FORMES MÉRIEDRIQUES DU SYSTÈME CUBIQUE

Polyèdres holoaxes hémisymétriques. — La recherche des variétés Q-10 mériédriques, dont le système terquater-

naire est susceptible, revient à celle des atténuations qu'on peut faire subir au symbole qui exprime sa symétrie totale.

En premier lieu, il peut exister des polyèdres particulaires à la fois holoaxes et hémisymétriques, c'est-à-dire possédant les axes 3L4, 'fL3, 6L2, mais dépourvus de centre et de plans de symétrie.

Sur la forme oblique générale \ qrs |, de tels polyèdres entraînent la suppression de toute la demi-forme inverse. La demiforme directe Bubsiste seule et, suivant qu'on a choisi, pour face déterminante,

l) Voir I5i.i\:ii-, l'Aude» crittallograpliiques, p. aC5.

SYSTÈME CUBIQUE. FORMES MER1EDIUQUES

qrs ou son inverse rqs , on obtient doux polyèdres à -x\ lares, non superposantes, ayant des pointements quadruples sur les axes quaternaires, di s pointements triples sur les axes ternaires, et des biseaux sur les axes binaires.

Pour reconnaître ceux des pôles qui doivent être conservés, il suffit, sur la perspective stéréographique du -vstème (lig. 96 . de supprimer la moitié des triangles élémentaires, de telle sorte qu'il ne subsiste pas deux triangles se toucbant suivant un côté; car on sait que les côtés des triangles correspondent aux plans de symétrie, qui ont disparu. On voit sans peine que, par suite de cette suppression, toute face telle que qrs en

rencontre cinq autres, savoir : rsq, sqr, rqs, rqs, qsr. Les faces du solide sont donc lig. 97) des pentagones irréguliers ; qrs et rqs donnent ainsi lieu à deux polyèdres différents et non superposables, les faces de l'un étant inversement semblables à celles de l'autre.

Sur l'angle du cube, la modification se traduirait par trois facettes dyssymétriques, dont les arêtes mutuelles d'intersection ne se dirigeraient ni vers les axes quaternaires ni vers les axes binaires (fig. 98). Chaque facette touche une arête cubique par deux côtés inégaux, l'un long et l'autre court. De plus, en considérant deux angles consécutifs du cube, on y verrait les pointements triples fuir dans le même sens, ce qui accuserait, entre les deux, l'absence de tout plan de symétrie. Cette disposition tournante justifie le nom de gyroèdre, parfois donné à la modification holoaxe de l'hexoctaèdre.

Toutes les formes restreintes du système terquaternaire, à l'exception de l'hexoctaèdre \qriq-{-r |, parallèle aux axes ternaires, sont orthoparallèles. La demi-forme directe s'y confond avec la demi-forme inverse et, par suite, la forme n'éprouve aucune réduction par le fait de la suppression du centre et des plans de symétrie. L'existence de polyèdres holoaxes hémisvmétriques. dans ce système, ne pourrait donc se révéler que sur des hexoctaèdres. Jusqu'à présent, on ne connaît que le salmiac ou sel ammoniac qui réalise cette combinaison, portant, selon M. Tschermak, sur la forme j;8 = ) b\ bi b\ \.

Polyèdres hémiaxes. — Nous avons dit que les polyèdres moléculaires hémiaxes étaient carat ;érisés, soit par l'absence de tous les axes binaires, soit par la suppression de la moitié de ces axes, combinée avec la réduction du numéro d'ordre de l'axe pair multiple.

Dans le système terquaternaire, tous les axes binaires, étant de même espèce, doivent être supprimés ensemble. Il n'y a donc qu'une seule variété

Fi.-. 9g.

admissible de polyèdres hémiaxes. Mais cette suppression entraîne la réduction à moitié du numéro d'ordre des axes quaternaires; car la géométrie enseigne que tout polyèdre, possédant à la fois les trois axes quaternaires et les quatre axes ternaires de l'assemblage cubique, en possède aussi les six axes binaires. On peut d'ailleurs s'assurer directement que le seul moyen de supprimer la moitié des rotations exécutées par la face déterminante est bien de réduire le symbole à 3L2, 4L3.

Polyèdres hémiaxes centrés : 1° Diploèdre. — Cela posé, s'il y a un centre, dont la combinaison avec les trois axes devenus binaires entraîne la restitution des plans principaux de symétrie, le symbole devient 3L2, '|L3, C, 3P2.

Telle est la formule de symétrie des polyèdres liémiaxes centrés. Elle implique la suppression, dans le tableau général des faces de \ qrs }, des colonnes II et IV. Appliquée à l'hexoctaèdre, cette formule exige, dans chaque octant, la suppression de trois triangles alternants sur six (fig. 99). Mais les plans principaux étant conservés, chaque triangle maintenu, tel que qrs, entraine le maintien du triangle qrs, contigu au premier dans l'octant voisin, suivant le plan principal. On obtient ainsi une forme à 24 faces fig. 100 . dont 12 directement semblables, avec pointements quadruples sur les axes quaternaires ainsi que sur les axes binaires, et pointements triples sur les axes ternaires. Chaque face qrs en rencontre quatre autres, savoir :

rsq, sqr, qrs, qrs, et offre la forme d'un quadrilatère irrégulier. Le solide résultant porte les noms de diploèdre, dyakisdodécaèdre ou dodécadièdre, et la forme dérivée de qrs ne diffère que par son orientation de celle qui dérive de rqs, lune pouvant être superposée à l'autre par une rotation de 900 autour des axes • nu- quaternaires.

Sur l'angle du cube, le diploèdre se traduit (fig. 101) par un pointement identique avec celui du cas précédent, mais les pointements de deux angles consécutif- sonl symétriques l'un de l'autre relativement au plan principal qui passe ^ entre ces deux angles.

lu diploèdre - qrs a trois sortes de dièdres : les angles x des arêtes abou-

Fig. 101.

SYSTÈME CUBIQUE. FORMES MÉRIÉDRIQUES

tissant en T; les angles y des arêtes longues aboutissant en Q'; les angles des arêtes courtes Q' : on a

cos y

Avec - (12'i), on a •x

avec - (124)1 on aurait

si — ri q*

2° Dodécaèdre pentagonal. — Dans le cas du tétrahexaèdre }<>rsj, la suppression des plans non principaux entraîne celle de la moitié des faces. On obtient ainsi (ûg, 102) quatre pôles situés sur le cercle fondamental, quatre autres dans l'hémisphère supérieur et quatre dans l'hémisphère inférieur. Les faces correspondantes se coupent, sur les axes quaternaires, suivant des biseaux parai- j00 lèles à ces axes. Ainsi rso et rso donnent lieu à un biseau parallèle à l'axe 001, tandis que ors et ors en donnent un autre parallèle à l'axe 100. De son côté, souvient couper la face conjuguée de l'hémisphère inférieur suivant une ligne parallèle à l'axe mo. Sur les axes ternaires, les

pointements sont triples et la rencontre, sur les plans principaux, de trois faces telles que rso, rso, ors, fait naître d'autres pointements triples. Enfin chaque face telle que ors en rencontre cinq autres, savoir : sor, rso, rso, sor, ors.

Le polyèdre, composé de douze pentagones irréguliers, est le dodécaèdre pentagonal ou pentadodecaèdre . Les faces sont deux à deux symétriques relativement au centre.

Les angles dièdres de cette forme sont de deux sortes : les angles x des arêtes cubiques ou parallèles aux axes quaternaires, donnés par la formule

-,, et les angles y des arêtes aboutissant aux pointements ter-

naires, avec cos y

On connaît - J < » 1 2. J , avec x== ia6°5a' , y=rn3°35';

- ! o%3 j, avec .r = 1 1-203-', y = n-°xi)' ;

~{oi3j, avec .r=i43°8/, y = io^x'j' .

il.-. 104.

La figure io3 représente le dodécaèdre pentagonal répondant à -joiaj

ou - /<2, où les pointements ternaires sont désignés par T, tandis que Q'

s ne les milieux des arêtes, où viennent aboutir les anciens axes quaternaires, devenus binaires. Les pointements triples dépourvus de lettres sont ceux où se réunissent des arêtes non identiques, dont une seule est parallèle à

un axe quaternaire. Ce ne sont donc pas de vrais pointements ternaires, comme ceux qui sont marqués T. On les distingue à ce qu ils occupent les deux extrémités de celles des lignes qui sont parallèles aux arêtes cubiques.

Dans la figure 104, on voit sur ces pointements triples des troncatures triangulaires qui, selon leur forme et leur inclinaison, peuvent appartenir soit à un dodécaèdre pentagonal inverse, soit au dodécaèdre rhomboldal. lequel coupe évidemment une face sur trois du dodécaèdre pentagonal suivant une parallèle aux axes quaternaires.

3° Conservation des autres formes restreintes. — Les formes parallèles aux axes binaires, et de notation \ rrs \ ou } rss \, ne peuvent être affectées par la suppression des plans de symétrie ; car leurs faces, étant perpendiculaires à ces plans, ne se répétaient pas relativement à chacun d'eux. Le trapézoèdre et le trioctaèdre peuvent donc exister avec des polyèdres bémiaxes centrés. Il en est de même, a fortiori, du rhombododécaèdre et de l'octaèdre, dont les pôles sont également situés dans les plans non principaux, et du cube, qui n'emprunte qu'une partie de la colonne I, conservée dans toute hypothèse. Ainsi les palyèdres pirticulaires hémiaxes centrés ne font sentir leur défaut de symétrie que sur les hexoctaèdres et les tétrahexaèdres. Tel est le cas de la pyrite de fer, dont les formes très variées peuvent offrir à la fois le cube, l'octaèdre, le pentadodécaèdre (souvent nommé pyritoèdre pour ce motif), le trajx'-zoèdre et le diploèdre.

Combinaisons. — En combinaison avec le cube, le dodécaèdre pentagonal se traduit lig. io5 par des troncatures parallèles aux arêtes, mais inégalement inclinées sur les deux faces cubiques adjacente-.

I octaèdre dominant, il donne la figure 106. Quand c'est le dodécaèdre qui domine relativement à l'octaèdre, comme c'est généralement le cas dan- la pyrite, on a la figure 107. Mais si, comme dans la cobaltine, les deux formes prennent le même développement, il en résulte un solide à 20 faces lig. 108), presque identique avec l'icosaèdre régulier.

Si, après avoir installé une 1 roncature octaédrique sur les angles ternaires du

SYSTÈME CUBIQUE. FORMES MERIEDRIQUES 123

dodécaèdre pentagonal, on superpose trois facettes tangentes sur les arêtes de c i ■ troncature (fig. 109), la forme obtenue sera un diploèdre, dont chaque face fait partie de la zone contenant une face octaédrique et une face dodécaédriquc

Fig. 106.

Fig. 107.

contiguës. Soient 012) et (m) deux de ces faces. La zone qu'elles déterminent a pour caractéristiques [iai]. Les diploèdres de cette zone doivent donc satisfaire à la relation :

— q-+- ir — 5 ■=. o.

La forme \ i23 \ réalise cette condition. Les pôles analogues se trouvent sur le grand cercle qui passe par m et par 101.

On peut remarquer que le dodécaèdre pentagonal déduit de \ ors \ est la limite vers laquelle tend le diploèdre issu de \ qrs j, lorsque q tend vers zéro. De la sorte, à un dodécaèdre pentagonal déterminé correspondent une série de diploèdres conjugués. Soit, par exemple, le dodécaèdre issu de J012J. Les

Fig. 108.

Fig. 109.

Fig. 110.

diploèdres qui lui sont conjugués sont ceux pour lesquels la face (012) fait partie de la même zone que les deux faces contiguës {qrs), {qrs); car, dans ce cas, à mesure que l'angle de ces deux faces tend vers 1800, elles en arrivent à se confondre avec (012). Or la zone déterminée par (qrs) et [qrs) a pour caractéristiques, si nous appliquons la règle habituelle :

isq irq , osr.

ou, en divisant par iq,

La condition pour que (012) fasse partie de cette zone est :

— s + 2mo.

Le diploèdre issu de | iz\ j satisfait à cette condition. Sa combinaison avec

le dodécaèdre pentagonal - bl=z- joia j est dessinée dans la figure no.

Tous les diploèdres faisant partie de la même série ont leurs pôles sur le grand cercle qui passe par (012) et par les extrémités de l'axe (100, îoo). Ce même grand cercle contient le pôle (i ta) du trapézoèdre a2 et le pôle (212) du trioctaèdre aj.

Polyèdres hémiaxes dichosymétriques. PHexatétraèdre. — Avec un polyèdre liémiaxe dichosijniéirique, dont le symbole est 3 L2, 4L3, 6P, ce sont

les plans non principaux qui sont conserves, tandis quelesplans principaux disparaissent.

Par conséquent, dans la forme générale oblique \qrs\, si l'on prend (qrs)

pour face déterminante, il faut conserver les six pôles du premier octant

celui dont l'axe ternaire est 1 1 1 et les 6 pôles de l'octant opposé, groupés

autour de ! ïT (ûg. 111 . Quant à l'hémisphère inférieur, on garde l'octant

situé au dessous de i7i et celui correspondant à Tu. La forme résultante est

une sorte de tétraèdre régulier, dont chaque face serait remplacée par une pyramide sextuple (fig. 112). C'est Vhexatétraèdre. Les octants supprimés don- P'

A. rsr

l§ll§f§^l10

/Xy

îiï

iBii

\rrs 1 stjx j

/rsr Y

Fis. Il3.

nent un autre polyèdre, qui ne diffère du premier que par son orientation. En combinaison avec le cube, lhexatétraèdre donne des troncatures à six faces sur quatre des angles du cube, non opposés par le centre.

SYSTÈME CUBIQUE. FORMES MÉRIÉDRIQUES

Le tétrahexaèdre ]ors\, ayant ses pôles dans les plans principaux, n'éprouve aucune réduction par la suppression de ces derniers.

a0 Tritétraèdre. Dodécaèdre trapézoïdal. — Le trapézoèdre )rrs\ donnera, dans chacun des quatre octants conservés, trois faces symétriquement placées (fig. 1 i3). Les deux faces (rrs), (rrs), les plus voisines du sommet ooi , se couperont suivant une ligne parallèle à l'axe binaire i io, rencontrée en son milieu, par l'un des anciens axes quaternaires devenus binaires.

La figure résultante sera un tétraèdre tripyramide ou tritétraèdre fig. iii). oy0 Cette forme est réalisée dans la blende,

le cuivre gris et la boracite.

Quant au trioctaèdre \ rss j , on voit

sans peine fig. 1 1 5) que les faces conservées forment des pointements quadruples sur les axes quaternaires. Chaque face en rencontre quatre autres et il en résulte un dodécaèdre trapézoïdal (fig. 116), connu en combinaison dans le cuivre gris.

3° Tétraèdre — Le cube et le rhombodocaèdre, dont les pôles sont situés dans les plans principaux, ne sont pas touchés dans cette combinaison. En revanche l'octaèdre, réduit aux pôles 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 , perd la moitié de ses Lues et se transforme (Cg. 117") en tétraèdre régulier cuivre gris, boracite, blende, diamant).

L'intersection de la face 1 1 1 du tétraèdre avec la face 1 1 1 a lieu suivant une ligne parallèle à l'axe binaire tio-no. Ainsi, tandis que les quatre faces du tétraèdre sont parallèles aux axes ternaires, ses six arêtes sont parallèles aux axes binaires. De plus, l'arête supérieure, parallèle à 110, se projette sur le plan principal perpendiculairement à l'arête opposée, dont la projection est l'axe 110, et la ligne QQ', qui joint les milieux de ces deux arêtes, est l'axe quaternaire ooi. L'angle dièdre de deux faces du tétraèdre est de 7o°3a'.

Pif. 117.

La combinaison du cube avec le tétraèdre donne la figure 118. Quand les deux solides conjugués, le tétraèdre droit et le tétraèdre gauche, coexistent, l'un d'eux est généralement moins développé ou moins éclatant que l'autre,

Pîg. 11 S.

Fig. 120.

apparaissant à l'état de troncatures symétriques sur les angles de ce dernier

(fig. 119).

D'après ce qui vient d'être dit sur la signification des éléments d'un tétraèdre,

si, à chaque arête, on substitue une face tangente, c'est-à-dire également

inclinée sur les deux faces tétraédriques adjacentes (ûg. 120), une telle face sera à la fois paralèle à deux arêtes du tétraèdre et normale aux anciens axes quaternaires , devenus binaires , de l'assemblage. Ce sera donc une face du cube [pax = i2j0i5'5'2").

Combinaisons diverses. — La figure 121 représente la combinaison du tétraèdre avec un

Pig 121.

tritétraèdre, tel que - a2, tandis que la ligure 122

correspond à la combinaison d'un tétraèdre avec le rhombododécaèdre. En effet, chacune des faces qui composent les pointements triples des angles est parallèle à une arête du tétraèdre, c'est-à-dire à un ancien axe binaire. Il suffit

Pif. 122.

Fig. 123.

Fig. 12',.

que, de plus, elle soit parallèle à l'un des trois axes quaternaires, pour qu'elle -ente bl . Ce cas ';st supposé réalisé dans la figure 129.. Autrement, et sans qin- 1 aspect général fût changé, les quatre pointements triples conduiraient à un hémitrioctaèdre ; car ce dernier, comme on peut le remarquer sur !,i ligure 1 16, devient nu rhombododécaèdre quand ses quadrilatères se trans-

5TÈME CUBIQUE. FORMES .MEKIEDRIQUES

forment en losanges, c'est-à-dire quand ses pôles, s éloignant de plus en plus du sommet n r, viennent se placer dans les plans principaux.

Dans la ligure i/i, on voit un tétraèdre en combinaison avec un tritétraèdre inverse (ou hémitrapézoèdre), tandis que la figure 124 représente un hexatétraèdre installe sur les angles du tétraèdre de signe contraire.

Polyèdres hémiaxes hémisymétriques. — A.vec un polyèdre hémiaxe hémisymétrique, il y a suppression simultanée du centre et de tous les plan- de symétrie. On ne doit donc garder, dans le premier octant (tig. ia5), avec la face nlu qrs ), epae celles qui lui sont directe-

ment semblables, c'est-à-dire rsq, sqr; de plus, tandis que l'octant m, qui

dérive du premier par une rotation de 1800 autour de 001, est conservé dans les mêmes conditions, c'est-à-dire avec qrs, rsq, sqr, il faut, dans 1 hémisphère inférieur, garder les demi-octants opposés à ceux qui ont été supprimés en haut; car chacun d'eux dérive du premier par rotation de 1800 autour de 100 et oui.

La forme qui en résulte comprend douze faces, dont chacune en rencontre cinq et forme un pentagone irrégulier. C est le dodécaèdre pentagonal tétraédrique (fig. 126). Suivant qu'on garde comme face déterminante qrs ou rsq, on obtient deux dodécaèdres non superposables, mais dont le premier se superposerait, par une rotation de 900, au dodécaèdre déduit de rqs, tandis que le second se superposerait au solide dérivé de qrs. Sur l'un de ces solides, la place des axes quaternaires, devenus binaires, se détermine aisément, chacun d'eux venant tomber sur le milieu Q' d'une arête qui n'aboutit à aucun pointement ternaire.

Le tétrahexaèdre JOrsJ, dont les pôles sont situés dans les plans principaux, n'éprouve de réduction que par suite du défaut des plans non principaux et se transforme, comme dans le cas des polyèdres hémiaxes centrés, en dodécaèdre pentagonal.

Le trapézoèdre, dont les pôles sont situés dans les plans secondaires, garde trois faces dans les octants conservés ; mais la suppression du centre et des plans principaux ne laissant subsister que quatre octants, disposés comme dans

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