CHAPITRE IX

l'RLNCIPE DE LA MOINDRE ACTION.

27i). Lorsqu'un point libre, nu . ■ - ■ ■ ■ j . ■ 1 1 i à se mouton m* tint' ïurliiw: fixe, est soumis à l'action de forces t«Jln

<~Yl/r + Zllz = <lt{xty,i),

In courbe qu'il décrit jouit de la propriété rminjuni qu'on prenant pour v celle valeur eu X, y, s, l'intégrale fvds, prise entre deux points quelconque* A et de celle courbe, est moindre qu'elle ne le serait pour loulc autre courbe terminée aux deux points A, B, et assu-

DYNAMIQUK. 46 1

toutes ces intégrales étant prises entre les deux points A et B. Or

et F équation

donne

et il faut remarquer que dans X, Y, Z les valeurs de x, y, z se rapportent aux points de la trajectoire, et que x -H dx* y -+- dy, z -h dz sont celles des points correspondants de la courbe infiniment voisine.

Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe, on a à chaque instant

— r=X-f-N cos>, ~- = Y -+- N cos fx, — =Z-f-Ncosv;

tft* rit2 rit7

et s'il est libre, il suffira de supposer N = o dans ces équations, qui peuvent ainsi représenter les deux cas. On en déduit

— N (êx cosX 4- 8y cos f* -H $z cosv).

Or la dernière partie du second membre est nulle si le point est libre, parce qu'alors N = o. Elle est nulle encore si, le point étant assujetti à rester sur une surface fixe, la courbe infiniment voisine est aussi assujettie à s'y trouver, parce que la droite qui joint deux points correspondants étant perpendiculaire à la normale dont les angles avec les axes sont A, /*, v, on a

$x cos \ -+- S y cos f* H-- tz cosv := o.

\dc df J dn }

Maintenant de l'équation

di' = ilt'+- dy' + dz'

ih S1I.1 = drSdz -f- dy tdjr + dtidi ;

iijuea -j el d~.

ut par lit, pi iiHirvertiasnnl

dt dt ■" dt

il les deux punies de la variation de fvtts, on

général, minimum ou maximum. La question ne comporte pas de maximum; mais il pourrait se faire qu'il n'y eût pas non plus minimum.

Quand le mobile est assujetti à rester sur une surface Gze et n'est sollicité par aucune force extérieure, sa vitesse est constante, ut fvds=zvs; donc Tare parcouru est un minimum entre deux quelconques de ses points, et, par conséquent, le temps employé à le parcourir est aussi minimum.

280. Application au mouvement d'un point. — La trajectoire décrite par un point libre, ou assujetti à rester sur une surface, satisfaisant à la condition de minimum pour l'intégrale fvds, lorsque Ton a

Xdx -h Ydy -h Zdz = d.o(xf y, *),

on peut, en exprimant celte condition, parvenir aux équations de cette ligne. Considérons d'abord le cas d'un point libre.

En mettant pour u sa valeur tirée de l'équation

il faudra écrire les conditions de minimum de l'intégrale

/ v/r/x'-H dy* h- dz2 fa<f(x, y9 z) -+-C.

Les règles du calcul des variations conduisent aux équations suivantes :

Xds I dx\ Yd

i» \ ds

ds / dy\ Zds / dz\

v \ ds I r \ ds )

On sait que ces trois équations se réduisent à deux, et ce sont celles de la trajectoire, en remplaçant v par sa valeur

mu u.

«Il .T. )

' l""lr V

, =. Si l'on effectue les iliffércnnaiifim. en pir aiiaUc îmlépciiilaiiie, on olnirni

fl.r' rfï \ ds ds dtj

[POIlf

Si l'on

multiplie la première par ~i la seconde pU

dl'

et qu'on

lus retranche; qu'ensuite on multiplie la première

l la troisième p;ir — , et qu'où les retranche

i on

aura l«

; deux équations suivantes, qu'on pourra encore

conaidét

cr tomme celles tic la trajectoire :

„dx dy l {d.v\> dx ds di \d> ) ds '

supposer nulle la force provenant de la surface. On les intégrera après avoir remplacé v% par af (x, y, z) -+• C, et X, Y, Z par leurs valeurs données en fonction de x, y, z. Le principe de la moindre action donnerait de même les équations de la trajectoire quand le point est assujetti à se mouvoir sur une surface fixe.

281. Si Ton considéré un point libre sollicite vers un centre fixe par une force dépendante seulement de la distance, la courbe est plane, et Ton peut se borner à deux coordonnées a:, y } de plus, X dx 4- Y dy est une différentielle exacte, de sorte que le principe de la moindre action a lieu, et ou peut l'appliquer à la détermination de la trajectoire. Mais, dans ce cas, il sera plus simple d'employer un système de coordonnées polaires r, 0, en prenant pour pôle le centre d'action.

Soit <j> la force dirigée vers le centre, on aura, en supposant la constante renfermée dans l'intégrale indéfinie,

et l'intégrale qu'il faudra rendre minimum sera Le calcul des variations conduit à l'équation

r*dQj—*fodr d J -1 — =o,

y/dr'+ r*dV

r*/Y0 \l — *>. f*dr

sldr'-\-r*dW

c désignant une constante arbitraire.

On tire de là

r3 / dr> i \

B ^fc y

IIVIIK H.

— ik-m

La farce -s état

ii donnée eu fonction do r, J^dr serj bbB

fonction connu

<■ de r, et ton aura ainsi l'équation polaire

<lc la [rajoctoit

r. En la dîffèreii liant par rapport ii r, pa

retrouve l'expr

i--.ion de la Corot 9, obtenue prixtHli-niuirni