CHAPITRE IV SYSTÈME TERNAIRE OU RHOMBOÉDRIQUE

NOYAU ET FORMES SIMPLES DU SYSTÈME

Noyau de l'assemblage. Rhomboèdre. — Nous avons vu (i) que, dans un assemblage ternaire, si l'on considère deux plans limitrophes i et 2, normaux à l'axe ternaire, la projection orthogonale du réseau 2 n'est autre que le réseau 1, déplacé parallèlement à lui-même, suivant la

trace de l'un des plans de symétrie, des 77

de la demi-distance qui sépare deux nœuds situés sur ce plan.

Ainsi, le réseau du plan 1 étant exprimé

fig. 168) par les deux losanges A,OC,Dj,

BjOFjE,, le triangle A2G2B, appartient au

réseau n° 2. Pour la même raison, A3G3B3

appartient au plan n° 3, la distance A3A2,

égale ;i A, A,, étant toujours les - de la hauteur du triangle équilatéral élé-

m en taire A,D,o. Enfin, en dernière analyse, comme A3C1 = A1A8, la ligne A,B, finit par se transporter en C,F,, c'est-à-dire que le réseau du plan ,\ se confond absolument avec celui du plan 1.

Cela posé, considérons simultanément 'fig. 169) : i° Dans le plan 1, le nœud O; a0 Dans le plan 2, le triangle A,B2G2; 3° Dans le plan ï, le triangle A3B3G3 (qui correspond à A3B3H3 de la figure 1 G8) ;

'," Dans le plan 4, le nœud 04, projeté orthogonalement en O.

Joignons maintenant le no:ud O aux trois nœuds

AjBjCj, le nœud 04 aux nœuds A3B3G3, enfin joi-

- A \ . A «. G l: . B 15 . B2G3, G3Aa.

Nous obtiendrons de cette façon un parallélépipède qui, ne contenant aucun

noeud dans son intérieur, pourra être considéré comme le noyau de l'assem-

\ . j.lu- haut, p. ~>'.i.

SYSTÈME RHOMUOÉDKIQUE. NOYAU

blage. Or toutes les lignes que nous venons de tracer sont ('gales cuire elles; car étant toutes comprises entre îles plans parallèles ei de même distance normale, elles onl sur ces plans des projections égales. Elles sont de plus quatre à quatre parallèles. Ainsi le parallélépipède est formé de six rhombes ou losanges; c'est ce qu'on nomme un rhomboèdre. <> rhomboèdre a pour axe la ligne ()(>;, c'est-à-dire l'axe ternaire. Quant aux axes binaires, qui se projettent suivant OA,, OB, , OD, (fig. i68), ce sont évidemment les lignes menées du milieu de 004 (ûg. iG<j aux milieux de chacune des arêtes non culminantes, telles que A, A... A,GgJ etc. Les plan- de symétrie, qui coïncident avec 0A8) OB3, OG3, sont les plan- menés par l'axe OOt et les couples d'arêtes culminantes parallèles, comme 04G3 et OC,. Les diagonales horizontales des losanges, comme A, 15,, A,G8, ont précisément la direction des axes binaires. Quant aux diagonales inclinées, telles que OG,, ce sont les traces, sur les faces du rhomboèdre, -les plans de symétrie auxquels chacune de ces faces est normale.

Ainsi l'assemblage ternaire a pour noyau un rhomboèdre. De là le nom de système r/tomboédrique, qui lui est souvent donné.

Les six arêtes qui n'aboutissent pas à l'axe ternaire étant toutes inclinées du même angle, mais en sens contraires, sur le plan normal à cet axe, dessinent, par leurs projections sur ce plan, un hexagone régulier, tandis que, dans l'espace, elles forment un hexagone en zigzag, ayant ses six côtés égaux, chacun de ces côtes étant perpendiculaire à un axe binaire et, par suite, parallèle à un plan de symétrie.

La figure 170 fait ressortir la position qu'occupent , dans le noyau rhomboédrique isolé, les divers éléments de symétrie, c'est-à-dire l'axe ternaire 1 1 , les axes binaires BB', B,B/, B2B,', et les plans de symétrie, savoir, TiT'î, T3T'6, T5T'x. Chaque axe binaire, tel que BB', joint le milieu B d'une arête 1-6 de l'hexagone en zigzag au milieu B'de l'arête 3-4 opposée. On voit sans peine qu'une rotation de 180 degrés autour de BB' ne fait qu'opérer la substitution mutuelle des divers sommets. Le paramètre de l'axe ternaire étant OT, celui des axes binaires est OB.

Forme oblique. Notation à quatre caractéristiques. — La forme oblique générale du système ternaire doit avoir 2 X (1 H- '■* -+- 3) = 12 faces.

Les axes binaires du système ternaire étant disposés comme les axes de même espèce du système sénaire, on peut, pour l'étude des formes obéissant à la symétrie ternaire, adopter un mode de représentation fondé sur l'emploi de l'axe principal et des trois axes binaires. On obtient alors une notation à

Fig. 1-0.

quatre caractéristiques q, r, <{ — '•. s), identique avec celle du système sénaire nr connaître les Lues donl se compose la forme oblique, il suffît, dans le

tableau relatif à ce système, de conserver seulement les colonnes I, III, V, VI. On obtient de la sorte le tableau suivant et, en se reportant à la figure i3a, on voit quels pôles doivent être conservés au-dessus du plan normal à l'axe ternaire, choisi pour plan de perspective, bien qu'il ait cessé, dans ce cas, d'être un plan de symétrie.