MT "" MO

"placer Ba par

1 — • Donc I '.11 tinii di-

la couelie aura pour expression

4Bp/(ip,

1' étant la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan laugenteaM.

I es composantes de eelte action parallèlemenl aux axes

valeur

dcP*

étant

On peut observer que, d'après les égalités — = — = — *

les expressions des deux dernières composantes se déduiraient de la première en changeant x et a eu y et fc, ou en z et c.

Calcul des composantes de r attraction d'un ellipsoïde

sur un point extérieur.

191 . Soient A, B, C les demi-axes d'un ellipsoïde homogène, Â étant le plus petit, et posons

B> — A2 , Ca~ A' ., r- =à1» = A '•

A2 Ai

Désignons par a, o, y les coordonnées d'un point extérieur; il s'agit de calculer les composantes X, Y, Z de l'attraction de l'ellipsoïde sur ce point, auquel nous supposons l'unité de masse.

Décomposons ce corps en couches infiniment peu épaisses, par des ellipsoïdes semblables. Soient a et a — da les demiaxes des x des deux surfaces qui terminent une couche quelconque, les autres axes s'ensuivront; et, lorsque nous aurons calculé les composantes de Faction de cette couche, il suffira de les intégrer par rapport à a. depuis a =o jusqu'à a = A, si l'ellipsoïde est plein. Dans le cas où il s'agirait d'un solide creux terminé par deux ellipsoïdes semblables, on intégrerait depuis la valeur de a relati\e à la surface intérieure jusqu'à a — A.

3iti uru i.

Substituons j hi couche en question une couche terminée par des ellipsoïdes semblables entre eux, homufucauxâ ceux qui [fiiiiim-iil l;i première, et tels que le plus grand passe parle point M,

Soient «', />', t' et a' — fia' , h' — ilb', c — tic' les demiaxes de ccsileiiM ellipsoïdes, on aura les relations suivantes ;

It-s composantes du l'action île cette couche sur le point M

STATIQUE. 3l7

et, en vertu des équations (1) ,

l'équation (2) donnera

Ainsi a et, par suite, a', fc', c' dépendent de 1/.

Il reste à exprimer P" en fonction de w, et les composantes élémentaires JX, ri Y, /7Z serout ramenées à cette seule variable.

Or, on a

a'* b'k c'' (r' + i»)' (tt-'-j-V1)'

Diftérentiaul l'équation (3), pour exprimer da au moyen de du, et ayant égard à la valeur de P", on trouvera

P'> <fo = a'* du ,

d'où

bc du dXzs—tvpfx-jp-r

a"bc

dl = —

^P/6Jyrfw'

dz= — 4*p/v ^rpdn-

Remplaçant &, c, a', ft', c' par leurs valeurs en a et 1/, «

disparaît,** il Vian

ntroduisnnt la masseM = i ftp ABC,

rfZ = -

Si Ion intègre ces valeurs depuis u = o jusqu'à u = — i

A' étant ! demi-axe des x de 1 ellipsoïde liomolocal passant par le point donné, on aura les composantes de l'alii action totale', leurs expressions seront

ï M/a /**' u'dti

A" Jo (i-t->.'«,l'(H-l',«,)S

ÎM/8 /'Â7 «'du

on a A'= A, et la seconde limite des intégrales est 1 : ce qui donne pour les composantes de l'action sur un point de la surface de l'ellipsoïde,

3 M/6 Cx u7 du

r1 u2du

3 M/7 r ' u} du

r ' u2 du

A" " ' ' Vu')'

Si le point est intérieur à l'ellipsoïde, on ne devra considérer que T action d'un ellipsoïde semblable passant par ce point. Mais le rapport de sa masse au cube de son demi-axe des jr, sera le même que pour l'ellipsoïde proposé; on

M pourra doue laisser — dans les formules (6) qui repré-

senteront encore les composantes cherchées.

On reconnaît alors cette propriété remarquable, que chaque composante de l'attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur ne dépend que de la coordonnée parallèle, et lui est proportionnelle.

On peut remarquer que les formules ( 5 ) se déduiraient de la seule intégrale qui entre dans la première. Soit, en effet,

A' u2du

011 trouvera, en différen liant La par rapport à À,

d.lh

~7rT

Jr~£' u' du 1 t;

VI, p,n rapport »

' qui changera les équations (5) dans les suivanles :

3 M/6 rf.lt

— A- rfï '

3M/7 rf.VL

is il Ta

ut Lu.

?n remarquer que, quand on aura A'= 1, il

faudra

fairt

■ celle supposilion qu'après avoir différcnliê

lit2. Ellipsoïde de révolution aplati. — Si l'on suppose i = C, on a un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles:

STATIQUK. 3:21

doù résulte

wtïf ~ arc ian« A" )

( « ) < Y = r arc tant» — , — — ■ *

3M/y / \A >AA' \

On fera A' = À si le point est sur la surface même de l'ellipsoïde. Si X = o, l'ellipsoïde se réduit à une sphère, et les formules (7) coïncident avec celles que Ton connaissait pour ce cas.

193. Ellipsoïde de révolution allongé, — L'ellipsoïde sera encore de révolution si A = B, mais il sera allongé vers les pôles*, on aura alors X = o, et les formules (5) deviendront

/»*' u2du 3M/6 /»*' u'du

J0 (i-HV'/x')' A Jo (i+V2«V

3M/7 r* iC-du

/A u-du.

Or, on a

et F intégrale qui entre dans Z s'en déduira en la multipliant par W et en différentiant le produit par rapport à V: on trouvera ainsi

L1 ellipsoïde si; réduira encore à une sphère en supposant C = A ou >' = o; les formules (8) se réduiront à î, et, traitées par les procédés ordinaires, elles rrproduironi encore celles oui conviennent à ce cas particulier.

Nous allons maintenant faire connaître les méthodes au moyen desquelles on résolvait le même problème, avant ipie relie de .M, Chasles fût connue.

Autre* méthodes pour calculer loUrnclian des

STATIQL'E. 323

système du monde. Poisson, après beaucoup d'efforts, est parvenu à faire directement le calcul de l'intégration pour le point extérieur-, mais nous ne ferons pas connaître ses recherches sur ce point, parce que les calculs sont trop compliqués, et qu'ils ne nous paraissent pas très-importants pour la question en elle-même.

Soit l'équation de l'ellipsoïde

Soient a, 6, y les coordonnées du point intérieur attiré ju, auquel nous supposerons une masse égale à l'unité; p la densité de la matière homogène qui compose l'ellipsoïde; Ç, i?r Ç les angles que fait avec les axes la direction d'un rayon vecteur quelconque mené par le point /x; d(ù un angle solide infiniment petit dans la direction de ce rayon, et ayaa&ata^wHpmet en p.

Parta^Ofl^ h portion de l'ellipsoïde comprise dans cet

angMfifrlS^, par des sphères ayant leurs centres en fx et des rayons t tttoissant par différences infiniment petites dr\ l'expression d'un quelconque de ces éléments de volume sera r'Jcorfr; et l'attraction étant supposée en raison inverse du carré de la distance, son action sur le point p. aura pour expression

Faisons la somme des actions de tous les éléments qui com posent l'angle solide depuis le sommet y. jusqu'à sa rencontre avec la surface de l'ellipsoïde; on obtiendra, en désignant le rayon (iM. par r,

fprdu.

Les trois composantes de l'action de cette portion du solide seront

/"prcosÇr/w, fprcosn */«, /prcosÇr/w.

' la v«Uu

m von fiM' île U

surface lit! l'i llipsojtl^, correspondante aux n e, n, £. Kit prolongeant en sens contraire le premier angle solide, on aurait à faire un calcul analogue an précédent; seulement les angles relatifs à sa direction seraient [«suppléments de £■«■£, et la valeur absolue du rayon vecteur serait — r'j de sorte cjue les composantes de la force produite par la portion de l'ellipsoïde comprise dans ce second angle solide auront pour expressions

/■p^COSêrfw, /pr'cOS.irf»., /p/cOsÇr/*.

Kn les ajoutant aux premières, on aura

Air

r'Icosç^,

•l si 1 on l'ait la somme d'expressions de ce genre en promut pour d',1 tous les éléments d'une demi-spliêxe quelnuque ayant son centre en f* cl pour rayon I iliiii.'. on nltii mira lis loniposantes X, Y, Z de l'action de l'ellipsoïde 'iilicr sur le point [t. Pour avoir les valeurs de r et r', il

on reconnaît de suite que les deux valeurs de r données par l'équation ci-dessus, pour une valeur des angles £,*?,£, sont désignes contraires, puisque p et / sont essentiellement positifs} et Ton aura

Si maintenant on observe que, pour deux directions contraires, - est le môme, au signe près, et que, parconsé-

, , . acosç qcosr, 7 cos; ,

queut, les produits » - , 4 sont les mêmes en

grandeur et en signe pour ces deux directions, on reconnaîtra qu'au lieu de prendre pour les directions /jiM de l'angle solide celles qui sont d'un même côté d'un plan passant par fx, on peut les prendre tout autour de ce point, pourvu qu'on divise par a le résultat. Nous aurons donc, en considérant que les sommes Z se rapportent à toutes les directions autour du point p,

=-*2ztl"-

Parmi les sommes partielles dont se composeront les valeurs de X, Y, Z, quand on aura substitué à q sa valeur, se trouveront les trois suivantes :

^\ COîf Ç COS r, (l M ^ COïi ç cos Çtlv ^ cos n cos Ç il u

Zd p Ztà p Z+ p

qui sont évidemment nulles comme composées d'éléments deux à deux égaux et de signes contraires; car, eu conservant les mêmes valeurs quelconques à deux des trois angles, choisis convenablement, le troisième peut avoir deux va

l6 LIVUE I.

■ui'S supplémentaires ; et, quant au dénominateur, il rcsir.i le même dans les deux ras. On aura doue, d'après celle

arque ,

•>■ Zà p p" Zà ft- i

'uurellectucr ces calculs, il faudrait exprimer l'un des trois ngles Ç, », t au moyen des deux autres ; mais il vaudra ■irux introduire les deux angles quel'on emploie le plus rdiiiaireuiciil dans les coordonnées polaires, et qui sont angle formé par le rayon vecteur avec l'un des axes, par xcmplc J'axe des .r, et celui que fait avee l'axe des y la promettait du rayon vecteur sur le plan des y et z. Désignant e premier par 0 et le second par <£, on aura

cosÇ = rcisG, co$n = sinScns^, cost; = sin6 sin-J,

JOtis cutculwBïis d'abord la valeur de X; celles de Y et Z Cil déduiront par de simples changements de lettres. Daus

Commençons par effectuer l'intégration par rapport à tfs et posons pour cela tang ty = u , d'où

sin'\& =r -

du 1 -f-tf'

aura ainsi

■sin^-H^cos

ir a1 hc

Il restera donc à effectuer l'intégration par rapport à 0, ce qui n'est pas possible sous forme finie si les trois axes de l'ellipsoïde sont inégaux. Pour déduire la valeur de Y de celle de X, on observera que si l'on avait introduit l'angle du rayon vecteur avec Taxe des y au lieu de Taxe des x, dans le système des coordonnées polaires, le calcul relatif à Y n'aurait différé de celui que nous venons de faire que par le changement réciproque des lettres a et b ; la même remarque s'applique à c, et Ton aura, en conséquence, les formules suivantes :

... (*'>• cos7 0 siîi 9 d a

J0 vV'sin'

Y = — 4 *f P ac * I

Z = — fafpaby i -==

J0 vilain*

cos3©sin©^0

nient, et posant cosS = b, elles coïncideront ainsi avec les formules (<j), dans lesquelles a, S, 7 désignent les coordonnées d'un point quelconque de l'intérieur, ou de la surface de l'ellipsoïde

Ces valeurs de X, Y, Z étant respectivement de signes contraires à a, t. 7, chacune des composantes lend a rapprocher le point de l'origine. On remarquera encore que eus valeurs ne 1 [langeraient pas si l'on multipliait les quantités n, 6, c par un même nombre. L'attraction n'est donc pas changée par l'addition ou la soustraction d'une couclie comprise cotre la surface de l'elli psoïde proposé el une surface semblable plus grande ou plus petite, pourvu que le point f* suit toujours dans son intérieur; car nos calculs sont fondés sur eelle supposition. D'où l'on conclut que le solide liomugèiie compris entre deux ellipsoïdes semblables dont les a\is coïncident codirection, n'exerce aucune action sur un point matériel placé dans l'intérieur de sa plus

Maintenant que le problème est résolu pour

I ellipsoïde. ou sur sa surface, il suffit d

l'un point extérieur pour que le probl<

'élément résolu. C'est

simple encore et tout à fait géométrique, que nous avons déjà fail pressentir, et que nous allons faire connaître.

195. Théorème de Maclaitrin. — Ce théorème a pour objet de comparer les actions de deux ellipsoïdes homofocaux, homogènes et de densités quelconques, sur un même point extérieur à l'un et à l'autre. A cet effet, on partagera chacun d'eux en couches infiniment minces, par des surfaces ellipsoïdales semblables à la surface qui le termine, et respectivement homofocales. Nous avons démontré (n° 189) que deux couches homologues de ces deux corps exercent sur le point extérieur des actions de même direction et proportionnelles aux masses de ces couches, et, par suite, h celles des ellipsoïdes proposés. Il résulte de là qu'en composant toutes ces actions élémentaires, qui auront respectivement un rapport constant et une même direction, on aura deux résultantes de même direction, et ayant entre elles ce même rapport. D'où résulte le théorème suivant :

Deux ellipsoïdes homofocaûx homogènes exercent sur un même point extérieur quelconque des actions de même direction et proportionnelles aux masses de ces corps.

Cette proposition aura encore lieu lorsque la surface d'un des ellipsoïdes passera par le point même, et on voit facilement que pour calculer l'action d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur, il suffira de déterminer l'ellipsoïde homofocal passant par ce point, auquel on donnera la même densité qu'au premier. Les formules (6) feront connaître les composantes de son action sur ce point, et il suffira de les multiplier par le rapport du volume de l'ellipsoïde proposé à celui du second, pour avoir les composantes de l'action du premier. Nous allons effectuer ce calcul.

196. Application du théorème de Maclaurin. — Nous avons démontré précédemment ce théorème, et nous allons*

33a livre b

montrer maintenant l'usage que l'on en peut faire pour obtenir l'action d'un ellipsoïde sur un point extérieur, connaissant son express ion pour un point intérieur.

Soient A, M, C les trois demi-axes de l'ellipsoïde donné. A', 11', C ceux de l'ellipsoïde hoinofocal, passant par le point extérieur (*, S, y). Les composantes de l'action de ce dernier sur ee point se calculent directement, sans ditlicultc, et sont

/__3M'/V /*' p'ifr •

que l'on

197. Théorème <Vlvory. — Ce théorème a aussi pour objet de ramener l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur,*à celle d'un autre ellipsoïde sur un point de son intérieur. Il n'offre aucun avantage sur celui de Maclaurin; mais, comme nous l'avons dit, son auteur Ta fait connaître a une époque où l'autre n'était pas encore bien rigoureusement, ou du moins bien simplement démontré; et il a été considéré par les géomètres comme une découverte importante.

Soient a, 6, y les coordonnées d'un point extérieur à un ellipsoïde dont les demi-axes sont À, B, C; la composante X de son attraction sur ce point sera

(x — 0L)dxdydz

les intégrales s'étendant au volume entier. Intégrant par rapport à x, et désignant par r,, /*, les distances du point attiré aux points extrêmes du filet de l'ellipsoïde, dans lequel on a fait l'intégration, on trouvera

Concevons maintenant un ellipsoïde homofocal avec le premier, passant par le point donné, et cherchons son attraction sur le point correspondant à ce dernier sur la surface du premier ellipsoïde. Pour cela nous préparons le rectangle dy1 dz\ dont les points seront les correspondants, de ceux de dydz, et nous intégrerons dans l'étendue du filet du second ellipsoïde, qui se projette suivant d/dz' sur le plan YZ. Nous trouverons, pour la composante de l'attraction de ce dernier corps sur le point correspondant an\ point donné,

x' = -/P/./-rfr,rfï'(pi-i).

pottfatimde Or. tiydz'