PRESSIONS DYNAMIQUES

Remplaçant Y2 par 2gh et dl par

SUl a

, on a :

dP — 2p -r

* ci

hdh

sin «

2hdh

sm «

= PLH.

En désignant par L la longueur de la hausse ou la hauteur du barrage mesuré suivant son inclinaison.

La pression statique sur la même surface L est — pLH ; elle est donc encore moitié de la

pression dynamique, et toutes deux ont leur point d’application au tiers inférieur de la longueur L.

La pression dynamique par unité de surface a pour expression

statique = ph. Par conséquent ces pressions sont encore représentées par deux triangles

rectangles ayant L pour base et une hauteur égale à 2H pour la pression dynamique et à H pour la pression statique. (Fig. 40.) Enfin, si je considère une surface plane Niveau d’aval OA, en partie noyée par le niveau d’aval (Fig. 41), et placée dans le même plan que la paroi inclinée du barrage.

La pression dynamique sur la partie AB est, d’après ce qui précède :

2ph, et la pression

Niveau d’amont

PHx AB

ni.

Pression d ynamique d’unechute surun plan horizontal.

et son moment par rapport au point O est :

PH x AB (OB +4- AB) = PH x-^— (• -4-

r \ 3 / r sin a \ sm «

sin a 1

[ sin «

3 sin « J

1 r sin2 a

La pression dynamique sur la partie OB est :

— x OB x Y2 x sin2 a = — x h—x 2gH sin2 a = 2pHh sin a,

g g sin a ° '

son moment par rapport au point O est :

2pHh sin a x— y = pHh2.

De sorte que le moment total de la pression dynamique sur OA, par mètre courant et par rapport à l’horizontale qui se projette en O, est :

pH (

sin2 «

sin2 « 1

abstraction faite du coefficient K que l’on devra toujours rétablir dans les applications.

Je considère une chute H formée par un barrage vertical, et je cherche la pression dynamique produite par cette chute sur le plan horizontal représenté par le niveau d’aval. (Fig. 42.)

J’admets, comme je l’ai déjà expliqué, qu’il n’y a pas d’épanouissement latéral, les filets liquides sont donc prisonniers et décrivent des courbes parallèles à l’enveloppe, qui est encore inconnue, mais en attendant qu’on sache la calculer exactement, je suis conduit à admettre que cette courbe est un quart de cercle décrit avec un rayon H, et dont le centre est à la rencontre du barrage et du niveau d’aval.

En effet, si je considère un filet partant à la profondeur h au dessous de la retenue, son volume entre le barrage et le niveau d’aval est, comme on le verra tout à l’heure :

dV = dh \/4h(H — ■ h).

Si les filets étaient libres, le volume enveloppé par mètre courant de cataracte serait :

dh v/4h(H — h).

On ne peut affirmer qu’il en est de même quand les filets sont prisonniers; mais il est évident que l’intégrale précédente donnera une expression, sinon exacte du moins très-approchée, de la surface de la courbe enveloppe quelle qu’elle soit.

On a :

dhv^h(H — h) = 2

h!+iE— 21 = h

On pose

= sin a,

et l’intégrale devient :

Pour h = 0, on a : Y = 0 et a = — J d’où G = -5— x ~ .

Pour h = H, on a : a = ~ et sin 2a = 0,

on en conclut : Y = ^ dh v/4h(H — h) = ~ + y) = •

Cette surface étant égale à celle du quart de cercle défini ci-dessus, je suis ainsi conduit à admettre que ce quart de cercle peut représenter la courbe réelle de l’enveloppe.

Je reviens maintenant à la recherche de la pression dynamique exercée sur le plan horizontal.

Je considère de nouveau le filet libre partant à une profondeur h sous la retenue et interceptant sur le plan horizontal AX une abscisse y/ 4h(H — h). (Fig. 42.)

Chaque molécule de ce filet a reçu au départ une pression horizontale déterminée par la hauteur h ; elle est ensuite uniquement soumise à l’impulsion de la pesanteur.

Les pressions horizontales initiales ne peuvent avoir d’influence sur la résultante verticale qui représente la pression dynamique cherchée.

La pression dynamique exercée par le filet considéré, ne sera donc autre que la somme des impulsions de la pesanteur pendant l’unité de temps sur chacune de ses molécules, elle ne sera autre par conséquent que le poids de ce filet compris entre le barrage et le niveau d’ayal.

Enfin,, le point d’application de cette pression est nécessairement le point de rencontre dont l’abscisse est : \J 4h(H — h).

Le volume du filet pour le temps t est :

tdh y/2gh.

Mais on a vu au premier paragraphe que t = x - , de sorte que le volume correspondant

V2gh

à l’abscisse x est xdh et par conséquent pour x ■= \/4h(H — h) le volume est :

dv — dh \J 4h(H — h) .

Son poids est donc :

pdh \/4h(H — h)

et comme le bras de levier du point d’application est :

le moment de sa pression par rapport au point A, est :

dM= p x 4 h (II — h)dh.

Le calcul qui précède suppose que le filet liquide est isolé et libre, mais les réactions intérieures qui se produisent quand le fdet devient prisonnier, et quand il décrit non plus sa parabole libre, mais sa courbe parallèle à l’enveloppe, ces réactions, dis-je, n’ont pas d’influence sur le moment total des pressions produites par les divers filets, moment qui ne dépend que des forces extérieures.

L’expression dM= p4h (ü — ■ h) dh, peut donc ne pas représenter le moment de la pression produite sur le plan horizontal par le filet prisonnier, mais il n’en est pas moins vrai, je crois, que le moment de la pression dynamique de la chute entière est :

h)dh ~ pH:i

Enfin, quelle que soit l’enveloppe de la cataracte, le moment du poids du volume enveloppé par mètre courant doit être moitié du moment de la pression dynamique sur le plan horizontal. En effet, le volume d’un filet libre étant xdh est proportionnel à son abscisse. L’abscisse

du centre de gravité du filet libre, parti de la profondeur h, est donc y V4h(H — h) ; c’est-

à-dire moitié du bras de levier de la pression dynamique.

Le moment du poids d’un filet libre est donc moitié du moment de ia pression qu’exerce

ce filet sur ce plan horizontal ; et comme la somme de ces derniers moments reste la même quand les filets deviennent prisonniers, on peut dire que le moment du poids du liquide total enfermé dans l’enveloppe de la cataracte est moitié du moment total de la pression, c’est-

à-dire égal à ~ pH3.

Si l’enveloppe est, comme je l’ai admis, un quart de cercle de rayon H, en désignant par x^ l’abscisse de son centre de gravité, le moment de sa surface est :

\/H2 — x*dx = AL

équation qui reproduit le théorème énoncé ci-dessus.

Enfin la pression dynamique étant égale à la somme des poids des filets, c’est-à-dire au poids du liquide enveloppé, a pour expression :

P^p=pxO,785H2

et l'abscisse de son point d’application est :

2 rr3 ^ 4 8H

3 H2tt ~ 3tt

Ces valeurs ne sont peut-être pas absolument exactes à cause de l’incertitude qui règne sur la courbure réelle de l’enveloppe ; mais elles doivent être peu éloignées de la vérité, et si elles ne suffisent pas pour indiquer, a priori, avec une certitude complète les qualités ou les défauts d’un barrage mobile, je pense qu’elles peuvent aider à découvrir la vérité dans un grand nombre de cas, et j’espère qu’elles serviront de point de départ pour de nouvelles expériences qui sont indispensables.

Si on veut étudier la répartition des pressions sur le plan horizontal, et construire la courbe dont l’ordonnée représente la pression par unité de surface en chaque point, il faut faire de nouvelles hypothèses qui peuvent encore s’écarter de la vérité et donner des résultats un peu différents des précédents. ,

J’ai dit que les filets intérieurs de la cataracte* décrivent des courbes qui ne se coupent Y pas entre elles, cela est contestable et l’exemple de la

I veine liquide qui s’échappe d’un vase et dont la section va

■ | en diminuant depuis l’orifice jusqu’au maximum de con¬

traction, prouve que dans ce cas il y a pénétration mutuelle des filets; il me parait probable qu’il en est de même pour une chute d’eau, aussi l’hypothèse que je vais faire sur les trajectoires des filets ne peut-elle donner qu’une approximation.

Imaginons que le quart de cercle de rayon H s’abaisse peu à peu d’une hauteur II, en glissant le long de l’axe des y, de façon que chacun de ses points décrive une verticale. Dans ce mouvement l’enveloppe prendra une série des positions que l’on peut considérer comme représentant les courbes décrites réellement par les filets prisonniers.

En admettant cette génération, le filet parti à la profondeur h sous la retenue, viendra rencontrer le plan horizontal en un point dont l’abscisse est donnée par l’équation du cercle x2 + y2 = H2 en faisant y = h ; on a pour abscisse de ce point de rencontre :

Niveau

d’amont

La pression exercée en ce point du plan horizontal par le même filet prisonnier, a un moment inconnu. Je supposerai que ce moment est le même que celui du filet libre, partant de la même hauteur, ce qui doit donner une valeur tantôt trop faible, tantôt trop forte.

Grâce à ces hypothèses, si on représente par Y la pression par unité de surface au point dont ^ l’abscisse est X., on aura :

— XYdX = 4h(H — h)dh (1)

en ayant soin de donner à dX un signe contraire à celui de dh ; puisque l’une de ces quantités augmente quand l'autre diminue.

La relation X2 = H2 — h2 donne h = \/H2 — X2 et XdX = - hdh, substituant ces valeurs dans l’équation (•)

on a : X YdX = 4 XdX(H — — X2)

où (411 — Y)’ = 16(HS — X2).

Telle est l’équation de la courbe des pressions ; elle représente une ellipse ayant son centre en O sur l’axe des Y à une hauteur 4H au dessus du niveau d’aval, son demi grand axe est vertical et égal à 4H, son demi petit axe est H. (Fig. 42.)

La courbe des pressions sur la longueur H du plan horizontal qui reçoit la chute, est donc formée par le quart de cette ellipse.

La surface de la courbe des pressions est la différence entre le quart d’ellipse tcH2 et le rectangle 4H2 cette, différence est :

On voit que je trouve ici une valeur un peu différente de celle calculée précédemment pour

• la pression dynamique = 0,7854H'2.

L’abscisse du centre de gravité de la surface de la courbe des pressions est :

3(4 — tt)

tandis que j’ai trouvé précédemment pour bras de levier de la pression dynamique :

Ces différences tiennent à ce que les hypothèses faites ne sont pas complètement exactçs, le quart d’ellipse donne une certaine idée de la répartition de la pression dynamique sur le plan horizontal ; mais je répète que des expériences sont indispensables pour confirmer les formules qui viennent d’être établies, et pour les faire admettre, s’il y a lieu, dans le domaine de la pratique.