DI

l2 sin a ~ 12 h

Une hausse plane, tournant autour d’un axe horizontal, ne peut pas être oscillante.

Par conséquent le moment de la pression Q, par rapport à l'axe de rotation O, sera :

Je néglige d’abord le poids de la. hausse.

Si on vent que pour des valeurs déterminées des variables h et % la hausse soit en équilibre, il faudra poser :

l2 sin « .

ou Psina=12bh.

Je suppose maintenant que h augmente et devienne h' ; je cherche st la hausse en s’inclinant pourra se mettre en équilibre sous un nouvel angle a' < a.

On devrait avoir :

l'2 sin a = 1 2bh'

d’où

sin « h

sin a' h'

Or cette équation est impossible puisque a > a et h' > h.

Le résultat est le même si on lient compte du poids de la hausse.

Pour simplifier la démonstration, je suppose que le centre de gravité G soit placé sur la normale OC qui passe par l’axe de rotation, et que la distance de ce centre de gravité à la face AB de la hausse soit GG = e.

Le moment du poids P de la hausse sera P(a — ■ e) sin a, le moment total sera donc :

M = olh - bj — P(a — e) sin a = sin a | p -j-- — P(a — e)"j — plbh,

expression qui doit être nulle dans le cas de l’équilibre. Une autre position d’équilibre donnerait de même :

d’où

sin a j p qj — P(a

— plbh' = 0

sin a h

sin a' IV

C’est-à-dire qu’il y a impossibilité.

S’il y avait de l’eau à l’aval, cette impossibilité serait encore plus marquée, puisque la pression d’aval sur la culasse diminue quand la hausse s’incline pour basculer.

La démonstration précédente ne tient compte que des pressions statiques sur la hausse ; elle n’est donc rigoureusement applicable qu’au départ, quand la hausse commence à basculer; mais dès que le mouvement de bascule est commencé, la volée se trouve soumise à des pressions dynamiques supérieures aux pressions statiques, tandis que la culasse qui rentre dans le bief n’est soumise qu’à des pressions statiques ou qui, du moins, en diffèrent peu. L’équilibre est donc impossible à fortiori dès que le basculement est commencé. Les calculs qui suivent le feront encore mieux comprendre.

M == sin a - P(a — e)l — plbh

L’expression

l’ai L connaître une propriété assez remarquable qui a été indiquée par M. Bresse. ( Annales 1865, 2e semestre, page 18.)

•Supposons b = 0, c’est-à-dire plaçons l’axe de rotation 0 et le centre de gravité G sur la normale élevée par le milieu de la hausse.

Choisissons ensuite la distance a de ce centre à la hausse, de telle sorte qu’on ait :

ol® , p\3

a — e=-j^p- ou a = e

la somme M des moments sera nulle quelle que soit la valeur attribuée à a et à h, et la hausse sera dans un état d’équilibre indifférent.

Le point 0 ainsi déterminé par lequel passe constamment la résultante, est désigné par M. Bresse sous le nom de centre d'action.

Il présente une certaine analogie avec le centre des secteurs circulaires employés comme vannes au barrage de la Monnaie, et dont le poids serait équilibré autour de l’axe de rotation.

Toutefois, les secteurs circulaires ont un avantage, c’est qu’ils reportent sur leur axe de rotation les pressions dynamiques aussi bien que les pressions statiques, tandis que le centre d’action de hausses planes n’existe qu’en ne considérant que les pressions statiques.

La démonstration qui précède suppose que le centre de gravité G de la hausse se trouve sur la normale passant par le milieu I de cette hausse, condition toujours facile à réaliser.

En résumé, en tenant compte du poids de la hausse et en plaçant l’axe de rotation au centre d'action, mais en ne considérant que les pressions statiques, une hausse plane pourrait se tenir en équilibre dans une position quelconque pourvu qu’elle soif complètement ' couverte par le niveau d’amont et qu’il n’y ait pas d’eau à l’aval.

Sauf ce cas, qui ne peut être réalisé, une hausse plane mobile autour d’un axe horizontal basculera toujours complètement, dès qu’elle aura quitté sa position d’équilibre initial.

L’expérience confirme complètement cette démonstration.

La recherche d’une hausse oscillante peut se faire, soit en conservant l’axe de rotation, mais en modifiant la forme de la hausse et en composant sa face d’amont au moyen d’une certaine combinaison de surfaces courbes et planes, soit en conservant à la hausse sa forme plane, mais en remplaçant l’axe de rotation par une surface de roulement à génératrices rectilignes et horizontales.

C’est cette seconde voie qui a été suivie, et je ne connais pas de tentatives faites dans le sens de la première.

Mais avant de passer à l’étude des hausses oscillantes à surface de roulement, il est intéressant de rechercher quand se redressera une hausse ordinaire telle que celles des déversoirs de la Haute-Seine, après qu’elle aura basculé complètement.

Le calcul rigoureux de ce relèvement me paraît impossible à donner dans l’état actuel de autourd’unaxelixe. la science, aussi suis-je obligé de faire quelques hypothèses qui le simplifient sans trop s’écarter de la vérité. Ce n’est cependant pas sans quelques réserves que je présente le calcul suivant; on les comprendra en lisant l’annexe n° 2 à la fin de ce volume.

Je représente par AB (Fig. 28) la paroi supposée verticale du barrage. Une hausse s’est

Redressement

spontané

d’une hausse plane tournant

N IVEA U NO RMAL

Cü>

mise en bascule suivant A'B' en faisant un angle «avec la verticale, elle est retenue dans cette

position par un arrêt fixe qui l’empêche de s’incliner davantage, mais qui lui laisse la liberté de se relever.

La retenue s’est élevée à une hauteur u au dessus du niveau normal indiqué par le sommet A du barrage; je cherche quelle valeur devra prendre u pour que la résultante des pressions et des poids passe par l’axe de rotation O de la hausse.

L’enveloppe mn de la cataracte décrit une courbe inconnue ; je supposerai que cette enveloppe est un cercle dont le centre est en O, l’erreur ainsi commise ne peut avoir beaucoup d’importance dans l’espèce.

Je supposerai ensuite que l’eau est sans vitesse à l’amont du barrage, de sorte que la culasse de la hausse est plongée dans une eau tranquille et ne supporte qu’une pression statique, la volée seule est soumise à une pression dynamique. Cette hypothèse est à peu près exacte pour une hausse étroite et abattue isolément devant un bief d’une grande capacité, mais elle s’écarte de la vérité si l’ouverture est grande, si par exemple plusieurs hausses successives sont en même temps en bascule.

Fig. 28.

Je désigne par :

u l’épaisseur de la lame déversante, c’est-à-dire la surélévation de la retenue au dessus de son niveau normal,

A la longueur de la volée de la hausse,

V la longueur de la culasse de la hausse.

Je cherche d’abord le moment, par rapport à l’axe de suspension O, des forces qui agissent sur la volée.

Ce moment est égal à la somme du moment m, des pressions dynamiques du courant sur la verticale OA et du moment m2 du poids du volume d’eau AOA'.

Pour calculer irq, je prends un point quelconque de la verticale OA placé à une profondeur h sous le niveau d’amont, la pression dynamique sur l’élément dh de la verticale est par mètre courant : (Voir à la fin de ce volume la note annexe n° 2.)

2phdh

son moment est :

2phdh(A 4- u — h) — p(A -{- u)2hdh — 2ph2dh. Le moment total de la pression dynamique sur OA est donc :

/^+ll

m, — p / (A + u)2hdh — 2h2dh =

Pour ' h — u, m, 0 et. — = — (X + n)us 4- — u3

d’où m( = p T(X + u)3 — (X + u)u3 - - (X + u)3 +— l,3J = + 11 j

Pour calculer m2, la surface du secteur circulaire AO A' est :

son moment est :

. o tu 2 . 1