lieu pour tous les déplacements possibles, il y a équilibre.

La même proposition s'étendrait au cas où les forces en équilibre sur la machine seraient en nombre quelconque.

107. Cas d'un système rigide quelconque. — Considérons maintenant le cas d'un système quelconque de points liés entre eux d'une manière invariable, ou, en d'autres termes, un corps solide quelconque; ce qui comprendra les cas particuliers des lignes ou des surfaces que nous ne traiterons pas à part, pour ne pas trop multiplier les détails.

Les conditions nécessaires et suffisantes de l'équilibre d'un corps solide sont, en désignant par X, Y, Z les composantes positives ou négatives de la force appliquée au point quelconque dont les coordonnées sont x,^, z%

2X = o, iY = o, lZ = o,

2 (yZ — zY) = o, 2 (zX — xZ) = o, 2 (xY — y X) = o.

Il s'agit de démontrer que ces conditions entraînent celle

que, pour toul déplacement infiniment petit du système rigide, la somme algébrique de tous les moments virtuels des forces appliquées soit nulle, et réciproquement : condition qui, d'après ce qui précède, s'exprimera par l'équation

ï(X**+Y*-r + ZJE)=o,

àx, ôj-, iz désignant les variations algébriques des coordonnées x, y, s, en passant de la position donnée à une autre voisine quelconque, si le corps est entièrement libre ; et compatible avec ses liaisons, s'il en existe. Rappelonsnous, pour cela, que tout mouvement infiniment petit d'un corps solide peut être regardé comme le résultat de deux autres ; l'un de translation, par lequel un point quelconque, considéré comme lié au système, passera de sa première à sa seconde position ; 1 au lie de rotation autour de ce point, et qui peut être remplacé par trois autres efiecliiéa successivement autour de trois axes passant par ce poîut. en partant toujours de la position occupée par le corps après la translation. Les sommes algébriques des variations des coordonnées de disque point dans ces divers mouvements seront, en négligeant les infiniment petits du sceoudordre,

lions, el «, 6, y ne seraient plus entièrement arbitraires; et il en serait de même de a, &, c; maïs nous supposerons d'abord que le système ne soit nullement gêné dans ses mouvements» et puisse être transporté dans une position quelconque.

Cela posé, la rotation a autour de Taxe AX fera varier les coordonnées x^y, z d'un point quelconque, des quantités respectives o, — - azy + oljt, etc. Désignant ces variations partielles par la caractéristique dx , nous aurons

donc

£tx:=o, ^i^ = — az, àtz = cLjr.

Désignant de même par 3tf dt les variations provenant des rotations 6, y, nous aurons, en changeant les lettres x,^, z les unes dans les autres suivant la loi, plusieurs fois rappelée,

*i* = o, *,* = — 1yf 3iX=ix.

On aura donc, d'après ce qui précède,

&x=z a 4- 6» — yy, 8jr =r b H- 74? — as, Sz = c H- ap — 6a?,

et par suite

2 (X** -f- X*r -H ï8z) = I (aX -f- bY -h cZ)