SYMÉTRIE DES ASSEMBLAGES

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Soient N Bg. ig un nœud et <> la trace de l'axe d'ordre // sur un plan normal à cet axe et passant par N. Si nous imprimons à 1 assemblage une rotation de — autour de 0, N viendra en N' et par suite N' doit lire la position n *

d'un autre nœud. Donc \N est une rangée. Si donc nous imprimons à toul le système, suivant cette direction, une translation d'amplitude égale à N'N, il y aura simplement substitution des nœuds et rien ne sera changé. Dailleurs, dans ce mouvement, <> viendra en 0'. Or on eût obtenu exactement le même résultat par une rotation de — autour

d'une ligne normale au plan et passant par N. Donc celle ligne est un axe d'ordre n. Il suit de là que si, dans un assemblage, il existe une direction d'axe de

symétrie, un axe du même ordre et de même direction passe par chacun des uœuds. On eût pu le déduire, d'ailleurs, du fait que chaque nœud est un centre, puisque nous savons que, dans un polyèdre centré, les axes et les plans passent nécessairement par le centre. Ce fait, en vertu d'un théorème déjà démontré, entraîne une autre conséquence : c'est que, si un assemblage possède un axe binaire, il possède aussi, passant par chaque nœud, un plan de symétrie normal à ci axe et réciproquement.

Tout ave de symétrie passant par un nœud est une rangée.

Y.n effet, soit LL' (fig. 20) un axe d'ordre n et soit N un nœud pris sur cet axe. Soit XN, une des rangées issues de N. La symétrie propre à l'axe exige l'existence de n — 1 autres rangées d'égal paramètre, symétriquement disposées autour de LL'. Or on sait que, dans un assemblage, deux rangées issues d'un même point se composent, suivant la règle du parallélogramme des forces, en une rangée résul- : tante. Mais la composition des n rangées égales, symétriquement disposées autour de Taxe LL', ne peut donner lieu qu'à une résultante dirigée suivant l'axe. Donc cet axe est une rangée.

Lorsqu'un assemblage possède un axe de symétrie, tout plan mené par un nœud, normalement à cet axe, est un plan réticulaire.

Le théorème est évident quand l'axe est d'ordre supérieur à %; car alors, en faisant tourner le nœud autour de l'axe, on en obtient au moins deux autres, situés dans le même plan normal et qui suffisent, avec le premier, pour déûnir un réseau.

Si l'axe est binaire, il suffit d'observer que, par chaque nœud, on peut mener une perpendiculaire à cet axe, laquelle aboutit, de l'autre colé, à un nœud symétrique. D'ailleurs, par un nœud quelconque, on peut mener des parallèles

DE I. APPARENT, COURS DE M1NIR ALOfilE.

à toutes ces lignes, avec la certitude que ces parallèles seront des rangées issues du nœud, et toutes ces rangées formeront un plan rétieulaire, normal à L'axe en question.

La conséquence île ces théorèmes est que tout plan de symétrie mené par un nœud est un plan rétieulaire. En effet, par le même nœud, en sa qualité de centre, passe nécessairement un axe binaire perpendiculaire au plan. Ce dernier rentre donc clans les conditions des plans menés par des nœuds normalement à des axes de symétrie.

Nature des axes de symétrie admissibles. — Nous arrivons maintenant ;i un théorème d'importance capitale. Tandis que, dans un polyèdre quelconque,

rien ne limite à l'avance le degré dont la symétrie ~=)V> d'un axe est susceptible, la constitution des assem-

blages réticulaires est telle quelle ne permet pas

\ / \\ l'existence (Taxes de symétrie autres que ceux d'ordre

// Soit N0 ffig. ai) un nœud pris sur un axe d'ordre

\ // n. Dans le plan rétieulaire, normal à cet axe, qui

"a"- ---^n, passe par N0, soit N, un second nœud, tel qu'aucun

i ig. 21. autre ne soit plus voisin que lui de N0. Si l'on fait

tourner N0N, autour de l'axe projeté en N0, de

l'angle z = — nui convient à la symétrie de cet axe, on devra obtenir en N, un

nouveau nœud du même plan rétieulaire.

Mais N,N, ne peut pas être plus petit que N0N, ; car, en vertu de l'identité des nœuds, une parallèle à N,Nj, menée par N0, doit rencontrer un nœud N3 à la distance NjNgi^NjNjj et, par hypothèse, la distance de N0 à un nœud quelconque ne peut pas être inférieure NyN,. Donc le minimum de N,N2 correspond à NiN, = NoNI = TÏ0'N3:=N8'N3, c'est-à-dire que la plus petite valeur de l'angle x esl de Cm> degrés. Dans ce cas, n est égal à G.

Ainsi la pins grande valeur que puisse recevoir le numéro d'ordre d'un axe

de symétrie est 6. Tout nombre supérieur serait

,-- — !"""■-., incompatible avec la constitution rétieulaire des

assemblages. L'axe étant sénairc, le réseau plan

\ normal a pour maille un losange NqNjNjNj, composé

*„;__ par laccolement de deux triangles équilatéraux.

'"]/*< ' Cherchons maintenant la première position que

le nœud X., puisse occuper pour une valeur de n

v X ; y' y inférieure à 6.

--*-■■ Nt Pour une position telle que N., (lig. 22), il s'en

trouvera une autre .Y,, à la distance NsNa = N1Nt,

et plus grande que \\,. \,\ sera la bissectrice de

Nj Y\- Si donc, pour compléter le parallélogramme dont N,N,N8estIe

SYMÉTRIE DBS ASSEMBLAGES M

triangle générateur parallélogramme qui ne peut être qu'un losange, puisque cleu\ côtés adjacents sont égaux), on mène N, X ', parallèle à X,X, et N,N't, parallèle à N,N„ ces deux lignes se rencontreront en un point Y.,, situé sur N.N0, entre N , et la circonférence de l'autre côté de ce point.

Mais la constitution réticulaire interdit, sur la direction X„X,, tout autre paramètre que la distance N0Nj elle-même. Ii faut

donc que le point N',, qui dans la solution précé- ,„--""/*\"-^

dente coïncidait avec N0, se reporte en N4, sur la /' / \^ \

circonférence même. Gela ne peut avoir lieu que / / \ \

si N,N0N,est égal à 900. On passe donc forcément Njs' ; >Jn,

de n = 6 à n=',, c'est-à-dire à l'axe quaternaire, \\ | / }

ce qui correspond à un réseau à inailles carrées, y' /

dont le côté est N0N, Bg. a3). x-./\: /,.■■''

Maintenant, soit toujours .Y, Gg. a'i le second N*

nœud cherché. Le nœud Y,, qui doit lui corres- Fi?. 23.

pondre sur N0N2; ne pouvant plus se trouver en N4

sur la circonférence, devra venir en N5, à une distance N4N8 = N0Nt. X,XS sera donc une des deux diagonales du losange. L'autre devra être perpendiculaire à la première et passer par le milieu A de N0N4. Alors les trois nœuds conjugués seront N,, N„ Y. situés sur la circonférence a des distances angulaires de 110 degrés. /]\5 Dans ce cas, n =. 5 et Taxe est ternaire. / ; \

Le réseau a pour maille le parallélogramme N.Na YN5; mais comme N0N, exige N0N', et qu'à N0N3 / ,..-;4^-"-.., \

correspond N0N'3, on retombe sur un réseau plan à é^-'' """"O"*

maille rhornbe de 60 degrés. ?\>" '~"Ja "/S*

Enfin, en dehors de ce cas, il n'y a plus qu'une / ; \ ~v^ ! ,''' / ; \ solution admissible : celle qui, reportant le nœud X', '. ' \ -'^ "--> / '< i à une distance de N. égale à trois fois le rayon, \L-'' v> ' vv'

place l'intersection des diagonales du losange en N4, 'NC""-^\ i /.■■''/''

réduisant ce losange à une simple droite : auquel cas ~"~n~2"~

on a « = 1, c'est-à-dira un axe binaire, rien ne fixant pig. 2V

la maille du réseau plan normal.

En résumé, la symétrie réticulaire n admet que des axes binaires, ternaires, quaternaires ou sénaires, el la symétrie qui correspondrait à ri = j est incompatible avec la constitution des assemblages cristallins.

Relations mutuelles des plans limitrophes dans les assemblages à axes d'ordre pair. — Nous allons démontrer maintenant que, dans un assemblage, tout axe d'ordre n, supérieur à 1, est l'intersection commune de n plans de syméiric. Pour cela, il convient d'établir une proposition préliminaire :

Dans un assemblage pourvu d'un axe d'ordre pair, si l'on considère les plans réticulaires normaux à cet axe, les nœuds de l'un d'eux, projetés orthogonale-

SYMÉTRIE CRISTALLINE

mont sur Le plan limitrophe, viennent tomber soit sur 1rs nœuds de ce plan, >oit au milieu des distances qui les séparent.

Suit LL Gg. ±*> l'axe d'ordre pair, mené par un nœud N* d'un certain plan réticulaire u° a et coupé, à des distances égales, par les plans limitrophes i et 3. Supposons que ces intersections ne soient pas des nœuds et soit N, le nœud de i le plus voisin de LL'. Prenons pour plan du tableau le plan passant par l'axe et par N . Le plan a, normal à un axe binaire, est un plan de symétrie. Donc N, exige son symétrique N's. En outre, si l'on mène N,N', parallèle à N,N'„ N', sera un nœud et l'intervalle paramétrique N2N'2 sera divisé en deux

parties égales par la ligne N,N'3. Ainsi tout nœud N, du plan i se projettera sur le milieu de l'intervalle de deux nœuds N.,, N'a du plan a.

S il y avait un nœud en n,, il y en aurait un autre en nr De plus, N, étant supposé le plus FiK. 25. voisin de //,, la rangée NtN'3

devant être identique avec LL', il faudrait qu'il y eut un nœud en n,. Dans ce cas les projections des nœuds de i e1 j coïncideraient avec les nœuds du plan i.

Cela posé, étudions le noyau de l'assemblage dans les trois cas qui peuvent se présenter et voyons quelles sont ses conditions de symétrie; car il est évident que les éléments de symétrie du noyau se retrouveront dans l'assembla".• aue ce novau suffit à définir.

Cas de l'axe quaternaire. — Nous savons que, dans le cas d'un axe d'ordre pair supérieur à i, la maille du plan normal ne peut être qu'un carré ou un losange de 6o degrés. Examinons d'abord le cas du carré, c'est-à-dire de l'axe quaternaire.

Si les nœuds du plan a se projettent sur ceux du plan i, le noyau de l'assemblage est évidemment un prisme droit à base carrée. Ce prisme a quatre plans de symétrie, qui sont les plans parallèles aux faces verticales et les deux plans diagonaux. Donc l'axe quaternaire est l'intersection commune de /» plans de symétrie. A chacun de ces plans correspond un axe binaire, axes "nt pour directions celles des deux côtés et des deux diagonales du carré de base. Ainsi à I axe quaternaire correspondent quatre axes binaires situés dans le plan normal.

Si les nœuds du second plan se projettent (fig. a6) sur les milieux des côtés du carré mi, ils doivent venir en aaaa. Mais aa est une rangée parallèle à ii et qui doit avoir même paramètre. Il faut donc que, dans le réseau i, il y ail

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