SYMETRIE DES POLYÈDRES

cette définition des éléments identiques une rigueur suffisante, au lieu de procéder à une classification plus ou moins arbitraire des Bolides prismatiques, nous donnerons, avec Bravais, pour hase à cette recherche, L'étude des conditions générales de la symétrie.

D'ailleurs les assemblages réticulaires ne -oui qu'une espèce particulière de polyèdres géométriques, c'est-à-dire de solides définis par des points ou sommets, entre lesquels <>n imagine des lignes el des surfaces. Il conviendra donc d'établir avant toul les lois de la symétrie des polyèdres, après quoi il y aura lieu de préciser les restrictions que ces lois comportent, quand on impose aux polyèdres la condition de présenter nue disposition réticulaire.

Définition des éléments de symétrie. — La symétrie dans les polyèdres se définit à l'aide des centres, des plans e1 des axes.

Un centre de symétrie est un point tel, que tous les sommets du polyèdre considéré soient distribués, deux à deux, sur des lignes droites passant par ce point et à égale distance de part et d'autre.

Un phin dr symétrie est un plan qui partage le polyèdre de telle façon, que 1rs sommets soient situés deux à deux sur des perpendiculaires à ce plan et à ('■gale distance de part el d'autre du plan.

Enfin un n ve de symétrie est une ligne telle que, si l'on imprime au polvèdre, autour de cette ligne, une rotation d'amplitude déterminée, tous les soin mets de ce polyèdre se trouvent simplement substitués les uns aux autres, continuant à occuper les mêmes lieux de l'espace. L'axe est dit d'ordre n, lorsque la

rotation par laquelle s'opère la substitution des sommets est égale à — . Ainsi

une rotation de — = 1800 détermine un axe d'ordre 2 ou binaire. A une rota-

tion de — ou 1200 correspond un axe d ordre 3 ou ternaire, etc.

Relations mutuelles des éléments de symétrie. — Lorsqu'un polyèdre possède ensemble plusieurs axes ou plusieurs plans de symétrie, ces a.res et ces plans doivent se couper en un nié/ne point. En effet, si l'on considère tous les sommets du polyèdre comme des points matériels également pesants, il est clair que le centre de gravité devra se trouver à la fois sur tous les axes et sur tous les plans de symétrie. Donc ces axes et ces plans doivent avoir un point d'intersection commun, qui est ce centre de gravité.

Lorsqu'un polyèdre possède un centre de symétrie, l existence d' un plan de symétrie implique celle d'un axe d'ordre pair et n'-riproquement. D'abord il est clair que le centre de symétrie, qui coïncide avec le centre de gravité, doit se trouver sur le plan de symétrie. Soient donc lîg. 16) Ole centre, P le plan donné et A un sommet quelconque du polyèdre. Si, de A, nous abaissons AC perpendiculaire sur P et que nous prolongions cette ligne d'une longueur égale CA,, nous sommes sûrs de rencontrer en A, un sommet du polyèdre. Il en sera de même si nous joignons AO et que nous prolongions cette ligne d'une quantité

SYMÉTRIE CRISTALLINE

jst.

Fi>. 16.

égale OA . Du point A . abaissons A D perpendiculaire sur P et prolongeons d'une quantité égale A', D, A , sera encore un des sommets du polyèdre. Or si

- joignons AA,, A, A'. A, A',, il esl clair que nous obtiendrons un rectangle perpendiculaire au plan P, et dans lequel les lignes AA', et A, A', paral-

ce plan, sont de longueur égale à CD. Si donc, par le rentre 0, nous menons une ligne LL' normale à P, cette ligne sera contenue dans le rectangle et partagera les lignes AA el A, A . auxquelles elle sera perpendiculaire, en deux parties «'gales. Donc, si l'on fait tourner le polyèdre de 180° autour de LL', on ne fera que substituer le sommet A au sommet A',, et comme la même chose aura lieu pour tous les sommets, la ligne II. sera, pour le polyèdre, un axe au moins binaire. D'ailleurs la démonstration peut être présentée en ordre exactement inverse, ce qui permet d'établir la réciproque. Ainsi, partout où il y a un centre, l'existence des plans de symétrie et celle des axes binaires normaux sont intimement liées.

Intersections et angles des plans de symétrie et des axes binaires. — Quand, dans un polyèdre, il y a plusieurs plans de symétrie, nous savons s plans doivent tous se couper au même point. Mais leurs intersections deux à deux sont des lignes droites qui, pourvu qu'elles passent en ce point, peuvent différer de position. Cela posé, on peut établir que si, dans un polyèdre, plusieurs plans de symétrie se coupent suivant une même ligne droite,

l angle de deux plans consécutifs est constant et égal à — , n étant le nombre des

f>'ans.

Pour le démontrer, projetons (lig. 1- les divers plans sur un plan perpendiculaire à leur intersection commune, qui s'y projette en 0. Soit OS et OT ceux de ces plans qui font entre eux le plus petit angle, que nous appellerons a. Ces deux plan-, remarquons-le bien, quoique plans de symétrie l'un el l'autre, : t n être pas identiques quant à la répartition des sommets autour de chacun d'eux. Mais l'existence du plan OT entraîne l'existence du plan OS', identique av< c « 'S et taisant, à droite de OT, l'angle %. A son tour, OS' nécessite un plan OT', identique avec OT et séparé de OS' par le même intervalle angulaire /.. En continuant ainsi, on finira par arriver à un plan OX, qui ne peut faire. avec OS,, prolongement de OS, un angle différent de a; car, par hypothèse, cel angle ne peut pas être plus petit et, s'il était plus grand, cela ' qu'on n a pas épuisé la série des répétitions. Donc XOS, est égal les divers plans, au nombre do n, font entre eux des angles tels que nx = -. En général, n est un nombre entier fini; mais, dans le cas d'un solide rotation, il peut être infini.