CD
et enfin :
211 + t dr]
b co2L 21 J
2 il- (2h)2 — x2
» to2
Pour u — 0 on a x = ±2h, c’est-à-dire que si les portes d’amont restaient fermées, il s’établirait un mouvement oscillatoire dont la demi-amplitude serait 2h.
En supposant qu’on ouvre l’aqueduc DBE quand il ne reste plus qu’une chute de 0 m. 50 c. entre le bief d’amont et le sas ainsi qu’on le pratique à l’écluse d’Herbières, on voit que cette couverture aurait pour effet de relever l’eau du sas à 0 m. 50 c. au dessus du bief d’amont, mais avant que cette dénivellation soit atteinte, les portes d’amont s’ouvriront et le surplus de la force vive de l’eau produira, ainsi que je l’ai dit,* un courant vers l’amont.
Enfin, en observant que u = - ^--^-on trouve, en remplaçant u2 par sa valeur en
fonction de x, et en intégrant :
et pour x — 0
J’observe que dans le calcul relatif aux portes d’aval, page 130, je n’ai tenu compte ni du travail du frottement dans l’aqueduc après le coup de bélier, ni du choc de l’eau qui perd sa vitesse en pénétrant dans le bief d'aval, ni des raccords incomplets entre l’aqueduc et le sas.
De même dans le calcul relatif aux portes d’amont, je n’ai tenu compte ni du frottement dans l’aqueduc, ni des raccords entre l’aqueduc et le sas.
Les résultats représentés par mes formules sont donc un peu trop forts, mais ils suffisent pour rendre compte du jeu des colonnes oscillantes, et pour en calculer les applications.
J’étudierai tout à l’heure un autre problème relatif à l’alimentation des écluses des canaux et on verra comment on peut tenir compte du frottement dans les conduites, mais cette complication me paraît inutile pour ce qui précède.
Emploi Ionncslic oscillantes pour économiser la dépense d’eau des canaux.
L’application des aqueducs à oscillations pour la marche des bateaux qui franchissent un sas de rivière en allant vers l’aval, ne présente pas d’intérêt puisqu’on peut toujours faciliter cette marche en ouvrant quelques ventelles des portes et en établissant ainsi un courant descendant.
Bien que, dans cet ouvrage, je m’occupe spécialement des rivières, je ne puis passer soussilence les applications dont sont susceptibles les colonnes liquides oscillantes pour dimi- acsc°ôgCXSn1l1^Uld<' nuer la dépense d’eau des canaux.
La première solution qui se présente à l’esprit consiste à faire communiquer le sas d’une écluse avec un bassin.de même superficie et à produire la vidange ou le remplissage du sas au moyen d’une oscillation qui emmagasine l’eau dans le bassin ou qui l’on retire, de telle sorte que chaque éclusée se ferait sans aucune dépense d’eau.
C’est donc cette première solution, si attrayante au premier abord, qui va faire l'objet de mon étude. J’en indiquerai d’autres ensuite.
A et B représentent deux bassins réunis à leur partie inférieure par une conduite. (Fig. 8.)
Je suppose que ces deux bassins ont la même surface O.
Je représente par w la section de la conduite de jonction, par H la profondeur du niveau d’équilibre tranquille dans les deux bassins mis en communication.
Je suppose qu’une dénivellation 2h est produite par Fig. 8. une cause quelconque, la profondeur du bassin A se
trouvant être H + h et celle du bassin B, H — h.
Si la conduite de jonction est ouverte, l’eau baissera dans le bassin A, montera dans le bassin B, puis reviendra en sens contraire et produira une série d’oscillations dont je vais établir la loi.
Je désigne par :
2x la dénivellation à un moment donné t en comptant x à partir du niveau d’équilibre,
Y la vitesse moyenne à ce moment dans les bassins A et B,
u la vitesse moyenne à ce moment dans la conduite de jonction.
Je néglige d’abord les résistances passives dues aux frottements et aux vitesses obliques aux extrémités de la conduite.
Le théorème des forces vives appliqué à tout l’ensemble pour un temps dt donne :
—jp- (2QHVdV -F wLudu) — — 1 ,000 x 2Qxdx
on a :
nV
l’équation des forces vives devient, après réduction :
2VdV|H
Je pose pour abréger X — H +-4"X— , l’intégration donne :
V2A = ~ gx2 + C
pour V = o on a x = ± h d’où G = gh2, et
D’où il résulte qüe les valeurs de Y sont représentées par les ordonnées d’une ellipse dont l’axe des Y coïncide avec le niveau d’équilibre tranquille des bassins, tandis que l’axe des x est vertical. Cette propriété a été démontrée géométriquement par M. de Galigny.
cl X.
Pour avoir la durée il suffit de remplacer V par — . On a •
Dans ces valeurs générales de V et de t, si on fait x = o on aura la vitesse et le temps au passage du niveau d’équilibre, je désigne ces valeurs par Ym et tm, on a :
La vitesse aura alors sa valeur maximum.
Enfin si on cherche la hauteur y d’un rectangle construit sur le diamètre vertical 2h de l’ellipse des vitesses et ayant même surface que la demi-ellipse, on a l’équation :
2hy = y~h x h j/f- d’où y-jh j/ y
valeur de la vitesse moyenne pour une période entière d’abaissement ou de relèvement.
Cette valeur est un peu supérieure aux — de la vitesse maximum.
L’équation Y'2 =— (h2 — x2) montre que l’eau baissera dans le bassin A jusqu’à ce que
son niveau atteigne sous le plan d’équilibre tranquille une hauteur — h égale à celle que ce niveau avait au dessus du même plan. Pendant ce mouvement de descente la vitesse partant
elle atteindra la valeui
de zéro ira en croissant jusqu’au droit du plan d'équilibre où h J// y PL,is e^e ira ensuite en décroissant jusqu’à zéro.
Le temps nécessaire pour descendre depuis le niveau initial 4- b jusqu’au plan d’équilibre tranquille est égal à et le temps total de la descente depuis x = + h jusqu’à
x = — h est -
Les mouvements inverses se produiront dans le bassin B et l’eau oscillera indéfini menl d’un bassin dans l’autre entre 4- h et — h à partir du plan d’équilibre tranquille.
On pourrai! penser tout d’abord que la longueur X dépend de la dénivellation primitive
2b, car j’ai posé I = H + et on verra tout à l’heure que dans l’application à une
écluse je détermine H en me servant de la chute initiale 2h et du mouillage admis pour la navigation. Mais en y réfléchissant on comprendra que cette manière de déterminer H revient à choisir le volume oscillant en vue des besoins de la navigation, mais que le niveau d’équilibre tranquille une fois déterminé, la chute initiale en est absolument indépendante.
Les deux bassins A et B constituent un véritable pendule hydraulique, oscillant indépendamment de la hauteur de chute, absolument comme le pendule cycloïdal simple de longueur X.
Étudions maintenant l’application de ces formules à une écluse communiquant avec un réservoir de même superficie.
Je prends pour exemple les dimensions de l’écluse de l’Aubois, sur le canal latéral à la Loire (département du Cher) .
Vidange ou remplissage d’un sas
par une oscillation unique.
ü = 34,85 x 5,20 = 1 8 1 m q22, surface du sas.
2h = 2m. 40 c., chute de l’écluse.
Je place le radier de l’aqueduc de jonction au niveau du radier du sas, soit à 2 m. 10 c. sous le niveau du bief d’aval, et comme le plan d’équilibre est à une hauteur h au dessus du niveau initial le plus'bas, c’est-à-dire au dessus du bief d’aval, on a :
Je donne à l’aqueduc de jonction une largeur de 4 mètres, une hauteur de pied-droit de 1 mètre et je le recouvre d’une voûte en arc de cercle de 1 mètre de flèche, sa hauteur sous clef est ainsi de 2 mètres, de sorte que l’aqueduc est toujours noyé par le niveau d’aval que j’ai supposé à 2 m. 10 c. sur le radier.
On déduit des chiffres qui précèdent w= 6m q89, et pour le périmètre de l’aqueduc y — 1 0 m . 71c.
Enfin, je suppose que l’aqueduc de jonction a upe longueur L= 100 mètres, distance entre le sas et le réservoir.
On déduit de ce qui précède :
X = H+-^-== 1,318 m. 39 c., longueur d’un pendule fictif oscillant comme le liquide. Vm = h y = 0 m. 1032, vitesse maximum verticale dans le sas.
y — L r y = 0 m. 081 , vitesse moyenne pendant une oscillation.
Pour avoir les vitesses analogues dans l’aqueduc, il faut multiplier les précédentes par ü 181,92
■= 26,30, et on en conclut
Vitesse maximum dans l’aqueduc , um = 26,3 x 0,1032 = 2 m. 714.
Vitesse moyenne id. u = 26,3 x 0,081 = 2 m. 103.
Enfin le temps de la vidange ou du remplissage du sas est T = tc
Calcul
de l’oscillation tenant compte du frottement à la paroi.
Comme ces résultats ne me paraissent indiquer aucune difficulté pratique, il est intéressant de pousser plus loin l’étude de l’oscillation en tenant compte des frottements que j’ai négligés dans les calculs précédents.
Il est nécessaire de bien préciser d’abord la manière dont on est convenu de représenter le frottement à la paroi. '
L’expérience a appris qu’à l’inverse du frottement des solides, le frottement des liquides contre une paroi est indépendant de la pression, proportionnel à la surface de contact et qu’il croît rapidement avec la vitesse.
Pour trouver la fonction f (v) qui établit la loi d’accroissement de la résistance à la paroi, on implante sur deux points d’une conduite, séparés par une longueur 1, deux manomètres, et on mesure, pour chaque vitesse., la différence de hauteur de l’eau dans ces deux manomètres. Si z est cette différence de niveau et si to et y représentent la section et le périmètre de la conduite, chaque observation donnera une valeur de :
oj Z
On arrive ainsi à reconnaître que dans les calculs ordinaires et quand la vitesse de l’eau n’est pas très-petite, f(v) peut se mettre sous la forme :
f(v) = Pv2
(à étant un coefficient égal à 0,0004 et V étant la vitesse moyenne dans la conduite, à l’instant considéré. (Dupuit, Conduite des eaux, page 147.)
La force du frottement pour une conduite dont la longueur est 1 et dont le périmètre est y, est représentée par une colonne d’eau ayant pour base la section w et pour hauteur z, son poids 1 ,000wz peut donc être mis sous la forme :
ou
1 ,000)df(v)
1 ,000xl£V2.
En d’autres termes, la force du frottement par unité de surface frottante est :
Cela posé, je reprends l’équation générale des forces vives (Fig. 8, page 135), et comme les calculs précédents ont montré que la vitesse est très-faible dans le sas et dans le. bassin conjugué, j’y néglige le frottement dont je ne tiens compte que pour l’aqueduc de jonction.
En désignant par L la longueur de cet aqueduc, par % son périmètre, par-^- Y, la vitesse
à l’instant considéré t, la force du frottement sera :
l,000xLpA-V*
Y étant la vitesse verticale dans chacun des deux bassins.
Pour avoir le travail élémentaire de ce frottement, il faut le multiplier par dL Le travail élémentaire du frottement dans la conduite a donc pour expression :
a ^ — dx.
dF = 1 .OOO^Lp — r V2 dx
l’équation des forces vives est :
(2£lHYd V + wL — Yd V) - — 1 ,000 x 2Qxdx — dF
ou, en posant comme précédemment
La
— x 2VdV — — 2xdx g
dF
on a :
je pose pour abréger :
l’équation des forces vives devient :
dF
XLP^3r = K
Posant on a :
Pour intégrer on pose d’où
— d(V2) + 2xdx + KV2dx = 0 V'2 = y,
— dy + 2xdx 4- Kydx = 0.
y = uz, dy = udz + zdu r (udz + zdu) -f 2xdx -f- Kuzdx = 0
HO
ou
u | — dz + Kzdx ) + — zdu + 2xdx — 0.
On détermine z de manière à annuler le terme en u
dz
iLdx
' Kgx
il n’est pas nécessaire d’ajouter une constante, car il suffit que z ait une valeur satisfaisant à
dz + Kzdx = 0
je pose pour abréger :
Kg.
ou z — e
reportant cette valeur dans l’équation (1), on a :
• ix
-mx
e~mxdu + 2xdx = 0
ou
et en intégrant par parties
du — - y-emxxdx
2g / xemx emx . r - + O
et comme
y2 — g- mx |
ou
ou
^ )im2 \
Ce-
mx
A l’origine du mouvement, on a :
x = — h , V — 0 , d’où C — — (1 + rnh)e~mh
d’où en observant que m =
Kg
V2 = -^j^l — mx — (1 + mh)e-m(x+h)J
On peut se servir de cette formule en donnant successivement différentes valeurs à x entre — h et + h et en calculant les valeurs correspondantes de V. On détermine ainsi par tâtonnement la valeur de x pour laquelle Y — 0.
Ht
Mais on peut obtenir pour ce calcul une formule plus commode et suffisamment approchée.
En effet, pour V = 0, on doit avoir, en désignant par x' la valeur correspondante de x
I + mtl emU'+h)
1 — mV
OU ££. ( 1 H- mil) — S£. ( 1 — mx') == m(x' + h)
or on connaît les deux développements en série :
rjp M \ Z* T? Z*
On en conclut :
$£. (1-fmh) — S£. (1 — mx')=mh-f-mx' — ^J-(h2 — x'2) + ^-(h* + x'4) — (lu4 — x,J,)-f.
Les valeurs de mil et mx sont plus petites que l’unité; ainsi, dans l’exemple numérique traité précédemment :
tt - o ^ „ __ Kg 43x9,81 A Qt)
K a3 et m — ^ — 1318>39 — 0,3~
d’où mh - 0,32 x 1 ,20 = 0,384 et m4h4 = 0,02.
Le terme — - — - — ne pourra donc affecter que des décimales de troisième rang; le
laissant de côté, on a :
hâ — x'- m /L3 . ,3N A
divisant par h + x' ce qui dégage la solution x' = — h
on a : 3 (h — x) + 2m(h2 — 2hx' + x'2) = 0
OU
d’où
2mh — 3 -J- V3(3 — 2mh) (1 -f- 2mh) 4m
expression qui donne la hauteur à laquelle l’eau montera dans l’un des bassins à la fin de la première oscillation.
La perte de hauteur due au frottement est h — x'. Mais il ne faut pas perdre de vue qu’il existe d’autres causes de perte, telles que les changements de section à la rencontre de l’aqueduc et des bassins, les coudes, les bateaux rencontrés dans le sas, etc., de sorte qu’en réalité la perte de hauteur sera notablement plus grande que celle qui vient d’être calculée.
Un résultat remarquable consiste en ce que la hauteur x' est à peu près indépendante de
la longueur L de l’aqueduc de jonction : en effet K est proportionnel à L, mais \ lui est aussi à peu près proportionnel, car 1 == II -f- et le terme H est très-petit relativement à 4^-, on en conclut que m est à peu près indépendant de L ainsi que x'.
La valeur de Y* a K en dénominateur, la vitesse varie donc en raison inverse de la racine carrée de la longueur L.
La longueur L de l’aqueduc constitue le régulateur de la vitesse et du temps, ainsi que le rapport — des sections, rapport qui entre au carré dans la valeur de K.
Enfin le rayon moyen — de l’aqueduc entre en dénominateur dans la valeur de K, la
vitesse varie donc dans le même sens que ce rayon moyen; plus le périmètre sera grand à égalité de section, plus la vitesse sera grande.
Tous ces résultats sont conformes à ceux trouvés expérimentalement par M. de Caligny
en 1833 et 1834.
Il est facile de calculer la valeur de x qui donne la vitesse maximum. En effet, égalant à zéro la dérivée de l’expression :
on a :
ou
ou
Km L
mx
