SYMETRIE DES POLYÈDRES

Remarquons maintenant que, pour une rotation de a, ou de 5a, ou, en général,

<j0 [s,p -+- i) x, c'est toujours un plan identique avec T que l'on obtient. Si donc ii est impair, le dernier plan obtenu, qui doit rire un plan T, se trouvant en coïncidence avec un plan S, il faut que les plans S el T -oient identiques. Le polyèdre ne comporte donc, se coupant suivant <>, qu'une seule catégorie de plans de symétrie. Au contraire, si n est pair, c'est toujours un plan S qui revient, après une rotation de i8o°, en coïncidence avec le plan SSt*. Donc, dans ce cas, il peu! y avoir deux espèces de plans de symétrie.

En tout cas, soit M un sommet du polyèdre, dont M' est le symétrique relativement à OS. M' aura, relativement à OT, son symétrique M,, lequel se répétera en M\ relativement à OS. Il est d'ailleurs facile de voir que l'angle M< » .M, est égal à >'j., puisque MOS est égal à M, OS': De même M'OM', = 2a. Donc, à tout sommet M correspond son

symétrique M,, obtenu par une rotation de 27. = — autour

île l'axe 0. Donc la ligne projetée en 0 est un axe d'ordre n. Ainsi, dans tout polyèdre, la ligne d'intersection commune de n plans de symétrie est un axe d'ordre n.

L'existence, dans un polyèdre, d'un axe d'ordre n, n'implique pas nécessairement celle de n plans de symétrie se coupant suivant cet axe. Mais, s'il en existe un, il doit v en avoir n en tout. En effet, revenons à la figure 16. Soit S un plan de symétrie passant par l'axe 0. Un sommet quelconque M exige, relativement à S, son symétrique M' et ces deux sommets en vertu de Taxe 0, se répètent en M, et M',, à des

dislances angulaires de M et de M' égales à — -. Or il est aisé de voir que

la ligne OT, bissectrice de M'OM, et la ligne OS', bissectrice de MjOM', sont les traces de deux plans, relativement auxquels tous les sommets sont symétriquement distribués et que, de plus, chaque angle tel que SOT est

égal à - .

A l'aide d'une démonstration identique, on ferait voir que si, dans un polyèdre, il y a n axes binaires situe's dans un même plan, auquel cas on sait que ces axes concourent au même point, deux axes consécutifs font un angle constant, égal à

-. De plus, si n est pair, il peut y avoir deux sortes d'axes, tandis qu'il n'y en

a qu'une seule quand n est impair.

Relation des axes binaires et des axes multiples. — Lorsqu'un polyèdre possède n axes binaires dans un même plan, il possède en outre un axe d ordre n perpendiculaire à ce plan.

Considérons (fig. 18) deux axes binaires consécutifs, OL,, OL,, vus en perspective et faisant entre eux un angle L,OL, égal à -. Soit S un sommet quel-

Fie. 17.

SYMÉTRIE CRISTALLINE

conque du polyèdre. En menant S A perpendiculaire à (>L, et prolongeant d'une quantité égale AS,, on est sûr de trouver en S, un autre sommet; car une rotation de 1 8o- autour de OL, amène S en S,. De même, si S, B est perpendiculaire à OL* et que BS, suit égal à LS,. S, sera aussi un sommet du polyèdre. Des - S,, S,, abaissons, sur le plan L,OL„ les trois perpendiculaires Ss, S, 5,, S2s,. Le plan qui passe par SSf, Ss et S, s, contiendrait aussi la perpendiculaire à OL,, menée par A normalement au plan L,OLr Comme d'ailleurs SS, est aussi perpendiculaire à OL,, le plan en question est normal à l'axe binaire OL, et coupe le plan L,OL, suivant une ligne ssv qui passe par A et qui est perpendiculaire à OL,. D'ailleurs, dans les triangles rectangles égaux SAs, S, A.*,, sA = s,A. Donc, dans les triangles rectangles OsA, 0*, A, l'angle sOA est égal à l'angle s,OA. On verrait de même que s,OB = SjOB. Donc

l'angle s/Js est le double de l'angle L,OL2, c'est-à-dire qu'il est égal à — . D'au ire

part, si par S et S, on mène deux droites parallèles àsO et s20, ces deux lignes se couperont en 0', sur une ligne menée par le point 0 normalement au plan

es 1. inaires, et on aura SO'S, = *Os= — . Par conséquent tout sommet

tel que S se substituera à un autre S, par une rotation de — autour de 00'.

1 h ) est un axe d'ordre n.

La même démonstration retournée servirait à établir que si, perpendiculairement ii un are d'ordre n, il existe un axe binaire, il doit y en avoir n en tout.