NOYAU DU SYSTEME CUBIQUE

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orthogonalement en 0 et B, doivent se confondre avec deux nœuds du plan i. Donc ce dernier est à une distance du plan i marquée par le côté OA du carré. Donc le noyau de l'assemblage est un cube.

Mais les projections orthogonales des nœuds du plan 2 peuvent aussi tomber entre deux nœuds du plan 1. Ce ne peut être en E, au milieu du côté OA; car la normale en E serait une rangée parallèle à l'axe quaternaire; elle devrail donc être elle-même un axe quaternaire, ce qui n est pas possible, une îotation de 90 degrés autour de E n'amenant le nœud 0 en coïncidence avec aucun autre. Une seule position est admissible; c'est le milieu F de la diagonale OC, auquel cas le réseau 1 se complète par l'adjonction des nœuds F, G, H, K, formant un carré identique avec OABC. D'autre part les nœuds du plan n° 3 doivent toujours coïncider en projection avec ceux du plan 1. Donc ces nœuds seront engendrés par une rotation de 90 degrés, imprimée à OABC autour de OB. Donc l'intervalle des plans 1 et 2 est égal à la moitié de OA. Par suite, si un assemblage admettait des parallélépipèdes pourvus de nœuds dans leur intérieur, on pourrait dire que, dans ce cas, le noyau est un cube centré, c'est-à-dire portant un nœud en son centre, indépendamment de ceux qui occupent ses sommets. Mais considérons quatre cubes centrés juxtaposés (fig. 43 1 et joignons leurs quatre centres aux extrémités ABCD des trois

arêtes communes à trois de ces cubes. Nous formerons ainsi un parallélépipède n'ayant pas de nœuds à l'intérieur. Les faces de ce parallélépipède seront des losanges, puisque toutes les arêtes sont égales à la moitié de la diagonale d'un cube et, quant aux diagonales de ces losanges, l'une étant le côté du cube générateur, l'autre est justement égale à la diagonale d'une face cubique. Le solide résultant, formé de six rhombes égaux, s'appelle un rhomboèdre et 1 on peut s'assurer que les faces s'assemblent trois par trois autour d'un centre cubique, en formant entre elles des angles de 1200. Ainsi, dans l'assemblage cubique centré, le véritable noyau parallélépipédique est un rhomboèdre de 1200, dont toutes les arêtes sont parallèles aux axes ternaires de l'assemblage, tandis que les courtes diagonales des faces sont les axes quaternaires et que les longues diagonales coïncident avec les axes binaires.

Deuxième cas. Cube à faces centrées. — Les axes quaternaires sont OD et OC (fig, \i). Alors, comme une rotation de 90", imprimée à OAC autour de OC, amène le nœud A au-dessus de F, la seule position admissible, pour les nœuds du plan 1, est que leurs projections orthogonales tombent sur les milieux F des carrés de base OACB. Dans ce cas, on peut considérer le noyau comme engendré par la rotation, autour de OC, du carré centré OCLDA. Il en résulte un cube à faces centrées, c'est-à-dire portant, outre les nœuds des som-

Fig- 43.

mets, un nœud au contre de chaque face. Or si, dans un tel cube (fig. 44), on joint deux sommets A et B, diagonalement opposés, aux centres des six faces, on obtient des losanges, ayant pour côté la demi-diagonale des faces cubiques, et engendrant, par leur juxtaposition autour d'un sommet cubique, un rhomboèdre dont l'angle, ainsi qu'on peut s'en assurer, est de 7o03a'. Les arêtes de ce rhomboèdre sont parallèles aux axes binaires, puisqu'elles sont dirigées suivant les diagonales des faces cubiques, et les diagonales du même rhomboèdre sont parallèles aux axes quaternaires. Fig , En résumé, le système terquaternaire est suscep-

tible de trois modes distincts, caractérisés par un noyau cubique et deux noyaux rhomboédriques, mais qui tous trois peuvent être rattachés à la constitution cubique, sous les noms de cube simple, cube centré et cube à faces centrées. Telle est la raison pour laquelle l'assemblage terquaternaire peut, en toute généralité, être qualifié d'assemblage cubique.

Application aux trois modes de la même série de formes. — Remarquons maintenant que cette addition de nœuds, aux centres des cubes ou sur

les milieux des faces, ne change rien à la direction des plans réticulaires que comporte l'assemblage. Pour le démontrer, il suffit de faire voir que cette intercalation ne fait naître aucune direction nouvelle de rangées. Soient (fig. 4>) n et

n' deux nœuds supplémentaires. Par défi- Fig. ',.>• .

nition, n occupe le milieu de l'intervalle XX, de deux nœuds anciens. Par conséquent si, par n', on mène une ligne parallèle à XX,, cette ligne rencontrera deux nœuds X' et X'j, tels que X'X',= XX,. Donc la rangée nn', obtenue en joignant deux nouveaux nœuds, est simplement parallèle aux rangées anciennement existantes NN', N, N',, dont elle ne fait que doubler le nombre. De même, joignons un nœud supplémentaire n à un nœud déjà existant N',. Puisque n occupe le milieu d'un certain intervalle paramétrique XX,, nous pouvons achever le parallélogramme XX', X, X'.,, avec la certitude de trouver en X'2 un nœud ancien. Donc la ligne N . <|ui coïncide avec N', n, est une rangée déjà existante. Ainsi 1 addition de nœuds intercalaires peut bien enrichir certains systèmes de rangées; mais «lie n'en introduit pas de nouveaux; elle ne change donc rien à la direction de- plans réticulaires possibles et, par suite, nous pourrons pro- 1 la recherche des formes de l'assemblage terquaternaire, sans nous uper de savoir lequel des trois modes possibles est actuellement réalisé. Paramètres cubiques. — Le noyau de l'assemblage cubique étant un cube, les paramètres cristallographiques <!<■ l'assemblage doivent se déduire des Ion-