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a pour expression : x = y4h(H — h); elle atteint son maximum pour h =— et on a
alors : x = H.
Il en résulte que si les filets qui composent la lame se mouvaient comme s’ils étaient isolés, chaque point du plan horizontal figuré par le niveau d’aval, depuis x = 0 jusqu’à x — H, recevrait le choc de deux paraboles partant à égale distance du filet moyen, l’une au dessus, l’autre au dessous.
Si x2 = 4h(y — h) représente l’une de ces deux paraboles, sa conjuguée aura pour équation :
En désignant par a l’angle de rencontre de la première avec le niveau d’aval, on aura :
tang a —
et, pour la conjuguée tang a
Les angles a et a sont
donc complémentaires.
En réalité, ces paraboles ne peuvent exister simultanément, mais comme la lame qui s’échappe n’est pas maintenue latéralement, la rencontre des divers filets produit un épanouissement du jet à droite et à gauche de la fente, et c’est grâce à cet épanouissement que l’enveloppe rectiligne à 45° est conservée.
Considérons encore la lame liquide qui s’échappe par la même fente étroite, mais supposons que deux parois latérales laissent entre elles une largeur égale à celle de la fente, et s’opposent à toute divergence des filets en formant une sorte d’ajutage à sa suite ; ceux-ci ne pourront plus s’étaler l’un sur l’autre et leur enveloppe sera modifiée. L’enveloppe affectera une forme courbe dont l’équation n’est pas encore connue, mais qui paraît varier suivant les circonstances entre un arc de cercle de rayon H ayant son centre en I et un arc de parabole ayant son sommet à l’origine O des coordonnées et son axe suivant l’axe 01 des y positifs. (Fig. 37.)
Considérons enfin la masse liquide qui s’échappe librement d’une retenue, non plus par une fente étroite, mais par une ouverture d’une certaine longueur, par exemple en abattant deux ou trois hausses consécutives.
Les filets voisins du bord de l’ouverture pourront s’épanouir latéralement d’un côté, par conséquent leur enveloppe sera assez rapprochée de la ligne droite à 45°.
Les filets du milieu seront au contraire maintenus latéralement par leurs voisins et leur enveloppe sera la courbe dont je viens de parler.
Ainsi la section de la cataracte, par un plan vertical normal au barrage, variera entre la ligne droite et l’enveloppe courbe, suivant la position de ce plan.
L’observation montre encore que la courbe enveloppe se modifie vers la rencontre avec le
niveau d’aval ; sa partie inférieure est remplacée par un raccordement dont l’amplitude
varie en hauteur et en longueur horizontale suivant la vitesse de l’eau au dessous du niveau d’aval, et aussi suivant la hauteur du barrage et la largeur de l’ouverture.
Si l’on imagine qu’il n’y ait pas d’eau à l’aval la courbe enveloppe se prolongerait jusqu’à la rencontre du fond remplaçant alors le niveau d’aval.
La nature du raccordement avec le niveau d’aval est peu connue et j’admettrai que l’enveloppe est formée par une seule courbe, continue depuis le niveau d’amont jusqu’à celui d’aval, sans raccordement avec ce dernier.
Dans l’étude des mouvements des hausses il s’agit toujours d’ouvertures assez larges et, par conséquent, on n’a à considérer que le nas où les filets sont prisonniers, sauf à tenir compte ensuite au besoin de l’épanouissement qui leur rend la liberté près des bords de l’ouverture.
Quand l’ouverture devient très-large, l’eau prend une certaine vitesse à l’amont du barrage et le niveau de la cataracte s’abaisse au dessous, de la retenue, au droit du barrage. Je laisserai de côté ce cas, et je supposerai toujours que la vitesse est nulle à l’amont et que par suite le point de départ de la chute au droit du barrage coïncide avec le niveau d’amont
J’observe, d’ailleurs, qu’une vitesse commune aux filets d’amont correspond à une surélévation du niveau de la retenue, et que par conséquent le cas où il y a une vitesse à l’amont peut se ramener à celui où il n’y en a pas.
Enfin, quelle que soit l’enveloppe des filets prisonniers, j’admettrai que ceux-ci ne se coupent pas, sauf à revenir plus tard sur cette hypothèse.
Ces explications étant données, je vais passer en revue les principaux cas qui peuvent se présenter relativement à un courant qui agit sur une portion du barrage.
Pression dynamique Lorsqu’il s’agit d’un simple filet horizontal qui vient frapper un plan vertical indéfini,
d’un courant, sen- on démontre dans les Traités cT hydraulique que la pression dynamique, ou impulsion dans siblement hori - , , , ,
zontai, contre une 1 unite de temps, reçue par le plan, a pour expression : surface plane.
En désignant par :
p le poids du mètre cube de liquide, g l’intensité de la pesanteur, w la section droite du filet,
Y la vitesse du filet. (Delaunay, Mécanique rationnelle > page 516.)
Lorsque le plan frappé au lieu d’être vertical fait un angle a avec l’horizon, on admet que la pression normale reçue par le plan est la même que s’il était soumis seulement à l’impulsion de la composante normale de la vitesse. (Delaunay, Mécanique élémentaire , page 467.)
Ainsi, en représentant par S la section du filet par un plan parallèle à celui qui est frappé et par Y sin a la composante normale de la vitesse, la pression dynamique est représentée par :
g SV sin® *. •
Si au lieu d’un filet isolé, il s’agit d’un courant indéfini, supposé horizontal, rencontrant une surface S inclinée suivant l’angle a avec l’horizon, on admet, :
1° Que tous les filets rencontrés ont la même vitesse moyenne Y ;
2° Que l’impulsion de chaque filet est la même que s’il était isolé ;
3° Que la pression négative exercée sur la-face d’aval du plan peut être négligée.
Au moyen de ces hypothèses qui laissent à désirer, et en appliquant ce qui précède, la pression dynamique du courant contre le plan est évidemment représentée par :
— S Y2 sin2 a.
Mais il ne faut pas oublier que ce résultat repose sur une fiction.
Néanmoins, l’observation prouve que l’expression précédente s’écarte peu de la vérité, quand on l’affecte d’un coefficient K dont la valeur est d’environ 0,75.
Les vitesses des divers filets étant les mêmes, chaque élément de la surface S est égale-
ment frappé et par conséquent le point d’application de la pression résultante — S Y2 sin2 a
coïncide avec le centre de gravité de cette surface.
Supposons que deux biefs dont la différence de niveau est H soient séparés par un barrage OC dans la partie inférieure duquel est ouverte une vanne rectangulaire OB de hauteur L étayant l’unité de largeur, fig. 38.
La pression dynamique sur le plan OB de l’ouverture est donnée par l’expression précédente : — SV2 sin2 a, en faisant sin a =1-1 , S = L et V2 = 2gH, elle est donc :
2pLH.
Elle est double de la pression statique pLH.
La première est représentée par le rectangle OBEF dont la hauteur OF est2H, la seconde
est représentée par le rectangle OBDI dont la hauteur 01 = H.
Enfin, en chaque point m dont la distance à la base 0 de l’ouverture OB est Y, le moment de la pression dynamique par unité de surface est, parrapportau point 0, égal à 2HY”, l’équation de la ligne ~ des moments des pressions dynamiques par rapport aux axes OX et OY est donc X = 2HY,, équation qui représente la diagonale OE du rectangle OBEF, de même que la ligne des moments des - pressions statiques est donnée - Fi&- 38. par la diagonale OD du rectangle
OBDI de hauteur H.
Je considère une chute H formée par un barrage vertical, et je vais chercher quelle est Pression dynamique la pression dynamique que peut produire cette chute sur un plan vertical placé dans l’aligne- h’ une chute contre ment du barrage. C’est, par exemple, à peu près la pression que supporterait, dans les premiers moments, une hausse qui resterait debout isolément quand on abat toutes les autres.
C’est encore à peu près la pression que supporte une aiguille dans un barrage largement grillé.
Un filet partant d’une profondeur h sous le niveau d’amont a une vitesse \/2gh et une section dh par mètre de largeur horizontale, la pression dynamique qu’il produit sur le plan vertical est donc, d’après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent :
dP = -£-x 2gh x dh.
oc
depuis le niveau d’amont jusqu’au niveau d’aval, est donc :
2hdh = pH2.
Cette pression est double de la pression statique y pli2.
En chaque point m placé à une profondeur
h sous le niveau d’amont, la pression dyna-
dP
mique, par unité de surface, est-^- — px2h.
La pression totale sur le plan vertical,
Fig. 39.
La ligne des pressions dynamiques est donc la droite OB inclinée à 2 de base pour un de hauteur, de même que la ligne des pressions statiques est la droite OA inclinée à 45°. (Fig. 39.)
Le triangle OBI représente la pression dynamique par mètre courant, de même que le triangle AOl représente la pression statique abstraction faite de la densité p. et chacune de ces pressions passe au tiers inférieur de H.
Le moment élémentaire de la pression dynamique par rapport à l’horizontale I, située à la rencontre du barrage et du niveau d’aval, est pour le filet partant à la profondeur h :
dM=2ph(H — h) dh.
Le moment total de la pression par rapport au point I est donc
2h(H — h)dh~pH3.
Enfin, puisque la pression dynamique par unité de surface en chaque point m est représentée par 21^ le moment unitaire par rapport au point I est 2h (H — h), et par suite en remplaçant h par Y l’équation de la courbe des moments dynamiques par rapport aux axes OX et OY sera :
De même que l’équation de la courbe des moments statiques est :
Ces deux paraboles sont représentées sur la figure 39.
La combinaison des figures 38 et 39 donne la solution des divers problèmes relatifs aux pressions sur le plan vertical, quand il y a à la fois chute et courant horizontal.
Les deux cas peuvent se présenter dans l’étude des barrages en rivière, suivant que le seuil de la partie mobile est au dessus ou au dessous du niveau d’aval.
Dans ce qui précède, j’ai supposé le barrage formé par une paroi verticale. Je considère Pression dynamique
maintenant un barrage formé par une paroi plane faisant un angle a avec l’horizon. J’ima- d’un échu te contre , . . une face plane in-
gine qu on pratique une ouverture dans cette paroi en abattant une hausse par exemple, et clinée,placéedans
je cherche la pression dynamique exercée sur le plan de l’ouverture., par mètre courant de le même plan que
largeur, la chute étant H. ‘a P3™ ‘nclinée
° formant barrage.
On sait que les aiguilles ainsi que les hausses d’un barrage ont une certaine inclinaison sur l’horizontale. La connaissance de la pression dynamique cherchée dans ce paragraphe est utile pour apprécier le choix de cet angle.
Si je considère un filet qui s’échappe à une profondeur h sous le niveau d’amont, et si je désigne par Y sa vitesse \/2gh, et par dl l’élément de longueur de hausse qui serait rencontré par ce filet, la pression dynamique qu’il exercera sur la hausse aura pour expression :
dP = — V2 d 1 .
Il faut observer en effet que le filet sort normalement au barrage, de sorte que Y est bien la vitesse normale à l’élément du plan du barrage.
dh
