CHAPITRE CINQUIÈME

Considérations

générales.

Longueur d’un barrage fixe.

Après avoir indiqué dans le chapitre II la composition générale d’un barrage, j'ai commencé l’étude spéciale de chacune de ses parties.

Les chapitres III et IV ont été consacrés aux écluses. Je vais maintenant étudier dans le chapitre V et dans les suivants la construction des déversoirs et des passes navigables, et je suis conduit à parler d’abord du système le plus simple ou du moins le plus primitif, qui consiste à barrer le lit de la rivière au moyen d’un massif complètement fixe, arasé à peu près au niveau de la retenue et formant déversoir régulateur.

L’usage des déversoirs fixes remonte à une époque fort ancienne ; on en rencontre encore aujourd’hui beaucoup d’exemples, soit sur les rivières non navigables, pour former la retenue des moulins, soit sur les rivières navigables dont les travaux de canalisation sont antérieurs à l’invention des barrages mobiles.

J’ai indiqué leurs inconvénients dans le chapitre premier de cette section en parlant de la canalisation des rivières ; il est donc inutile de revenir sur ce sujet.

Les déversoirs fixes ne sont plus employés que très-exceptionnellement sur les rivières navigables, cependant leur étude ne présente pas seulement un intérêt théorique ; on y trouve divers enseignements qui ontencore leurapplication dans l’établissement des barrages mobiles, et il est nécessaire de s’y arrêter quelque temps.

Je parierai successivement de leur tracé en plan, de leur profil, de leur hauteur, de leur épaisseur et de leurs effets, soit sur le fond, soit sur l'écoulement de l’eau.

Je vais raisonner ici comme si le barrage fixe devait occuper toute la largeur de la rivière. Il sera facile déjuger ensuite ce qui subsiste de la discussion quand ce barrage n’occupe plus qu’un faux bras ou une fraction plus ou moins faible du lit, le reste étant occupé par un barrage mobile.

Un barrage fixe doit présenter une assez grande longueur, d’abord pour étendre l’action de la chute sur une plus grande surface du lit en aval et diminuer ainsi la tendance aux affouillemenls, ensuite pour faire moins obstacle à l’écoulement des crues, enfin pour répartir sur une plus grande longueur de crête l’actiop destructive de l’eau qui passe sur le barrage.

COUP, S DE NAVIGATION I INTERIEURE

On est conduit, par ces considérations, à donner au barrage un tracé plus ou moins oblique sur Taxe de la rivière, de manière à obtenir un développement qu’on ne peut guère déterminer d’avance qu’en examinant les effets produits par des déversoirs déjà établis dans des conditions analogues sur le même cours d'éau. Cependant on trouvera un peu plus loin un essai de calcul relatif à cette recherche.

Si on prend un profil en travers normal à l’axe de la rivière, on voit que sur ce profil un barrage oblique n’occupe qu’une petite partie de la section mouillée, tandis qu’au droit d’un barrage à 90° cette section est réduite de tout le relief du massif, d’une rive à l’autre. Or, comme l’expérience prouve que malgré l’existence d’un barrage oblique l’écoulement des crues a lieu suivant des filets sensiblement parallèles à l’axe de la rivière, on comprend pourquoi un barrage normal ne peut convenir, à moins que les berges très-raides et trèsélevées n’écartent toute chance d’inondation et que la nature du fond ne permette aucun affouillement dangereux.

La discussion qui va suivre montrera que sous le rapport des dépôts et des contrecourants, la direction rectiligne normale à l’axe de la rivière serait la meilleure, mais je viens d’expliquer pourquoi elle est généralement inadmissible.

On peut faire varier de bien des manières le tracé d’un barrage dont la longueur est supposée déterminée d’après les considérations qui précèdent.

Considérons d’abord un barrage tracé suivant un alignement unique, reliant obliquement l’écluse à la rive opposée (PI. 17, fig. 1), j’ai dit précédemment, que pendant les grandes crues qui recouvrent le barrage à l’amont et à l’aval, les filets liquides sont sensiblement parallèles à l’axe de la rivière ; au contraire en étiage, quand la vitesse à l’amont est à peu près nulle, les filets s’écoulent sur le déversoir suivant une direction normale à sa crête. Enfin dans un état intermédiaire, feau suivra une direction intermédiaire entre celle de la vitesse à l’amont et de la vitesse normale au barrage. J’indiquerai tout à l’heure comment on calcule cette vitesse résultante.

Le courant à la suite d’un barrage rectiligne oblique se portera donc souvent vers l’une des rives, la corrodera plus ou moins, formera des dépôts en aval et produira un thalweg plus ou moins sinueux.

Cet effet pourra être peu à craindre en étiage si le débit est faible ; il sera plus à craindre en eaux moyennes, quand le volume du courant se trouvera augmenté sans que sa direction ait été sensiblement redressée par une vitesse suffisante à l’amont, enfin il sera à peu près effacé pendant les crues qui tendent à rétablir le parallélisme entre les filets liquides et les rives.

Pour éviter cette destruction presque inévitable d’une rive, je suppose que le tracé en ligne droite soit remplacé par deux alignements faisant entre eux un angle tourné vers' l’amont (PL 17, fig. 3). On comprend, par ce qui a été dit précédemment, que pendant les eaux basses ou moyennes, il se produira à l’aval de ce barrage et à peu près suivant la bissectrice si les deux côtés de l’angle sont égaux, un gonflement d’autant plus considérable que l’angle du barrage sera plus aigu. Ce gonflement aura pour conséquence un courant animé d’une vitesse plus ou moins grande et susceptible de se faire sentir assez loin. Enfin l’expérience prouve qu’alors^ surtout si la rivière se rétrécit en aval du barrage comme

Tracé en plan.

cela arrive souvent, i! se produit un contre-courant qui remonte le long de chaque rive, et qui peut devenir extrêmement gênant pour la sortie de l’écluse et en général pour les manoeuvres aux abords. ( Annales 1865, vol. 9, page 159.)

Les contre-courants doivent être évités non-seulement à cause de la gêne qui peut en résulter pour les mouvements des bateaux, mais aussi parce que suivant la ligne de séparation du courant direct et du courant inverse, il se forme une eau morte et par suite des dépôts susceptibles d’envahir le chenal.

Un barrage tracé suivant un chevron brisé à branches inégales, participe d’une partie des inconvénients du barrage en triangle isocèle, et d’une partie de ceux du barrage en écharpe. La combinaison la moins vicieuse consisterait alors à mettre la plus petite branche contre l’écluse et la plus grande contre la rive opposée (PL 17, fig. 2). Le courant produit par cette dernière a une tendance à attaquer la rive qui fait suite à l’écluse, mais il empêche le contrecourant de s’y produire. On peut imaginer un certain rapport entre les deux branches du barrage et un certain angle capable de produire précisément l’équilibre entre ces deux effets contraires ; mais il est difficile de déterminer d’avance ce rapport et le plus souvent les barrages en chevrons brisés à branches inégales et obliques ne donnent encore qu’une solution peu satisfaisante.

Pour éviter le contre-courant et les dépôts à la sortie de l’écluse, on a écarté celle-ci de la rive à laquelle elle n’est plus reliée que par un mur aboutissant à la tête d’amont. De cette manière, le contre-courant qui suit la berge et vient s’amortir en arrière du bajoyer, peut n’être pas rencontré par les bateaux sortants ; mais on a encore à craindre les dépôts dans le chenal. Les résultats obtenus sont en fait assez variables. ( Annales 1865, page 1 62.)

Pour remédier plus sûrement aux inconvénients d’un barrage en chevrons brisés, il faudrait prolonger le bajoyer du large, à une assez grande distance vers l’aval, de manière à former un guideau qui force l’eau à prendre une direction parallèle et qui protège la sortie des bateaux.

Le tracé qui a le mieux réussi sur le Lot est formé par deux branches ; la plus petite est contiguë à l’écluse et normale au bajoyer; la plus grande est dirigée en écharpe vers l’aval jusqu’à la rive opposée en faisant un angle de 135° avec la précédente (PL 17, fig. 4). Ces deux alignements sont raccordés entre eux par un petit arc de cercle. La longueur de l’alignement normal varie entre le quart et la moitié de celle de l’alignement oblique. Enfin l’alignement normal comprend ordinairement un ou plusieurs pertuis fermés par des vannes ou par des poutrelles.

Ce type a été réalisé sur le Lot, vers 1848, après divers tâtonnements. Il a donné des résultats assez satisfaisants, notamment aux barrages éclusés de Puy-l’Évêque, de Fossat et de la Rougette. ( Annales 1865, page 160.)

Lorsque l’angle que fait avec la rive et vers l’amont un barrage est très-aigu, l’alimentation de la partie voisine se fait mal ; pour la rétablir, il suffit d’augmenter un peu l’amplitude de cet angle en reculant la berge suivant un petit arc concave partant de l’extrémité du barrage.

On pense généralement que vers l’angle aigu dont je parle, le niveau de la retenue éprouve une petite surélévation, aussi est-ce l’emplacement adopté de préférence pour les moulins. Cependant MM. Darcy et Bazin rapportent avoir observé un effet tout contraire. ( Recherches hydrauliques, lre partie, page 313.)

L’ensemble du tracé d’un déversoir fixe doit être déterminé, dans tous les cas, de manière à fixer le thalweg le long de la rive sur laquelle se fait le halage.

Le niveau d’un barrage déversoir se détermine de telle sorte, qu’en temps d’étiage, le Niveau de la crête, plan d’eau en amont soit celui reconnu nécessaire pour les besoins de la navigation.

La crête du barrage doit donc être placée au dessous de ce plan, à un niveau tel que la lame déversante, sur toute la longueur du déversoir, représente précisément le débit d’étiage.

Mais cette condition n’est pas la seule à remplir; il faut encore que le gonflement produit pendant l’écoulement d’une crue déterminée ne dépasse pas une hauteur connue.

ïl faut donc se rendre compte du débit du déversoir suivant divers états de la rivière.

Je considère d’abord l’étiage, ou plus généralement le régime où le sommet du déversoir n’est pas atteint par le niveau d’aval, et je vais rappeler les diverses formules de débit applicables à cet état des eaux.

Le cas le plus simple est celui d’un déversoir normal à l’axe de la rivière.

Le calcul et l’expérience apprennent qu’alors le débit par seconde et par mètre courant de déversoir, supposé en mince paroi, est :

q = mzy/ 2gz

en désignant par :

m un coefficient peu différent de 0 m. 470 quand le déversoir est long ; c’est-à-dire Débit d’un déversoir quand les contractions latérales n’ont qu’une influence relativement négligeable, et qui se normal non n(fferapproche de 0 m. 424 quand le déversoir est court et la charge Z faible ; c’est-à-dire quand les contractions latérales ont une influence marquée.

La valeur moyenne m = 0,45 donne :

z est la hauteur verticale entre la crête du déversoir et le niveau de l’eau à quelques mètres en amont, en un point où la vitesse est sensiblement nulle. (Bresse, Cours d 'hydraulique, T édition, pages 72 et 74, et Darcy et Bazin, Recherches hydrauliques , page 310.)

La formule précédente suppose que la vitesse dans le bief d’amont est sensiblement nulle; mais, en réalité, elle ne l’est généralement pas dans l’espèce, puisque si on désigne par :

Q le débit par seconde du cours d’eau,

H la hauteur du barrage au dessus du fond naturel,

u la vitesse moyenne à quelques mètres en amont du barrage,

L la largeur du cours d’eau.

On a nécessairement :

Si cette vitesse est appréciable, la formule doit être modifiée en remplaçant z par z + ~ et l’expression du débit par mètre courant du déversoir devient : ( Bresse , id . , page 76.

Toutefois, je ne connais pas d’expérience ayant établi que le coefficient m a bien pour valeur moyenne 0, T 5 comme dans le cas où u = 0.

M. Boileau et MM. Darcy et Bazin ont constaté que dans le cas d’un déversoir non noyé et dont le parement d’aval est vertical, l’air enfermé sous la nappe déversante se trouve à une pression inférieure à celle de l’atmosphère, qu’alors l’eau d’aval s’élève contre le barrage à une hauteur qui croît avec lak vitesse du déversement.

Mais ce relèvement est oscillant, c’est-à-dire que de temps en temps l’air extérieur rentre sous la nappe avec un bruit sourd ; le relèvement d’aval disparait alors plus ou moins, puis l’air se trouve de nouveau entraîné et le niveau d’aval remonte contre le barrage.

Plus le niveau d’aval est élevé sous la nappe déversante et plus le coefficient m augmente; il a atteint la valeur m = 0,513 dans des expériences où le niveau d’aval se relevait sous la nappe jusqu’au sommet du déversoir. (Darcy et Bazin, Recherches hydrauliques , p. 310.)

11 est évident que si la forme plus ou moins courbe ou allongée du profil du déversoir ne permet pas à l’air de se trouver pris sous la nappe déversante, les phénomènes dont je viens de parler ne se manifestent plus.

Débit d’un déversoir Lorsque le déversoir fait un angle a avec la direction normale à Taxe du cours d’eau et oblique non noyé. }orSqUe la vitesse moyenne à quelques mètres en amont est sensiblement nulle, la formule du débit par mètre courant de crête est exactement la même que pour un déversoir à angle droit ; cette formule est :

q = 2zy/z

Si la vitesse à l’amont u — l(H + Z) * n est Pas négügeable, on peut décomposer cette

vitesse en deux autres : l’une u cos a, perpendiculaire à la crête du déversoir, et l’autre u sin a, parallèle à cette crête, la première composante influe seule sur l’écoulement et le déversoir oblique se trouve dans la même situation qu’un déversoir normal en amont duquel la vitesse moyenne serait u cos a. On n’a donc qu’à appliquer la formule donnée précédemment pour ce cas et on a pour l’expression du débit par mètre courant de crête :

u2 cos2 «

u2 cos2 «

Mais j’observe, comme précédemment, que je ne connais pas d’expériences directes ayant bien établi la valeur du coefficient m, applicable à ce cas, et que j’ai admis m = 0,45 et par suite m\/2g = 2, faute de renseignements plus précis.

Dans un Mémoire inséré aux Annales des ponts et chaussées (année 1865, 1er semestre, page 171), M. l’ingénieur Fournié a donné une autre expression du débit d’un déversoir

• oblique, avec vitesse à l’amont. On pourra étudier cette solution, moins simple et moins

rationnelle, je crois, que celle que je viens d’indiquer.

Le même Mémoire donne une expression du débit d’un barrage oblique noyé, mais sans

tenir compte du ressaut à l’aval du barrage.

Je considère un barrage établi dans un endroit où la largeur de la rivière est L, Application

' à la détermination

Le débit d étiage est Q. (^u niveau de la

L’étude générale de la canalisation a permis de déterminer la hauteur H + Z à laquelle le crête d’un barrage, niveau de la retenue doit s’élever au dessus du fond de la rivière, H étant la hauteur inconnue du barrage et Z la charge d’eau, également inconnue, sur sa crête.

Je suppose que le barrage éclusé, projeté sur la largeur L de la rivière, la divise en trois parties a, b, c, savoir :

a largeur correspondant à l’écluse, b id. à un déversoir normal,

c id. id. incliné sous l’angle a, dont la longueur de

crête est par conséquent — — —

LUü CC

Le déversement en temps d’étiage a lieu seulement sur les longueurs b et co:;— • On aura donc, en appliquant les formules précédentes :

C / U2 cos2 a \ I / , u2 cos2 «

COS a \ 2g / J/ z 2g

on a d’ailleurs

La seule inconnue de l’équàtion (I) est z.

Pour la calculer, on déterminera d’abord la valeur z, qui correspond au cas ou u = 0, celte valeur est donnée par l’équation :

^ \ 1 COS y. / 1

•1 °h zi — I / , 2c \2 *

La véritable valeur de Z est un peu inférieure à Z,, et on la trouvera facilement par tâtonnement au moyen de l’équation (1).

Connaissant Z, on en déduira la cote de la crête du barrage, puisque la cote correspondante au plan d’eau H + Z est connue.

Les formules qui précèdent sont applicables non-seulement à l’étiage mais encore tant que le déversoir débouche librement dans l’air, ce qui exige seulement que le niveau d’aval soit inférieur à la crête du barrage.

Elles supposent que le déversoir fonctionne comme en mince paroi ; s’il a une épaisseur notable suivant sa crête, le coefficient m doit subir une réduction.

Exhaussement d'une crue par un barrage normal.

La crête d’un barrage-déversoir ayant été déterminée, comme je viens de l’expliquer, de manière à produire en étiage le plan d’eau nécessaire à la navigation, il faut se rendre compte de l’obstacle que le barrage apportera à l’écoulement d’une crue.

Je suppose d’abord que le barrage est composé d’un seul alignement à angle droit sur l’axe de la rivière.

Je considère trois profils en travers pris : le profil n° 1 , à quelques mètres en amont du barrage ; le profil n° 2, au droit du barrage ; et le profil n° 3, à quelques mètres en aval. (PI. 17, fig. 5.)

Je désigne par :

II la hauteur du barrage,

Z la hauteur de l’eau dans le profil n° I , au dessus d’une horizontale, passant par la crête du barrage, au profil n° 2.,

y l’épaisseur de la tranche d’eau au dessus de la crête du barrage, au profil np 2, h la hauteur de l’eau au profil n° 3, au dessus de l’horizontale passant par cette même crête,

u la vitesse moyenne dans le profil n° \ ,

V la vitesse moyenne au dessus du barrage, profil n° 2,

U la vitesse moyenne dans le profil n° 3,

Q le débit du cours d’eau dans l’état considéré, q le débit par mètre courant de largeur.,

L la largeur de la rivière, et 1 la longueur du déversoir.

Les quantités h, U et q sont connues, car il s’agit d’une crue déterminée dont on veut étudier le passage sur le barrage.

H est connu également par hypothèse ainsi que 1.

Les inconnues sont Z et y qui représentent la hauteur à laquelle l’eau s’élèvera en amont du barrage et sur le barrage.

J’applique le théorème des quantités de mouvement, 2mdv= ZFdt, à la masse de liquide qui se trouve entre les profils n°[ 2 et 3 et en considérant un temps très-court 9.

La masse liquide qui passe par chacun de ces profils pendant le temps 9 est :

wQô

et l’accroissement de quantité de mouvement est :

roQO

La force qui agit dans le profil n° 2 sur la masse liquide est la pression wL(H + y) x — fi,

no r ^

son impulsion est — — (H -p y)2.

De même l’impulsion produite au profil n° 3, sera :

On aura donc l’équation :

OU

on a :

d’où en substituant

(ü — Y) = (H + y f — (H + h U=+- et v = -

ou

f + 2Hy’ - [b (2 H + h) + ++y] ï + += 0

cette équation permet de déterminer y.

Pour connaître z, j’applique le théorème de Bernouilli entre les profils n° et j’ai :

on a :

d’où en substituant :

Y — — et U

Ig La ~ (H+ijU ~ z ” > '

En posant H + z — x, cette équation devient :

— (h + y + -sJ

2gr

I et 2,

On n’a qu’à y substituer la valeur de y tirée de l’équation (1) pour avoir celle de x.

Cette méthode de calcul est indiquée par M. Bresse dans son Cours dC hydraulique (2e édition,, page 333).

Elle s’applique également lorsque la longueur 1 du déversoir est moindre que la largeur L, seulement il faut dans ce cas prendre pour débit par mètre courant — au lieu de -H- , attendu

que la vitesse est à peu près nulle dans les zones qui se trouvent immédiatement en aval des parties non submergées du barrage et qu’ainsi ces zones ne servent pas à l’écoulement du débit Q.

Je suppose construit un barrage de 3 mètres de hauteur et de 100 mètres de longueur, normalement à l’axe d’un cours d’eau qui débite 1,200 mètres cubes; c’est à peu près le débit de la Seine dans Paris pour une crue de 5 m. 40 c. au dessus de l’étiage, ce qui suppose une profondeur H + h d’environ 6 mètres.

II = 3 mètres, b . = 3 mètres.

0 = 1 ,200 mètres cubes, q — 1 2 mètres cubes.

Application

numérique.

Observations sur la méthode de calcul qui précède.

Mettant ces valeurs dans l’équation (1), elle devient :

y3 + 6 y2 - 3 1 ,89y + 29,35 = 0 équation qui donne approximativement :

et y == 2 m. 31 c.

La première valeur ne paraît pas convenir, elle donnerait un ressaut de 3 m. — 1 m. 32 c. = 1 m. 68 c. en aval du barrage et une valeur de H + Z très-voisine de 8 m. 40 c.; c'està-dire un relèvement d’environ 2 m. 40 c. à l’amont du barrage. Or on va voir que la valeur y = 2,31 conduit à un profil moins accidenté qui devra se réaliser d’abord et qui donne la solution cherchée.

En introduisant la valeur y = 2 m. 31 c. dans l’équation (2) elle devient :

x3— 6,686x2 + 7,344 = 0 et a une racine très-approchée de 6,51 .

La hauteur naturelle de l’eau en rivière étant de 6 mètres, on en conclut que le relèvement z — h produit par le barrage sur la crue considérée sera de 0 m. 51 c.

La vitesse moyenne au dessus du barrage sera :

et le ressaut à l’aval sera de :

Le calcul montrerait que pour une crue plus forte, le relèvement z — h produit à l’amont serait moindre. En général l’effet d’un barrage s’efface quand le débit augmente.

Il est presque inutile de rappeler que les équations qui, dans le paragraphe précédent, ont servi de base à mes calculs, sont inexactes et qu’ainsi les résultats numériques obtenus ne sont que des approximations.

Soit dans la première équation, relative aux quantités de mouvement entre les profils nos 2 et 3, soif dans la seconde relative à l’application du théorème de Bernouilli entre les profils nos 1 et 2; j’ai supposé que chaque filet liquide est animé de la vitesse moyenne dans le profil considéré, or on sait qu’il err résulte une erreur dont l’appréciation est assez difficile ; on néglige en outre les frottements et les actions mutuelles du liquide.

Malheureusement l’état actuel de la science ne permet pas, je crois, de faire un calcul plus exact, aussi doit-on chercher à contrôler par des moyens approximatifs les résultats numériques obtenus en suivant la méthode qui vient d’être exposée.

M. Lesbros a donné pour le débit des déversoirs noyés une formule empirique qui peut être employée pour le contrôle dont il s’agit.

Cette formule est :

q = mz \/2g(z — y)

en conservant les mêmes notations que précédemment, c’est-à-dire en désignant par :

q le débit par mètre courant de déversoir normal,

z la hauteur d’eau à quelques mètres en amont du déversoir au dessus d’un plan horizontal passant par son sommet,

y l’épaisseur de la tranche d’eau au dessus de la crête du déversoir.

Le coefficient m varie suivant la valeur du rapport - ■■■ " et M. Lesbros a dressé une

table qui a été reproduite par M. Bresse. ( Cours d'hydraulique, 2e édition, page 76.)

On voit sur cette table que les valeurs extrêmes de^m sont 0,227 qui correspond à

~ ^ — 0,00 1 et 0,605 qui correspond à — - ^-=0,008. Quand le rapport- — —

croît de 0,008 à 1, la valeur de m décroît de 0,605 à 0,39.

La valeur moyenne diffère peu de 0,45 comme quand il s’agit d’un déversoir non noyé.

On peut donc poser approximativement m \J2 g = 2 et

q = 2z \fz — y

qui donne :

zs-z*y-i = 0 . (3)

Par conséquent quand on a déjà calculé y on peut déduire z de cette équation.

Dans l’exemple numérique donné précédemment, on a q = 12 et on a calculé y = 2,31 . Substituant dans l’équation (3), on a :

d’où on tire approximativement z = 4,3; le gonflement produit par le barrage serait donc z — h = 4,3 — 3 = 1 m. 03 6., tandis qu’en appliquant l’équation (2) j’ai trouvé un relèvement de 0 m. 51 c. qui doit être trop faible.

On voit quelle incertitude règne sur les résultats de ces calculs. Cette incertitude est encore plus prononcée quand il s’agit d’un déversoir oblique, également noyé par le niveau d’aval, et je n’ai 'rien trouvé à ce sujet dans les Traités d'hydraulique que j’ai pu consulter. Je vais cependant indiquer un essai de calcul espérant attirer l’attention d’auteurs plus compétents.

L’énoncé du problème est le suivant : un barrage oblique étant construit sur une rivière, quel gonflement produira-t-il à quelques mètres en amont sur une crue déterminée.

Je suivrai la même marche que pour calculer l’exhaussement produit par un barrage normal.

Je considère trois profils en travers, savoir : le profil n° 1 et le profil nu 3 pris normalement à l’axe de la rivière ; l’un à quelques mètres en amont, l’autre à quelques mètres en aval du barrage, puis le profil n° 2, pris suivant l’arête d’aval du barrage, ce profil fait comme le barrage un angle a avec la direction des deux autres. (PL 17, fig. 6.)

Exhaussement, d’une crue par un barrage oblique.

Je désigne toujours par :

H la hauteur du barrage,

H -f-Z la hauteur de l’eau au profil n° 1,

H + h la hauteur de l’eau au profil n° 3,

y l’épaisseur de la lame déversante mesurée sur la crête du barrage, u la vitesse moyenne dans le profil n° 1 ,

U la vitesse moyenne dans le profil n° 3,

Y la vitesse moyenne sur la crête du barrage.

Cette dernière vitesse Y n’est ni parallèle à l’axe de la rivière comme les vitesses u et U, ni perpendiculaire au barrage; elle suit uno direction intermédiaire qui dépend de l’intensité de u.

Je désigne par (T, l’angle de u et de V et j’observe que (ü < a.

Si on applique le principe des quantités de mouvements projetées au volume compris entre les profils nos 2 et 3 et si on observe que la projection de la vitesse Y sur un plan vertical et parallèle à l’axe de la rivière est Y cos (3, le premier membre de l’équation

sera :

ttQ9

(U — V cos p)

la pression suivant le profil n° 2 est :