FIXE OU MOBILE

Nous allons maintenant faire l'application des théories précédentes à la question importante du mouvement absolu ou relatif d'un point libre, soumis à l'action d'un autre point, qui peut être fixe ou susceptible d'être mis en mouvement par la réaction du premier.

1. Considérons d'abord un point matériel libre sollicité par une force dont la direction passe par un point fixe, et dont F intensité ne dépend que de la distance à ce centre d'action. Nous savons que le mouvement aura lieu dans le plan qui contient la direction de la vitesse initiale et le point fixe. Prenons ce point pour origine de coordonnées rectangulaires x, y situées dans ce plan ; désignons par t la distance d'un point quelconque à l'origine, par 9 l'angle II. i

de ce rayon vecteur avec l'axe des x positifs, et par y l'intensité de la force accélératrice. Les cosinus des angles q

sa direction fait avec les axes seront respect! veiaeni -

— — si la force est attractive ; et -, — sî elle est r épulsi v> Les composantes de la force seront, dans le première

— m -, — 91 — ■ et, dans le second, <p— , y — : nos formules

se rapporteront au premier cas, et il suffirait d'y changer !e signe de y pour passer au second.

Les équations générales du mouvement du point sen

tPy

s aires donnera

c désignant une constante arbitraire qui se déterminera fi cilemenl par les données de l'état initial.

En cll'el, les composantes de la vitesse, suivant ta dir<

timi du ratnn vi-clt-nr et la rai|-iM-rnliciilsiif il «rifitir.

on obtient

c = r„ i»# sina.

Le principe des forces vives conduira à l'équation suivante :

d.t*1 =r — Zfdr,

d'où

ds*

cette intégrale indéfinie renferme une nouvelle constante arbitraire qui sera déterminée par les valeurs initiales de v et r. On trouvera ainsi

>» = pj — a l y dr.

Remplaçant rfjf par A1 -hrV6% lavant-dernière équation devient

Eliminant dt au moyen de l'équation (i), on obtiendra une équation entre /• et 0 qui sera celle de la trajectoire; il vient ainsi

2. Lorsque la force cp sera connue en fonction de r, F équation (3) déterminera la trajectoire.

.Lorsque au contraire la trajectoire sera connue, et que la force <p sera inconnue, il suffira de différentier l'équation (3) par rapport à r, pour connaître y. On trouve ainsi, en effectuant généralement cette différend ation,

Cette Connu

immédiatcmci:

le n'est autre chose que celle que nous avion* t déduite de celles de Newton (t. I", n" 241).

Le second n

icmbre de celte équation se formera en fai-

saut usage de 1 quefoïs plusco et de n'opérei-

' équation de la trajectoire ; maïs il sera qnelnnnode d'employer à cet eilet la formule (3),

la dillcrcniiaiion qu'à la fin.

Dans tous I<

s tas, l'équation de la irnjecloire étant i on-

mie, ou eu tii

lia l'une des deux coordonnées en fonction

de l'autre, et,

par suite, l'équation (i) fera connaître ( en

fonction de r c donc complète coordonnées d

ii de 0, et réciproquement. Le problème aéra ment résolu, puisqu'on aura l'expression des u mobile en fonction du temps.