Cherchons maintenant la valeur de -— pour les
dr *
points appartenant à la masse du cylindre; pour ces points,
on a
r/2V i dV
et Ton trouve par l'intégration, en désignant par R, le rayon de la surface intérieure,
dX
r——z= — 4tt I prdr.
Il n'y a pas de constante à ajouter, parce que -r— est nul
pour r = R,, puisqu'il Test pour tous les points de Tintérieur de la surface dont le rayon estRt. En faisant r = R,
on obtient
prdr.
'11 — — il C
Pour les points extérieurs on doit avoir
Faisant r=R, on trouve, en vertu de l'équation précé dente,
rdr.
i.ivm i.
La cou
slanle étant ainsi iléicrminiV. on allia pnui IdBla
les Htc
m- ilr- f jjI 11^ grandes qui- R,
rfv i;
M l'attr
action du i ylindrc aura pour expression
te
Ûtl vnii
qu'elle va lie en raison inverse de la dislance du
point à
l'ave du cylindre,
lllrficlivit dit vlli/'iuiilrs.
ISS.
Cour eonuailre les trois composâmes de l'attrac-
lion d'i série de
n ellipsoïde homogène sur un point, on décompocotps en couches infiniment peu épaisses, par une surfaces semblables à celle qui le termine; on eher-
rliera 1(
■s composantes de l'attraction d'une quelconque de
i„.. ,,. o...-.;r.n -t.. n,r,mii™m,: ,t<;.»™;.... ««-
STATIQUE. 3oq
On voit que, dans tous les cas, la question revient à calculer les trois composantes de V attraction d'une couche comprise entre deux ellipsoïdes semblables et infiniment rapprochés, sur un point situé en dehors de cette couche, ou sur sa surface.
Nous commencerons par établir quelques propositions qui ramènent ce problème au cas où le point attiré est situé sur la surface extérieure de la couclie. Ces propositions et les calculs qui suivent sont tirés des Mémoires de M. Chasles.
Comparaison de l'action de deux couches homojbndes
sur un même point extérieur.
189. Considérons une couche homogène comprise entre deux ellipsoïdes semblables, infiniment rapprochés- Les composantes de son action sur un point extérieur M (fig. 5i) dont les coordonnées sont x, jr, z, sont proportionnelles aux dérivées partielles par rapport à x, d'une fonction V qui exprime la somme des masses des éléments de la couche, divisées par leurs distances au point M.
Considérons, en second lieu, une couche homogène d'une densité quelconque, comprise entre deux ellipsoïdes semblables entre eux, dont l'extérieur passe par M, et qui soient respectivement homofocaux avec ceux qui terminent la première couche; ces deux ellipsoïdes seront complètement déterminés, et les axes de même direction seront dans le même rapport dans les deux systèmes.
Désignons généralement par points correspondants sur les surfaces de deux ellipsoïdes quelconques, ceux dont les coordonnées sont respectivement entre elles comme les axes qui leur sont parallèles. Il est facile de reconnaître
angh
quanti ma ellipsoïdes sont h o m o focaux, In distance point quelconque de l'un à un point quelconque de rc est égale à la distance des pointe respenivemem
plie proposition se déduit immédiatement des deux
mîtes, demi la démonstration est trop facile pour que
i la rapportions :
1 La différence des carrés: dis distances du centre à
C points correspondant* de deux ellipsoïdes homofo-
r est constante;
' Le produit de deux rayons quelconques, pris respec-
mnt dans les deux ellipsoïdes, par le cosinus de leur
- que pour les rayons menât aux points
tpoj
carres de ces rayons est aussi la même de ■I d'aiiiir, en vertu de la première proposition- D'où lu le théorème en question, volt facilement aussi que si Ton considère les d eu s es liomo focales dont H a été déjà parlé, tout poîni la il s l'épaisseur de l'une a son correspondant dans <•: i'l deux portions terminées n des surfaces dont tons
Cela posé, partageons le volume de la couche proposée en éléments infiniment petits, et divisons la masse de chacun d'eux par la distance au point M, de l'un quelconque de ses points, que Ton pourra choisir sur la surface même de l'ellipsoïde passant en M', vu l'épaisseur infiniment petite de la couche; nous aurons ainsi tous les éléments de l'intégrale V. Partageons ensuite le volume de la seconde en éléments correspondants, et divisons la masse de chacun par la distance au point M', correspondant de M sur la surface extérieure de la couche donnée. Deux éléments correspondants étant entre eux comme les couches entières, et leurs distances aux points correspondants M, M' étant égales, les deux sommes ou les deux fonctions V seront aussi entre elles comme les masses des deux couches. Or, la fonction V, qui se rapporte à la couche passant par M, est constante pour tous les points de son intérieur, et, par conséquent, pour tous ceux de la surface extérieure de la couche passant par M' : donc aussi la fonction V sera constante pour la couche proposée, quelque position que Ton donne au point M sur l'ellipsoïde homofocal passant par M. Donc la résultante de V attraction de la couche proposée sur le point M est normale à l ellipsoïde homofocal passant par ce point.
Nous pouvons maintenant comparer les actions exercées sur le point M par la première couche, et une autre dont les deux surfaces semblables seraient homofocales à celles de la première, et seraient comprises entre elles et celle qui passe par M. En effet, les fonctions V qu'elles fourniraient relativement au point M, étant divisées par leurs masses respectives, donnent le même résultat, d'après ce qui a été dit précédemment. D'où il suit que les dérivées partielles de ces deux fonctions sont, comme elles-mêmes, dans le rapport des masses des deux couehes; et, par conséquent, les résultantes des attractions de ces deux couches tir un
même point extérieur sont de même direction, et proportion/u-lles à leurs masses {*).
Enfin celle proposition nous rouduit à la réduction que nous avions annoncée. En effet, nous pouvons supposée que la couclie dont nous venons de compara l'action à relie de la proposée, vienne se confondre avec celle dont la surface extérieurs passe par le point. M. Ces deux actions étant de même sens, et proportionnelles aux masses des deux couches, l'une d'elles détermine l'autre. D'où Ton toit que, pour reconnaître l'action dune couche sur un point extérieur, il suffi I de calculer celle qu'exerce sur ce même point une couche hownfocalc et de même mariéic, dont la surface extérieure passera par ce point, et de la multiplier par te l'apport du volume de la pivmièfo à celui de la seconde, sans rien changer àsa direction.
Calcul de faction d'une conclu: elliptique sur un point de sa surface.
\'M. Suit M I fig. 5a) un point quelconque de la surface
STATIQUE. 3l3
d'angles solides, composant l'espace situé d'un même côté du plan tangent.
Soient dtù l'un quelconque de ces angles, et MM' la direction d'une de ses arêtes : on peut décomposer la partie de la couche qu'il renferme en éléments dont le volume aura pour expression r*drd(ù, r étant leur distance au point M. Multipliant par la densité p, par la force attractive fdè deux unités de masse, situées à l'unité de distance, par la masse f«. du point supposé en M, et divisant par le carré de la distance, on aura l'attraction de l'élément de la couche sur la masse (i ; son expression sera
intégrant de M à P, on aura
p/jxMPrfw; intégrant ensuite de P' à M', on trouvera
Or, M' P' = MP, puisque les deux ellipsoïdes sont semblables ; donc l'attraction de la partie comprise dans l'angle do* se réduira à
2p/f*MPrfo>.
Multipliant cette force parcos PMK, on aura sa composante, suivant la normale, et l'on obtiendra ainsi, en observant queMPcosPMK=MK,
2p/f* MRrfw.
Celte expression n'est exacte qu'en supposant l'arc PK infiniment petit, comme cela a lieu ici, puisque MK est infiniment petit.
L'angle extrême KMP est droit, parce que PK est un in-
3i4 iime i.
fini ment pelil d'un ordre moins élevé que MK; de tune que, si l'on fait la somme de toutes les «[pressions semblablés, pour lous les éléments dot, on aura, pour l'art ion 'le la rourheenlière.
Au lieu de l'épaisseur MK de la couche .111 point M, il vaut mieux introduire la dillcremc des demi grands axes a cl a + i/a des deux surfaces.
MK QO
