SYSTÈME CUBIQUE. FORMES NORMALES

La forme résultante, composée de douze rhombes ou losanges égaux, est un dodécaèdre r/tomboïdal (iig. G21 ou rhombododécaèdre, de symbole [on j. Les douze faces, deux à deux parallèles, représentent les plans non principaux, et les vingt-quatre arêtes, six a six parallèles, représentent les axes ternaires. La grande diagonale des rhombes étant égale à DB (fig. Gi), la petite diagonale a pour valeur AC, c'est- 0<

. ,. DlWâ a-dire •

En faisant, dans le tableau de \qrs\, q = oetr=s = 1 , on trouve que les quatres colonnes sont identiques entre elles. Le rhombododécaèdre peut donc se contenter de la moitié de la demi-forme directe.

Le symbole jim { correspond à [or*}, quand r = s= 1. Ainsi le rhombododécaèdre est parallèle aux axes quaternaires, ce que nous -avions déjà, puisque ces axes sont représentés par les courtes diagonales des rhombes. De plus, dans \ on ', on peut dire qu'on a 0-^-1 = 1, c'est-à-dire que les caractéristiques satisfont à la relation établie pour les formes parallèles aux axes ternaires. Nous le savions aussi, les arêtes du rhombododécaèdre étant parallèles à ces derniers. Enfin 5 01 1 { est un cas particulier de } rss J, celui où r = o. La forme est, par suite, parallèle aux axes binaires, ce que nous avons déjà vérifié, en constatant que ces axes étaient représentés par les longues diagonales des faces.

Le rhombododécaèdre jouit donc de ce privilège d'être à la fois normal aux axes binaires et parallèle aux trois catégories d'axes du système terqualernaire.

Tous les angles dièdres auxquels correspondent les arêtes du rhombododécaèdre sont égaux à 120°, puisque ce sont les intersections mutuelles des plans de symétrie ordinaires, lesquels se coupent trois par trois, sous des angles de 1200, sur les axes ternaires.

Rapports des formes restreintes avec l'hexoctaèdre. — Si l'on se reporte à la figure de l'hexoctaèdre (fig. 5o), il sera facile d'y découvrir le germe des trois formes normales. En effet, les huit triangles associés autour de chaque pointement Q sont limités au dehors par un contour octogonal BTBTBTBT, qui peut être regardé comme le résultat du brisement des arêtes d'une face carrée, occupant la position d'une face du cube. Le contour extérieur QBQBQB des six triangles coordonnés à un pointement ternaire T est un triangle équilatéral à côtés brisés, qui figure une des faces de l'octaèdre. Enfin le contour QTQT des quatre triangles réunis sur chaque pointement binaire B représente le losange du rhombododécaèdre.

Les formes parallèles s'y apercevraient avec la même facilité : ainsi la face du cube pyramide QTBTQ, celle du trapézoèdre QBTBQ, enfin celle du trioctaèdre QBQTQ.

DÉRIVATION DES FORMES T E R Q U ATE R N Al R E S A L'AIDE DU CUBE

Pijr. 63.

Troncatures cubiques. Notation de Lévy. — Les formes cristallines du système terquaternaire se rencontrent rarement à l'état de formes simples indépendantes. Elles se combinent en plus ou moins grand nombre les unes avec les autres. Le cas le plus fréquent est celui où elles apparaissent sous la forme de troncatures sur les angles ou les arêtes du cube. Il est aisé de déterminer directement l'aspect que doivent offrir ces troncatures dans les différents cas. Auparavant, il convient d'indiquer le système de notation établi par Lévy1 et spécialement applicable à la méthode des troncatures. Le parallélépipède

fondamental d'un système donné comporte trois couples de faces, respectivement désignées par p, m, t (c'est-à-dire par les trois consonnes fondamentales du mot primitif). Les angles sont désignés par des voyelles et les arêtes par des consonnes. Cela posé, il est aisé de voir que, dans le cube, toutes les faces, identiques entre elles comme parallèles aux plans principaux, doivent porter la notation p (fig. 63). Tous les angles, qui correspondent à des pointements ternaires égaux, sont des angles a. Enfin toutes les arêtes, respectivement parallèles aux axes quaternaires, sont des arêtes b.

Les axes binaires, nous le savons, sont parallèles aux diagonales des faces du cube, tandis que les diagonales du cube lui-même coïncident avec les axes

ternaires. Enfin rappelons que les plans diagnonaux du cube, au nombre de six, dont chacun est bissecteur de l'angle dièdre formé par deux faces, c'est-à-dire par deux plans principaux, représentent les plans de symétrie secondaires.

Cube et hexoctaèdre. — Examinons d'abord le cas général de la forme oblique. Soient Ox, Oy, Oz (fig. 6'i), les trois arêtes d'un cube, concourant an même sommet O et parallèles aux trois axes quaternaires. Imaginons une face QRS, interceptant sur 0.r une

longueur 00 = -, sur Oy une longueur OR = -, sur 0- une longueur OS = -.

. est à Hally qu'est due la première idée de cette notation, développée par Lévy et perfectionnée depuis par des Clnizeaux.

SYSTÈME CUBIQUE. TRONCATURES

Le plan de symétrie qui passe par Ox exige une autre face QR'S', interceptant,

sur Oy, OS' = OS et, sur 0-, OR' = OR. Par suite, l'angle 0 est provisoirement remplacé par deux facettes QST, QS'T, dont l'intersection mutuelle QT vient aboutir sur l'arête Ox. Mais les trois arêtes étant identiques, en vertu de l'axe ternaire sur lequel elles se rencontrent, ce qui a été fait sur Ox doit être répété sur Oy en Q' et sur Os en Q". Donc l'angle 0 fait place à trois couples de deux faces et ces six faces doivent venir se rencontrer au même point, leurs intersections mutuelles allant concourir, les unes sur les arêtes, les autres sur les sommets des faces du cube (Gg. 65). On voit alors sans peine que cette combinaison, développée de manière à faire disparaître les faces cubiques, aboutirait à un hexoctaèdre.

La notation de cet bexoctaèdre est facile à établir. On l'obtient en mettant en évidence chacune des arêtes b, et en affectant chaque lettre b d'un exposant égal à la longueur interceptée par la troncature déterminante ORS. De la sorte, l'hexoctaèdre a pour symbole :

Fig. G5.

Ainsi le solide J qrs j = J ia5 j se traduit dans ce système par

Cube pyramide. — Une troncature parallèle aux axes quaternaires est parallèle aux arêtes du cube. Il convient donc de remplacer (fig. 66 une arête

Jt

Fit-. 06. Fig. 67.

O.r par une face telle que ARSB, interceptant sur O.r une longueur -= 00 ; sur Oy, OR = -, et sur Oz, OS = -. Mais le plan de symétrie qui passe par Ox exige une autre facette CS'R'D, aussi parallèle à O.r, et interceptant -sur Oz et - sur Oy. Ces deux facettes remplacent 0.r par un biseau dont l'arête est TE.

Chacune des trois arêtes concourantes est ainsi remplacée par un biseau (fig. 67), de telle sorte que chaque face cubique fait place à une pyramide tron-

quée à base carrée, conduisant, quand la forme est complète, au cube pyramide. La notation de cette forme devrait être :

Pour abréger, on est convenu de l'écrire

b ' ou b r .

Ainsi le tétrahexaèdre } 012 (, le plus simple et aussi le plus fréquent de - a pour symbole />-. L'angle pb- est égal à ij3°2G'.

Cube et trapézoèdre. — Les axes binaires étant parallèles aux diagonales des faces du cube, toute face qui leur est parallèle doit intercepter deux longueurs égales sur deux arêtes concourantes. Supposons d'abord que ces lon-

Fig. 6g.

gueurs égales soient plus grandes que la troisième. Dans ce cas (fig. (><S , à la

troncature RR/S, interceptant, sur Oj\ OR=-, sur Ou, OR'=-, et sur O-,

OS=-, correspondent deux autres faces symétriques RS R', R'R"S", telles

que OR = OR' = OR" = - . Cet ensemble donne lieu à un pointement triple

'fig. Gît:, dont les arêtes d'intersection aboutissent aux arêtes du cube et qui,

prolongé, conduit à un trapézoèdre.

La notation devrait être

On convient <1<' l'écrire

Fig. 70.

a - ou a '• éiant donné s r.

Ainsi, la lettre a, affectée d'un exposant, entier ou fractionnaire, mais plus grand que l'unité, représente un trapézoèdre. Le plus simple et le plus fréquent de tous est ; 112 j ou a*, avec />a2 = 1 ', \" ', ','.

La figure 70 représente on trapézoèdre, sur les pointements quaternaires duquel le cube/? apparaît à l'état de troncatures.

SYSTÈME CUBIQUE. TRONCATURES 113

Cube et trioctaèdre. — Quand les deux longueurs égales sont plus petites

que la troisième (Cg. 71), la première troncature RSS , interceptant OS=:-,

OS' = - et 011= , se combine avec deux autres, R'S'S", R"SS", telles <im- 5 r