SYMETRIE DES ASSEMBLAGES

Fig. :■-.

des nœuds r situés au centre des carrés. La vraie maille devient donc ii'ii' il I noyau est un prisme oblique ayant, pour base inférieure, ii'ii et, pour base supérieure, 2222A. Ce prisme esl évidemment symétrique relativement

an plan 1 A.

Enfin, si les nœuds du second plan coïncident en projection avec les centres des carrés du premier plan, le noyau est un prisme oblique 1111-2222 (fig. •).- , évidemment symétrique relativement au plan diagonal iA. Dans l'un comme dans l'autre cas, puisqu'il y a un plan de symétrie passant par l'axe quaternaire, il y en a quatre en tout et, par conséquent, il y a aussi quatre axes binaires dans le plan perpendiculaire.

Cas de l'axe sénaire. — Passons au cas de l'axe sénaire. Si les nœuds du second plan se projettent sur ceux du premier, le noyau (fig. 28) est un prisme droit, à base rliombe ON,N, N',, et l'on voit de suite que ce prisme est symétrique relativement à ses deux plans diagonaux ON',, N/'N,. Les projections ne peuvent d'ailleurs occuper d'autres positions. En effet, chacune d'elles est le pied d'un axe sénaire, et il faut qu'en faisant tourner le système de Go degrés autour de ce point, on procure simplement l'échange des nœuds de l'assemblage. Or cette condition n'est réalisée que si le point en question coïncide avec un nœud, tel que 0. En résumé, dans la seule combinaison possible, il passe au moins un plan de symétrie par l'axe sénaire 0; donc il en passe en tout six. A ces six plans correspondent d'ailleurs six axes binaires, qui ne sont autres que les ravons et les apothèmes de l'hexagone régulier.

Cas de Taxe ternaire. — Il ne nous reste plus à examiner que le cas de l'axe ternaire. La maille, dans le plan normal, étant un rhombe de 60 degrés, les nœuds du plan ne peuvent plus se projeter ni sur ceux du plan 1, ni sur les milieux de leurs intervalles, car le plan normal deviendrait un plan de symétrie, ce qui obligerait l'axe à être d'ordre pair et le transformerait en un axe sénaire. Ces projections ne peuvent tomber qu'à l'intérieur des rhombes. Mais chacune d'elles est le pied d'un axe ternaire, puisqu'il passe un tel axe par chaque nœud, et il faut que les sommets du plan 1 soient distribués, autour du pied de cet axe, conformément à l'ordre de sa

Fig. 29.

5i SYMETRIE CRISTALLINE

symétrie. On en conclut sans peine que les projections doivent coïncider lig. ag avec les centres des triangles équilatéraux dont les rhombes sont formés. Mai-» comme, sur les rangées parallèles, les paramètres doivent demeurer égaux, tous les centres ne sont pas occupés, et au rhombe iiii du premier plan correspond, dans le second, le rhombe 2222, déplacé, relativement au premier, sur la direction AB, des deux tiers de la hauteur d'un triangle. 11 en résulte un noyau ayant la forme d'un prisme oblique à hase rhombe, évidemment symétrique relativement au plan AB. Donc il y a au moins un plan de symétrie passant par l'axe ternaire. Donc il y en a trois en tout, ei les axes binaires correspondants sont les côtés des triangles équilatéraux.

Résumé. — Ainsi, dans un assemblage, à un axe d'ordre n supérieur à deux correspondent toujours n axes binaires dans le plan normal. La réciprocité est donc absolue entre les axes de divers ordres.

Nous avons vu que, dans tout polyèdre, l'intersection commune de n plans de symétrie était un axe de symétrie d'ordre n. 11 résulte de ce qui vient d'être établi que, dans un assemblage, le nombre des plans de symétrie susceptibles de se couper suivant une même ligne ne peut être que 2, 3, \, ou G.

En vertu de la réciprocité qui lie entre eux les axes d'ordre supérieur et les axes lunaires, le nombre des axes binaires situés dans un même plan, ou celui des plans de symétrie se coupant suivant une même ligne droite, ne peut être que a , >. \ ou (>, Il suit de là que, dans un assemblage, deux axes binaires ou deux plans de symétrie ne peuvent faire entre eux que des angles de 3o, 45, Go ou <><> degrés. Toute autre valeur est incompatible avec la constitution des systèmes réticulaires.

Assemblages dépourvus d'axes multiples. — Tout nœud d'un assem- 1 tant un rentre de symétrie, un assemblage réticulaire doit toujours être déré comme un polyèdre centré. Dès lors, la présence des axes de symétrie entraine celle des plans. Par suite, le degré de symétrie le moins élevé dont un assemblage soil susceptible correspond à l'absence simultanée des axes ■ t des. plans de symétrie. Si, d'une manière générale, on désigne le centre par C, les axes par L et les plans par P, le symbole d'un tel assemblage pourra s'écrire.