LIVRE

quand l'inclinaison du plan aura atteint une certaine valeur, qu'il est facile de déterminer.

Soient, en effet, P le poids du corps ai a l'inclinaison du plan mobile sur le plan horizontal; la pression du corps sur le plan, ou la composante de sou poids perpendiculairement à ce plan, sera Pcosa; et la composant parallèle aura pour valeur Psîna.

Lorsque l'inclinaison variable « aura atteint la valeur particulière p pour laquelle le corps commence â glisser, la force de frottement sera précisément égale à la composante parallèle au plau incliné; et si l'on désigne par/' le rapport du froitement à la pression, on aura

Ainsi tous les corps de même nature el également polis, et généralement tous ceux qui auront le même coefficient de frottemeut relativement au plan mobile, commenceront à glisser sous un même angle dont la tangente Irigonoruétrique est égale au coefficient du frottement, et que l'on désigne sous le nom A'angle dti frottement.

468. Équilibre dun corps pressé contre un plan par une force oblique. — Soient P (fîg. 45) une force appliquée a un corps M, A le point où sa direction rencontre la face de contact, et 9 l'angle qu'elle fait avec la normale AN. La pression du corps contre le plan sera Pcos0;ie flottement sera exprimé par /Pcos0,yétant le coefficient du frottement-, et la force dans le plan fixe, qui tend à mettre le corps en mouvement, est égale à PsinO. Il y aura donc équilibre si l'on a

Psinô</Pcose, ou

tango </.

Ainsi, l'équilibre aura lieu, quelle que soit la force P, pourvu qu'elle fasse avec la normale un angle qui ne soit pas supérieur k l'angle du frottement.

Au reste, le cas que nous venons d'examiner ne diffère du précédent qu'en ce que la force P est de direction et de grandeur quelconque, au lieu d'être le poids même du corps.

469. Équilibre du levier en ayant égard au frottement. — Considérons un levier posé sur un autre corps, de sorte que le point d'appui ne soit pas lié invariablement avec lui ; et supposons-le sollicité par deux forces. Elles peuvent d'abord être remplacées par des forces égales et parallèles appliquées au levier au point d'appui, et, de plus, à deux couples. S'il n'y avait pas de frottement, il faudrait que les couples se détruisissent et que la résultante des deux forces transportées au point d'appui fût normale à la surface résistante. Mais, s'il peut exister un frottement entre les deux corps, il se composera avec les deux forces appliquées comme lui au levier en son point de contact; il faudra donc encore que les deux couples se détruisent. Mais il ne sera

plus nécessaire que les forces transportées an poiui d'appui donnent une résultante normale à la surface; il su (lira que celte résultante fasse avec la normale un angle inférieur ou égal à l'angle du frottement,

170. Équilibre il'un corps qui peut tourner autour d'un itxcjixe. — Considérons maintenant un corps solide percé d'un trou cylindrique, au travers duquel passe un cylindre fisc d'un diamètre à peu près égal. Supposons ce corps sollicité par deux forces situées dans un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre, ci cherchons les conditions d'équilibre, en ayant égard à la force de frottement. Concevons que tout le système soil réduit à la section par ce plan perpendiculaire, ou, en d'autres termes, que le corps n'ait pas d'épaisseur sensible.

SoitC [Jig- 46) le point de contact du cercle fixe ayant son centre en O, et du cercle mobile appartenant au corps. Il doit y avoir équilibre entre les deux forces données P, Q et la force de frottement F appliquée en C tangenliclleuient au cercle. 11 est donc nécessaire et suffisant que les deux foires P, Q aient une résultante passant en Cet faisant avec la normale un angle moindre que celui du frottement.

STATIQUE. 28l

elle est donc toujours moindre que la résultante R. La force tangenti elle appliquée au cylindre fixe s'obtiendra en multipliant la pression par le coefficient J\ et sera, par

conséquent, égale à ' Leur résultante ne sera autre

chose que R, comme cela devait être évidemment, puisque la résultante R des forces données est détruite par la résistance du cylindre fixe.

171. Équilibre d'un corps sur un plan incliné. — Supposons un corps pesant posé sur un plan incliné à F horizon, et sollicité par une force P comprise dans le plan vertical, passant par le centre de gravité du corps, et la normale au plan incliné. Réduisons tout le système à la section faite par ce plan, et cherchons la condition d'équilibre en tenant compte du frottement.

Soient IV (Jig. 47) 'a verticale menée par le centre de gravité du corps, PI la direction de la force P, Q le poids du corps, et a l'inclinaison du plan LA sur le plan horizontal AB; il faut exprimer que leur résultante est détruite par la résistance normale du plan AL et par le frottement. En désignant par 6 l'angle de la force P avec le plan incliné, la pression exercée sur ce dernier sera égale à

Qcosa — PsinO,

6 étant considéré comme positif au-dessus de la .direction AL, et comme négatif au-dessous. Si l'équilibre est au moment de se rompre, la force de frottement sera égale à

/[Qcosa. — Psinô);

mais, en général, elle en sera une fraction quelconque A. La composante totale dans le sens du plan sera

Qsina — PcosG;

et pour ([ut

l'équilibre ail lieu, i

1 est nécessaire cl sufft-

sanl que ce a la force di

lie expression, positive ou négative ! frottement; ce qui s'exprimera pat

, soit égale l'équation

Sin*-Pco>9 = V(Qc

dSk — Psinfl),

A' étant com|

jriscnlre — i et -+- I,

et devenant -

- [ ou -f- 1

dans le cas soit dans un

où l'équilibre est sur sens, soit dans l'autre

le point de se rompre,

Ou tire de celte équation

Qfsina- i/cmt]

cosfl — kf:

un S

t>i A = <> et (

l = o, on retombe sur

l'expression connue

P=Q*in«.