Le problème que nous nous proposons est celui-ci

Etant données les forces et les diverses conditions par lesquelles est déterminé le mouvement absolu d'un point matériel; étant donné en outre le mouvement absolu d*un . système rigide : trouver les forces et les diverses conditions qui détermineraient sur ce point un mouvement absolu, identique à son mouvement relatif au système.

Ainsi, nous voulons faire rentrer la considération du mouvement relatif dans la considération plus simple du mouvement absolu; et nous cherchons comment il faut modifier les données du mouvement absolu du mobile pour que le mouvement absolu qui en résultera soit identique à celui que ce point a par rapport au système.

Soient AX, A Y, AZ trois axes fixes de coordonnées, et A'X', A' Y', A'Z' trois axes liés au système, et auxquels nous rapportons les positions du mobile; de sorte que son mouvement absolu est déterminé par les valeurs successives de x, y, z\ et son mouvement relatif au système, par les valeurs de x', y\ zf.

L'état initial donné, tant pour le point, que pour le système que nous réduirons aux axes mêmes X', Y', Z', fera connaître à ce même instant l'état initial relatif; c'est-à-dire

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les valeurs de x\ y, z\ — — ? —--» — •

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Ainsi d é j ;'i on connaît l'état initial du point dans le « vemcnt absolu qui serait identique au mouvement rclatil en question. 11 ne reste donc plus qu'a déterminer la force accéléra triée qui doit être appliquée à chaque instant au point, dans ce mouvement absolu.

Or nous savons comment, dans tout mouvement absolu, la forte accélératrice est déterminée, eu grandeur et eu direcliou, par la déviation. En appliquant cette régie a L déviation relative du point, qui n'est autre chose que la déviation dans le mouvement absolu que nous cherchons, nous connaîtrons la force qu'il faudra supposer appliqu au mobile partant d'un état iuilial identique à son état in tial relatif, pour avoir un mouvement absolu identique i son mouvement relatif. Et c'est cette force que nous riéi

■■'!■: i ■ sous le nom de force relative. Il suffira done, t avoir la solution de la question qui nous occupe, de • rappeler la décomposition que nous avons faite prête' meut, de la déviation relative (n° 61).

Cette décomposition étant faite suivant la même loi t celle des forces, si nous représentions la force par la dir tîoii, les composante» de la force seraient rrpréscméea ï

l»a première est, la force donnée elle-même ;

La deuxième est la force d'inertie développée par le point du système, qui coïncide avec le mobile, à F in s tant que Ton considère;

La troisième a pour valeur aoûfv sinJj vr désignant la vitesse relative du mobile, (à la vitesse angulaire du système autour de son axe instantané de rotation, et & V angle que fait la direction de la vitesse relative avec Vaxe instantané. La direction de cette troisième force est perpendiculaire au plan mené par cet axe et la vitesse relative, et dans le sens contraire au mouvement de rotation : en d'autres termes, elle est F axe de la rotation qui amènerait la direction de la vitesse relative vers celle de l'axe instantané, par le plus court chemin.

Cette décomposition de la force relative est due à M. Coriolis, qui a nommé force d* entraînement la seconde composante changée de sens ; et force centrifuge composée la troisième composante. Le mouvement relatif avait été considéré d'abord par Newton dans le cas des planètes, en supposant aux axes mobiles un simple mouvement de translation. Clairaut avait examine plus tard le mouvement dans un plan, en supposant aux axes mobiles un mouvement quelconque dans ce plan; mais il avait fait une omission qui a été corrigée récemment par M. Bertrand. M. Coriolis est le premier qui ait donné l'expression générale des forces fictives dont l'introduction ramène le mouvement relatif à un mouvement absolu.

283. Mais il faut bien remarquer que ces forces fictives n'étant pas données, et dépendant du mouvement relatif même, par les quantités e0 et à, rendent le problème extrêmement compliqué. Cette décomposition de la force relative, qui peut cire fort utile dans diverses questions, n'est autre chose qu'une interprétation des équations différen-

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tielles que l'on établirait iruiuédiatemcMt pour pifnèder :i la recherche îles équations <lu mouvement relatif : c'est même ainsi que M. Coriolis est parvenu à l'e\prcssion du .composantes de la force relative. Et dans le cas où, par I* nature des données, le mouvement absolu du point pourrait flirt1 complètement déterminé, il ne faudrait pas employer la forée relative, mai» déterminer le mouvement absolu; on serait alors ramené à uno combinaison de moin mi inconnus, ce qui rentrerait dans les questions imitées fant le second livre. Dans les cas les plus compliqués, le système des équations à traiter se compose des trois équations du mouvement absolu du point, el d'une ou deux équations de condition où peuvent entrer les coordonnées absolues .r, l , z, les coordonnées relatives x', > ', z', el d'autres quantités dépendantes du mouvement du système : on a eu outre les équations qui lient les coordonnées dans les deux systèmes, et dont les cocllicicnls sont des fonctions données du temps.

Si le point, est libre, ou si les équations de liaison dépendent que de x, y, zy le mouvement absolu peut déterminé séparément; mais il n'eu est plus ainsi 1<

ison rtr ?ui être IsnqoM

DYAAMIQUK. 4jl

lèles à eux-mêmes, la force accélératrice relative est la résultante de la force accélératrice donnée, et dune force égale et de sens contraire à celle qui déterminerait le mouvement d'un quelconque des points du système.

Ce cas particulier est celui auquel on se borne ordinairement dans les Traités élémentaires de Mécanique; il suffit an calcul du mouvement relatif des planètes. Cette dernière proposition peut être immédiatement établie sans recourir à la proposition générale dont nous lavons déduite-, il suffirait de suivre, en partant des données de ce cas simple, la même marche que pour le cas général, et Ton arriverait tout de suite au résultat : nous ne nous arrêterons pas à ce détail.

Si le mouvement de translation du système était recti ligne et uniforme, la seconde composante disparaîtrait aussi; et la force relative ne serait autre chose que la force donnée elle-même.

285. Cas où le système a un mouvement de rotation uniforme, application à la terre. — Dans le cas que nous considérons, la force d'inertie d'un point du système rigide, ou la seconde composante de la force relative, est précisément la force centrifuge en ce point; la troisième composante est toujours imtùvr sind. Voyons ce que deviennent ces expressions dans le cas où le système rigide est la terre.

Le mouvement autour du soleil étant produit par une force appliquée à toutes les molécules, et qui peut être regardée comme sensiblement la même pour des masses égales, quelle que soit leur position dans la terre, ne change pas d'une manière appréciable les mouvements relatifs, et nous en ferons abstraction. Nous considérerons donc la terre comme ayant un mouvement uniforme de rotation autour de son axe immobile ; la rotation entière s'effectue

si.l.-.nl, c'esl-i-dirc d.ti 8rii6£; Joù résulte

Le terre , joigm

une nés-petite quantité. L'angle 3 est celui que ssc relative avec l'axe de la terre, ou le couiplé- ■ihii quelle fait avec l'équateur; de sorte que [ la projection de la vitesse relative sur l'équa-

posant la vitesse relative peu considérable, li composante est très-petite par rapport aux deui , si on la néglige dans une première approximative à la proposition suivante : twemenl apparent d 'un point à la Surface He la

être calculé en supposant la terre immobile, et 'a force centrifuge à celles qui agissent effective- :cpvmt.

action de la terre est la seule force agissant sur eionibe sur le résultat déjà obtenu dans le

DYNAMIQUE. 4j$

serait le même que l'état relatif initial, et dans lequel la force serait la résultante de la force donnée et des deux forces fictives, c'est-à-dire la force relative; il s'ensuit que toutes les propositions démontrées dans le mouvement abfolu d'un point libre, subsisteront dans le mouvement relatif» en y considérant le point comme soumis à l'action de la force relative. Nous allons en donner quelques exemples.

287. Principe des aires dans le mouvement relatif. — La remarque que nous venons de faire nous donne immédiatement les conséquences suivantes :

Lorsque la force relative d'un mobile passe constant* ment par un même point du système en mouvement, la trajectoire relative du mobile est plane, et le rayon vecteur, mené du point constant au mobile, décrit des aires relatives proportionnelles aux temps correspondants.

Et réciproquement :

Si le rayon vecteur mené d'un point constant du système au mobile, décrit des aires, dont les projections sur trois plans rectangulaires liés au système croissent proportionnellement aux temps; ou, en éH autres termes, si la trajectoire relative d'un mobile est plane, et que les aires décrites par son rayon vecteur partant dfun point constant de ce plan croissent proportionnellement au temps, la force relative qui agit sur le mobile passe à chaque instant par ce point constant.

288. Équation des forces vives dans le mouvement relatif d'un point libre. — Eu considérant le mouvement absolu qui est identique au mouvement relatif du mobile, la moitié de l'accroissement de la force vive dans ce mouvement, pendant un temps infiniment petit, sera égale au travail des forces pendant ce même temps. Donc, en introduisant les dénominations du mouvement relatif, le travail

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