II. — FORMES NORMALES

Forme normale aux axes quaternaires. Cube. — Lus pôles de la forme, au nombre de six, sont les extrémités mêmes des axes quaternaires, et appartiennent à la fois aux plans principaux et aux plans secondaires de symétrie. Les six faces correspondantes, deux à deux parallèles, donnent naissance

(fig. 58) à un cube ABCD, qui a ses arêtes parallèles aux axes quaternaires, et ses diagonales parallèles aux axes ternaires, tandis que la direction des axes binaires est exprimée par celle des diagonales des faces. Les faces du cube (fig. 5g) sont d'ailleurs parallèles aux plans

Fig. 58.

principaux et les plans diagonaux ont la direction des plans de symétrie secondaires.

Le symbole de la forme est J ooi {. Non seulement les quatre colonnes du tableau de 5 qrs \ sont identiques; mais des douze faces dont se compose l'une d'elles, six seulement sont distinctes. Ainsi la combinaison de trois axes simplement binaires avec quatre axes ternaires suffit deux fois à donner toutes les faces du cube.

Le symbole } ooi j est un cas particulier de ) ors j, celui oùr = o,i=:i. Le cube est donc une forme non seulement normale, mais encore parallèle aux axes quaternaires. Cela devait être, chaque axe quaternaire étant normal aux deux autres. En outre Jooi j est un cas particulier de \rrs\, quand on fait r = o. Le cube est donc aussi parallèle aux axes binaires et, en effet, nous savons que chaque face cubique contient deux de ces axes, qui sont ses diagonales. Le cube est ainsi la limite d'un trapézoèdre, dans lequel r irait sans cesse en diminuant.

Forme normale aux axes ternaires. Octaèdre. — Les huit pôles de la forme sont les extrémités des axes ternaires et les plans tangents correspondants définissent un octaèdre régulier fig. 6o) à base carrée EFGH (fig. 58 , dont le symbole est | in {. Les arêtes de cet octaèdre, situées dans les plans

La notation

principaux de symétrie, sont parallèles aux axes lunaires et les faces forment des triangles équilatéraux, tels que -EF, accouplés quatre par quatre autour

des 'sommets quaternaires, tandis que leurs bases réunies engendrent un carré parfait.

Si, dans le tableau général de \ qrs J, on fait <y = /' = s=i, on reconnaît que les trois bandes horizontales, dans lesquelles se divise le tableau, deviennent identiques entre elles et que, dans chacune de ces bandes à quatre pôles, la colonne I est identique avec IV, tandis que III reproduit Iï. L'octaèdre se compose donc de quatre faces directement semblables et de quatre autres, inversement semblables aux quatre premières.

m | étant un tas particulier de } rss \, celui où r = s=i, l'octaèdre est une forme parallèle aux axes binaires. En effet, il a ses pôles à l'intersection des plans secondaires et nous venons de voir que ses arêtes étaient parallèles aux axes binaires. L'octaèdre est la limite d'un trioctaèdre, où la valeur de r se rapprocherait de plus en plus de celle de s. Aux arêtes de l'octaèdre correspondent des angles dièdres de i<>9°28'.

Forme normale aux axes binaires. Rhombododécaèdre. — Les pôles de la forme, au nombre de douze, sont les extrémités des axes binaires. Ils

sont situés dans les plans principaux, où chaque groupe de quatre pôles, tels que 1 10, 1 10, i io, i io, s'il était seul (fig. Gi), engendrerait un prisme droit, dont la base carrée aurait ses côtés parallèles aux axes binaires. La combinaison des trois prismes cai'rés fait naître des losanges, se projetant sur les plans principaux suivant des carrés s ABC. Dans ces losanges, la courte diagonale AC, qui se projette en vraie grandeur, est parallèle à un axe quaternaire, tandis que la grande diagonale zB, dont la vraie grandeur est DB, est parallèle a ut. axe binaire. Enfin chaque losange, étant normal à un axe binaire, est parallèle à un plan de symétrie secondaire. Donc les intersections mutuelles de deux losanges contigus (c'est-à-dire les côtés des losanges) sont parallèle- aux intersections mutuelles des plans de symétrie non principaux, c'est-à-dire aux axes ternaires.